數(shù)學(xué)總第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.2 三角形（試卷部分）

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1、第四章第四章 圖形的認(rèn)識(shí)圖形的認(rèn)識(shí)4.24.2三角形三角形中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (浙江專用浙江專用)1.(2017金華,3,4分)下列各組數(shù)中,不可能成為一個(gè)三角形三邊長的是()A.2,3,4B.5,7,7C.5,6,12D.6,8,10考點(diǎn)一考點(diǎn)一 三角形相關(guān)概念與性質(zhì)三角形相關(guān)概念與性質(zhì)A A組組 2014-20182014-2018年年浙江浙江中考題組中考題組五年中考答案答案CA.2+34,故能組成三角形;B.5+77,故能組成三角形;C.5+610,故能組成三角形.故選C.2.(2016溫州,9,4分)如圖,一張三角形紙片ABC,其中C=90,AC=4,BC=3.現(xiàn)小林將紙片做三次折疊:第

2、一次使點(diǎn)A落在C處;將紙片展平做第二次折疊,使點(diǎn)B落在C處;再將紙片展平做第三次折疊,使點(diǎn)A落在B處.這三次折疊的折痕長依次記為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.cabB.bacC.cbaD.bca答案答案D如圖所示:易知a=BC=1.5,b=AC=2,c=ABtanA=AB=5=1.875,所以bca,故選D.12121212BCAC1234關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示本題考查了三角形中位線的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是找出折痕,進(jìn)而比較大小.3.(2016麗水,9,3分)用直尺和圓規(guī)作RtABC斜邊AB上的高CD,以下四個(gè)作圖中,作法錯(cuò)誤的是()答案答案DA.利用作線段垂直平分線

3、的方法得出CDAB,從而CD是RtABC斜邊AB上的高.B.根據(jù)圓中直徑所對的圓周角是直角知CD是RtABC斜邊AB上的高.C.根據(jù)相交圓的兩圓心連線垂直平分公共弦知CD是RtABC斜邊AB上的高.D.無法證明CD是RtABC斜邊AB上的高.故選D.評析評析本題考查了作圖復(fù)雜作圖,關(guān)鍵是掌握過直線外一點(diǎn)作已知直線垂線的方法.4.(2015湖州,6,3分)如圖,已知在ABC中,CD是AB邊上的高,BE平分ABC,交CD于點(diǎn)E,BC=5,DE=2,則BCE的面積等于()A.10B.7C.5D.4答案答案C作EFBC于點(diǎn)F,由角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等得EF=DE=2,所以BCE的面積等于25

4、=5,故選C.12思路分析思路分析已知BC的長度,由三角形的面積公式可知只需求出BC邊上的高即可,故作出BC邊上的高線EF,由角平分線性質(zhì)可得EF=DE,這樣問題就解決了.5.(2014湖州,8,3分)如圖,已知在RtABC中,ABC=90,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),分別以B、C為圓心,大于BC長為半徑畫弧,兩弧在直線BC上方的交點(diǎn)為P,直線PD交AC于點(diǎn)E,連接BE,則下列結(jié)論:EDBC;A=EBA;EB平分AED;ED=AB中,一定正確的是()A.B.C.D.1212答案答案B根據(jù)作圖過程可知:PB=CP,D為BC的中點(diǎn),PD垂直平分BC,EDBC正確;ABC=90,PDAB,E為AC的中點(diǎn),E

5、C=EA,又EB=EC,AE=EB,A=EBA正確;EB平分AED不一定正確;易知ED是ABC的中位線,ED=AB正確.故正確的是,故選B.12評析評析本題考查了基本作圖的知識(shí),解題的關(guān)鍵是知道直線PD是BC的垂直平分線,難度中等.6.(2016麗水,12,4分)如圖,在ABC中,A=63,直線MNBC,且分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AEN=133,則B的度數(shù)為.答案答案70解析解析AEN=A+ADE,AEN=133,A=63,ADE=70.又MNBC,B=ADE=70.故答案為70.7.(2016溫州,14,5分)如圖,將ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至ABC,使點(diǎn)A落在BC的延長線上.

6、已知A=27,B=40,則ACB=度.答案答案46解析解析A=27,B=40,ACB=113,ACA=67.ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到ABC,ACB=ACB=113.ACB=ACB-ACA=46.關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示ACB=ACB-ACA.8.(2015衢州,12,4分)如圖,小聰與小慧玩蹺蹺板,蹺蹺板支架高EF為0.6米,E是AB的中點(diǎn),那么小聰能將小慧翹起的最大高度BC等于米.答案答案1.2解析解析EFAC,BCAC,EFBC,又E是AB的中點(diǎn),EF是ABC的中位線,BC=2EF,EF=0.6米,BC=1.2米.9.(2014湖州,16,4分)已知當(dāng)x1=a,x2=b,x3=c時(shí),二次函

7、數(shù)y=x2+mx對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1,y2,y3,若正整數(shù)a,b,c恰好是一個(gè)三角形的三邊長,且當(dāng)abc時(shí),都有y1y2-52解析解析正整數(shù)a,b,c恰好是一個(gè)三角形的三邊長,當(dāng)abc時(shí),a最小是2,b最小是3,又當(dāng)abc時(shí),都有y1y2y3,二次函數(shù)圖象的對稱軸在直線x=的左側(cè),-.52122m5252評析評析本題考查了二次函數(shù)的圖象,三角形的三邊關(guān)系,判斷出a最小可以取2,b最小可以取3,以及二次函數(shù)圖象的對稱軸的位置是解題的關(guān)鍵.10.(2015杭州,21,10分)“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)活動(dòng)準(zhǔn)備制作一組三角形,記這些三角形的三邊分別為a,b,c,并且這些三角形三邊的長度為大于1且小于5的整

8、數(shù)個(gè)單位長度.(1)用記號(a,b,c)(abc)表示一個(gè)滿足條件的三角形,如(2,3,3)表示邊長分別為2,3,3個(gè)單位長度的一個(gè)三角形,請列舉出所有滿足條件的三角形;(2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足abc的三角形(用給定的單位長度,不寫作法,保留作圖痕跡).解析解析(1)共九種:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).(2)只有a=2,b=3,c=4的一個(gè)三角形.如圖的ABC即為滿足條件的三角形.11.(2014杭州,20,10分)把一條12個(gè)單位長度的線段分成三條線段,其中一條線段長為4

9、個(gè)單位長度,另兩條線段長都是單位長度的整數(shù)倍.(1)不同分法得到的三條線段能組成多少個(gè)不全等的三角形?用直尺和圓規(guī)作這些三角形(用給定的單位長度,不寫作法,保留作圖痕跡);(2)求出(1)中所作三角形外接圓的周長.解析解析(1)12-4=8,長為8的線段可以分成如下兩段:能組成兩個(gè)不全等的三角形,其三邊長分別為:3,4,5;4,4,4.當(dāng)三邊長為3,4,5時(shí),作圖如圖1.圖1線段11234567線段27654321圖2當(dāng)三邊長為4,4,4時(shí),作圖如圖2.(2)因?yàn)?2+42=52,所以三角形O1P1A1是直角三角形,所以外接圓直徑等于斜邊長5,所以外接圓的周長等于5.因?yàn)槿切蜲2P2A2是等

10、邊三角形,所以外接圓的直徑等于24cos30=,所以外接圓的周長等于.238 338 3312.(2018嘉興,24,12分)我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”.(1)概念理解如圖1,在ABC中,AC=6,BC=3,ACB=30,試判斷ABC是不是“等高底”三角形,請說明理由;(2)問題探究如圖2,ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”,作ABC關(guān)于BC所在直線的對稱圖形得到ABC,連接AA交直線BC于點(diǎn)D.若點(diǎn)B是AAC的重心,求的值;(3)應(yīng)用拓展如圖3,已知l1l2,l1與l2之間的距離為2.“等高底”AB

11、C的“等底”BC在直線l1上,點(diǎn)A在直線l2上,有一邊的長是BC的倍.將ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到ABC,AC所在直線交l2于點(diǎn)D,求CD的值.ACBC2解析解析(1)如圖,過點(diǎn)A作AD直線CB于點(diǎn)D,圖ADC為直角三角形,ADC=90.ACB=30,AC=6,AD=AC=3,AD=BC=3,即ABC是“等高底”三角形.(2)如圖,ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”,AD=BC.12圖ABC與ABC關(guān)于直線BC對稱,ADC=90.點(diǎn)B是AAC的重心,BC=2BD.設(shè)BD=x,則AD=BC=2x,CD=3x,由勾股定理得AC=x,=.13ACBC132xx132圖(3)當(dāng)AB=B

12、C時(shí),(i)如圖,作AEl1于點(diǎn)E,DFAC于點(diǎn)F,“等高底”ABC的“等底”為BC,l1l2,l1與l2之間的距離為2,AB=BC,BC=AE=2,AB=2,BE=2,即EC=4,AC=2.ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到ABC,2225DCF=45.設(shè)DF=CF=x,l1l2,ACE=DAF,=,即AF=2x.DFAFAECE12圖AC=3x=2,可得x=,CD=x=.(ii)如圖,此時(shí)ABC是等腰直角三角形,ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到ABC,ACD是等腰直角三角形,CD=AC=2.當(dāng)AC=BC時(shí),52 5322 103222圖(i)如圖,此時(shí)ABC是等腰直角三角形,ABC繞

13、點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到ABC,ACl1,CD=AB=BC=2.(ii)如圖,作AEl1于點(diǎn)E,則AE=BC,圖AC=BC=AE,ACE=45,ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到ABC時(shí),點(diǎn)A在直線l1上,ACl2,即直線AC與l2無交點(diǎn).綜上,CD的值為或2或2.222 10321.(2016金華,6,3分)如圖,已知ABC=BAD,添加下列條件還不能判定ABC BAD的是()A.AC=BDB.CAB=DBAC.C=DD.BC=AD考點(diǎn)考點(diǎn)二二 全等三角形全等三角形答案答案A已知ABC=BAD,由題圖知AB為ABC與BAD的公共邊,對于A項(xiàng),由邊邊角不能判定ABC BAD;對于B項(xiàng),利

14、用角邊角能判定ABC BAD;對于C項(xiàng),利用角角邊能判定ABC BAD;對于D項(xiàng),利用邊角邊能判定ABC BAD.故選A.2.(2015紹興,7,4分)如圖,小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD,其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的點(diǎn)A與PRQ的頂點(diǎn)R重合,調(diào)整AB和AD,使它們分別落在角的兩邊上,過點(diǎn)A,C畫一條射線AE,AE就是PRQ的平分線.此角平分儀的畫圖原理是:根據(jù)儀器結(jié)構(gòu),可得ABC ADC,這樣就有QAE=PAE.則說明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS答案答案D因?yàn)樵贏BC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABC ADC(SSS),

15、故選D.3.(2015寧波,7,4分)如圖, ABCD中,E,F是對角線BD上的兩點(diǎn),如果添加一個(gè)條件,使ABECDF,則添加的條件不能為()A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.1=2答案答案C四邊形ABCD是平行四邊形,ABCD,AB=CD,ABE=CDF.若添加BE=DF,則根據(jù)SAS可判定ABE CDF;若添加BF=DE,易得BE=DF,則根據(jù)SAS可判定ABE CDF;若添加AE=CF,則為SSA,不可判定ABE CDF;若添加1=2,則根據(jù)ASA可判定ABE CDF.故選C.方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)先由已知得出兩三角形中對應(yīng)邊、角的相等關(guān)系,再結(jié)合全等三角形的判定定理進(jìn)行分析.4.

16、(2014嘉興,9,4分)如圖,在一張矩形紙片ABCD中,AD=4cm,點(diǎn)E,F分別是CD和AB的中點(diǎn),現(xiàn)將這張紙片折疊,使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)G處,折痕為AH,若HG的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)D,則CD的長為()A.2cmB.2cmC.4cmD.5cm3答案答案B點(diǎn)E,F分別是CD和AB的中點(diǎn),EFAB,EFBC,EG是DCH的中位線,DG=HG,由折疊的性質(zhì)可得,AGH=ABH=90,AGH=AGD=90.在AGH和AGD中,AHG ADG(SAS),AD=AH,DAG=HAG.又由折疊的性質(zhì)可得,BAH=HAG,BAH=HAG=DAG=BAD=30.AH=AD=4,BAH=30,在RtABH中,H

17、B=2,AB=2,CD=AB=2(cm).故選B.,HGDGAGHAGDAGAG 1333關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示本題考查了翻折變換、三角形的中位線的性質(zhì),三角形全等的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是分析出BAH=HAG=DAG=30.5.(2018溫州,18,10分)如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),ADEC,AED=B.(1)求證:AED EBC;(2)當(dāng)AB=6時(shí),求CD的長.解析解析(1)證明:ADEC,A=BEC.E是AB的中點(diǎn),AE=EB.AED=B,AED EBC(ASA).(2)AED EBC,AD=EC.ADEC,四邊形AECD是平行四邊形,CD=AE.AB=6,CD=AE=AB=3

18、.12思路分析思路分析(1)利用ASA證明即可;(2)證明四邊形AECD是平行四邊形,推出CD=AE=AB即可解決問題.12方法總結(jié)方法總結(jié)本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確利用全等三角形的判定定理解決問題,屬于中考?？碱}型.6.(2017溫州,18,8分)如圖,在五邊形ABCDE中,BCD=EDC=90,BC=ED,AC=AD.(1)求證:ABC AED;(2)當(dāng)B=140時(shí),求BAE的度數(shù).解析解析(1)證明:AC=AD,ACD=ADC.BCD=EDC=90,ACB=ADE.BC=ED,ABC AED(SAS).(2)由(1)得ABC AED,B

19、=E,B=140,E=140.五邊形ABCDE的內(nèi)角和為540,BAE=540-2(140+90)=80.7.(2015杭州,18,8分)如圖,在ABC中,已知AB=AC,AD平分BAC,點(diǎn)M,N分別在AB,AC邊上,AM=2MB,AN=2NC.求證:DM=DN.證明證明因?yàn)锳M=2MB,所以AM=AB,同理,AN=AC,又因?yàn)锳B=AC,所以AM=AN.因?yàn)锳D平分BAC,所以MAD=NAD.在AMD和AND中,所以AMD AND,所以DM=DN.2323,AMANMADNADADAD 8.(2015湖州,23,10分)問題背景:已知在ABC中,AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A,B不重合)

20、,點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā),由點(diǎn)C沿BC的延長線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合),連接DE交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn).(1)初步嘗試如圖1,若ABC是等邊三角形,DHAC,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度相等.求證:HF=AH+CF.小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決問題:思路一:過點(diǎn)D作DGBC,交AC于點(diǎn)G,先證GH=AH,再證GF=CF,從而證得結(jié)論成立;思路二:過點(diǎn)E作EMAC,交AC的延長線于點(diǎn)M,先證CM=AH,再證HF=MF,從而證得結(jié)論成立.請你任選一種思路,完整地書寫本小題的證明過程;(2)類比探究如圖2,若在ABC中,ABC=90,ADH=BAC=30,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是 1,求的值

21、;3ACHF(3)延伸拓展如圖3,若在ABC中,AB=AC,ADH=BAC=36,記=m,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度相等,試用含m的代數(shù)式表示(直接寫出結(jié)果,不必寫解答過程).BCABACHF解析解析(1)證明:證法一(選擇思路一):如題圖1,ABC是等邊三角形,ADG=B=60,A=60,ADG是等邊三角形,(1分)GD=AD=CE,DHAC,GH=AH,(2分)DGBC,GDF=CEF,DGF=ECF,GDF CEF,GF=CF,(3分)GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF.(4分)證法二(選擇思路二):如題圖1,ABC等邊三角形,A=ACB=ECM=60,DHAC,EMAC,AHD=CM

22、E=90,AD=CE,ADH CEM,AH=CM,DH=EM,(2分)又DHF=EMF=90,DFH=EFM,DFH EFM,HF=MF=CM+CF=AH+CF.(4分)(2)過點(diǎn)D作DGBC,交AC于點(diǎn)G,如圖,則ADG=B=90,BAC=ADH=30,HGD=HDG=60,AH=HD=GH=GD,AD=GD,3又由題意可知,AD=CE,GD=CE,(5分)DGBC,GDF=CEF,DGF=ECF,GDF CEF,GF=CF,(6分)GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,=2.(8分)(3)=.(10分)3ACHFACHF1mm9.(2014溫州,18,8分)如圖,在所給方格紙中,每個(gè)

23、小正方形邊長都是1,標(biāo)號為,的三個(gè)三角形均為格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處).請按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三個(gè)三角形,使它們與標(biāo)號為,的三個(gè)三角形分別對應(yīng)全等.(1)圖甲中的格點(diǎn)正方形ABCD;(2)圖乙中的格點(diǎn)平行四邊形ABCD.注:分割線畫成實(shí)線.解析解析(1)如圖甲所示.(2)如圖乙所示.圖甲圖乙1.(2014福建福州,6,4分)下列命題中,假命題是()A.對頂角相等B.三角形兩邊的和小于第三邊C.菱形的四條邊都相等D.多邊形的外角和等于360考點(diǎn)一考點(diǎn)一 三角形相關(guān)概念與性質(zhì)三角形相關(guān)概念與性質(zhì)B B組組 2014-2018 2014-2018年全國中考題組年全國中考題組答案答

24、案B根據(jù)三角形三條邊之間的關(guān)系可知B是錯(cuò)誤的,故選B.2.(2015貴州遵義,11,3分)如圖,四邊形ABCD中,C=50,B=D=90,E、F分別是BC、DC上的點(diǎn),當(dāng)AEF的周長最小時(shí),EAF的度數(shù)為()A.50B.60C.70D.80答案答案D如圖,作點(diǎn)A關(guān)于BC所在直線的對稱點(diǎn)M,及關(guān)于CD所在直線的對稱點(diǎn)N,連接MN,分別交BC、DC于點(diǎn)E、F,此時(shí)AEF的周長最小.易知M=BAE,N=DAF.在四邊形ABCD中,BAD=360-90-90-50=130,在AMN中,M+N=180-MAN=180-130=50,所以BAE+DAF=50.所以EAF=130-50=80.故選D.評析評

25、析本題考查了軸對稱、四邊形內(nèi)角和、三角形內(nèi)角和等知識(shí),屬中檔題.3.(2014江蘇連云港,6,3分)如圖,若ABC和DEF的面積分別為S1、S2,則()A.S1=S2B.S1=S2C.S1=S2D.S1=S2127285答案答案C過點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M,過點(diǎn)D作DNEF交FE的延長線于點(diǎn)N,S1=BCAM=85sin40,S2=EFDN=58sin40,所以S1=S2,故選C.121212124.(2018湖北武漢,16,3分)如圖,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是邊AB的中點(diǎn),E是邊BC上一點(diǎn).若DE平分ABC的周長,則DE的長是.答案答案32解析解析延長BC至點(diǎn)F,使CF=AC,連

26、接AF,D是AB的中點(diǎn),AD=DB.DE平分ABC的周長,AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位線,DEAF,ACB=60,ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,則AH=AC,所以AF=AC=,DE=AF=.32331232思路分析思路分析延長BC至點(diǎn)F,使CF=AC,利用已知條件證明DE為ABF的中位線,由已知條件求得AF的長,從而求得DE的長.解題技巧解題技巧對于求線段長度的問題,若條件涉及三角形邊的中點(diǎn),可以考慮運(yùn)用中位線性質(zhì)來解答.1.(2018四川成都,6,3分)如圖,已知ABC=DCB,添加以下條件,

27、不能判定ABC DCB的是()A.A=DB.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DC考點(diǎn)考點(diǎn)二二 全等三角形全等三角形答案答案C根據(jù)題中已有條件,分別添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABC DCB,故選項(xiàng)A,B,D不符合題意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定理,不能推出ABC DCB,選項(xiàng)C符合題意.故選C.2.(2017內(nèi)蒙古包頭,20,3分)如圖,在ABC與ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,且點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E與點(diǎn)C在AB的兩側(cè),連接BE,CD.點(diǎn)M、N分別是BE、CD的中點(diǎn),連接MN,AM,AN.下列

28、結(jié)論:ACD ABE;ABCAMN;AMN是等邊三角形;若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),則SACD=2SADE.其中正確的結(jié)論是.(填寫所有正確結(jié)論的序號)答案答案解析解析AB=AC,CAB=DAE,AD=AE,ACD ABE,正確;由ACD ABE得CD=BE,ACD=ABE,又點(diǎn)M、N分別是BE、CD的中點(diǎn),CN=BM,ACN ABM,AN=AM,CAN=BAM,CAN+BAN=BAM+BAN,即BAC=MAN,又=,ABCAMN,正確;AN=AM,AMN是等腰三角形,由已知條件不能得出AMN是等邊三角形,錯(cuò)誤;若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),則SABE=2SADE,又ACD ABE,SABE=SACD,SACD

29、=2SADE,正確.ACANABAM3.(2015江蘇蘇州,24,8分)如圖,在ABC中,AB=AC.分別以B、C為圓心,BC長為半徑在BC下方畫弧,設(shè)兩弧交于點(diǎn)D,與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)E、F,連接AD、BD、CD.(1)求證:AD平分BAC;(2)若BC=6,BAC=50,求、的長度之和(結(jié)果保留).DEDF解析解析(1)證明:由題意可知BD=CD,在ABD和ACD中,ABD ACD(SSS).BAD=CAD,即AD平分BAC.(2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65.BD=CD=BC,BDC為等邊三角形.DBC=DCB=60,DBE=DCF=55,BC=6,BD=CD

30、=6.的長度=的長度=.、的長度之和為 += .,ABACBDCDADADDEDFDEDF4.(2016河北,21,9分)如圖,點(diǎn)B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測量),點(diǎn)A,D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求證:ABC DEF;(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.解析解析(1)證明:BF=EC,BF+FC=EC+CF,即BC=EF.(3分)又AB=DE,AC=DF,ABC DEF.(5分)(2)ABDE,ACDF.(7分)理由:ABC DEF,ABC=DEF,ACB=DFE.ABDE,ACDF.(9分)思路分析思路分析本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)

31、,根據(jù)條件用“SSS”判定三角形全等,再由全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等,然后由角相等得到邊之間的位置關(guān)系.1.(2014紹興,14,5分)用直尺和圓規(guī)作ABC,使BC=a,AC=b,B=35,若這樣的三角形只能作一個(gè),則a,b間滿足的關(guān)系式是.考點(diǎn)一考點(diǎn)一 三角形相關(guān)概念與性質(zhì)三角形相關(guān)概念與性質(zhì)C C組組 教師專用題組教師專用題組答案答案b=asin35或ba解析解析當(dāng)b=asin35時(shí),ABC是直角三角形,具有唯一性.當(dāng)ba時(shí),以C為圓心,b為半徑作圓,與BA邊只有一個(gè)交點(diǎn).所以b=asin35或ba.2.(2015山東聊城,17,3分)如圖,ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的點(diǎn)P1,把ABC分

32、成3個(gè)互不重疊的小三角形;ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的點(diǎn)P1,P2,把ABC分成5個(gè)互不重疊的小三角形;ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的點(diǎn)P1,P2,P3,把ABC分成7個(gè)互不重疊的小三角形;ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的點(diǎn)P1,P2,P3,Pn,把ABC分成個(gè)互不重疊的小三角形.答案答案2n+1(或3+2(n-1)解析解析當(dāng)三角形ABC中有一個(gè)點(diǎn)時(shí),有3個(gè)小三角形,有2個(gè)點(diǎn)時(shí),有5個(gè)小三角形,有3個(gè)點(diǎn)時(shí),有7個(gè)小三角形,可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律:每增加一個(gè)點(diǎn),小三角形個(gè)數(shù)增加2個(gè),故有n個(gè)點(diǎn)時(shí),共有3+=1+=(2n+1)個(gè)小三角形.(1)2222n共個(gè)22222n共 個(gè)歸納總結(jié)歸納總結(jié)規(guī)律性探究問題通常指根據(jù)給出

33、的材料,觀察其中的規(guī)律,再運(yùn)用這種規(guī)律解決問題的一類題型.從特殊開始,從簡單開始,先找3個(gè),基本可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再驗(yàn)證、運(yùn)用規(guī)律.3.(2014湖南郴州,14,3分)如圖,在ABC中,若E是AB的中點(diǎn),F是AC的中點(diǎn),B=50,則AEF=.答案答案50解析解析因?yàn)镋、F分別為AB、AC的中點(diǎn),所以EFBC,所以AEF=B=50.1.(2014麗水、衢州,10,3分)如圖,AB=4,射線BM和AB互相垂直,點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在射線BM上,BE=DB,作EFDE并截取EF=DE,連接AF并延長交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x,BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是()A.y=-B.y=-C.y=-

34、D.y=-12124xx21xx31xx84xx考點(diǎn)考點(diǎn)二二 全等三角形全等三角形答案答案A作FGBC于G,DEB+FEC=90,DEB+BDE=90,BDE=FEG,在DBE和EGF中,DBE EGF,EG=DB,FG=BE=x,EG=DB=2BE=2x,GC=y-3x.,BFGEBDEGEFDEEF FGBC,ABBC,FGAB.易得CGFCBA.=,即=,y=-.FGABGCBC4x3yxy124xx關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),以及相似三角形的判定和性質(zhì),正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.2.(2014金華,15,6分)如圖,矩形ABCD中,AB=8,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),且

35、AE=4,BE的垂直平分線交BC的延長線于點(diǎn)F,連接EF交CD于點(diǎn)G,若G是CD的中點(diǎn),則BC的長是.答案答案7解析解析在矩形ABCD中,G是CD的中點(diǎn),AB=8,CG=DG=8=4.在DEG和CFG中,DEG CFG(ASA),DE=CF,EG=FG,設(shè)DE=x,則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x,在RtDEG中,EG=,EF=2,又由題意知BF=EF,4+2x=2,解得x=3,AD=AE+DE=4+3=7,1290 ,DDCFDGCGDGECGF 22DEDG216x 216x 216x BC=AD=7.思路分析思路分析要求BC的長,由BC=AD,AE=4,知只需求出DE

36、的長即可,可設(shè)DE=x,利用已知條件列方程求解.3.(2016溫州,19,8分)如圖,E是 ABCD的邊CD的中點(diǎn),延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.(1)求證:ADE FCE;(2)若BAF=90,BC=5,EF=3,求CD的長.解析解析(1)證明:如圖,ADBC,即ADBF,1=F,D=2,DE=CE,ADE FCE.(2)ADE FCE,CE=DE,AE=EF=3.ABCD,AED=BAF=90.在 ABCD中,AD=BC=5,DE=4,CD=2DE=8.22ADAE方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)(1)利用AAS進(jìn)行證明.(2)由勾股定理求出DE,進(jìn)而得CD的長.4.(2015溫州,18,8分)如圖,點(diǎn)C

37、,E,F,B在同一直線上,點(diǎn)A,D在BC異側(cè),ABCD,AE=DF,A=D.(1)求證:AB=CD;(2)若AB=CF,B=30,求D的度數(shù).解析解析(1)證明:ABCD,B=C.AE=DF,A=D,ABE DCF,AB=CD.(2)AB=CF,AB=CD,CD=CF,D=CFD.C=B=30,D=75.5.(2014杭州,18,8分)在ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點(diǎn)P.求證:PB=PC.并直接寫出圖中其他相等的線段.解析解析在AFB和AEC中,AF=AE,A為公共角,AB=AC,所以AFB AEC,所以ABF=ACE.因?yàn)锳B=AC,所以AB

38、C=ACB,所以PBC=PCB,所以PB=PC.其余相等的線段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.6.(2015重慶,20,7分)如圖,在ABD和FEC中,點(diǎn)B,C,D,E在同一直線上,且AB=FE,BC=DE,B=E.求證:ADB=FCE.證明證明BC=DE,BC+CD=DE+CD,即DB=CE.(3分)又AB=FE,B=E,ABD FEC.(6分)ADB=FCE.(7分)7.(2014陜西,18,6分)如圖,在RtABC中,ABC=90.點(diǎn)D在邊AB上,使DB=BC,過點(diǎn)D作EFAC,分別交AC于點(diǎn)E、CB的延長線于點(diǎn)F.求證:AB=BF.證明證明EFAC,F+C=90.A+C=90,

39、F=A.(3分)又FBD=ABC,DB=BC,FBD ABC.AB=BF.(6分)8.(2014江蘇蘇州,23,6分)如圖,在RtABC中,ACB=90,點(diǎn)D,F分別在AB,AC上,CF=CB.連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得CE,連接EF.(1)求證:BCD FCE;(2)若EFCD,求BDC的度數(shù).解析解析(1)證明:CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得CE,CD=CE,DCE=90.ACB=90,BCD=90-ACD=FCE.在BCD和FCE中,BCD FCE.(2)由BCD FCE得BDC=E.EFCD,E=180-DCE=90.BDC=90.,CBCFBCDFCECD

40、CE 評析評析本題考查全等三角形的判定及性質(zhì),平行線的性質(zhì),屬容易題.1.(2018下沙二模,2)長度分別為2,7,x的三條線段能組成一個(gè)三角形,x的值可能是()A.4B.5C.7D.9考點(diǎn)一考點(diǎn)一 三角形相關(guān)概念與性質(zhì)三角形相關(guān)概念與性質(zhì)三年模擬A A組組 2016 201620182018年模擬年模擬基礎(chǔ)題組基礎(chǔ)題組答案答案C由三角形三邊關(guān)系可知x的取值范圍為5x9.故選C.2.(2018濱江二模,9)四根長度分別為3,4,6,x(x為整數(shù))的木棒,從中任取三根,首尾順次相接都能組成一個(gè)三角形,則()A.組成的三角形中周長最小為9B.組成的三角形中周長最小為10C.組成的三角形中周長最大為

41、19C.組成的三角形中周長最大為16答案答案D若組成的三角形中周長最小為9,則x=9-3-4=2,但2+36,A錯(cuò)誤.若組成的三角形中周長最小為10,則x=10-3-4=3,但3+3=6,B也錯(cuò)誤.若組成的三角形中周長最大為19,則x=19-6-4=9,但3+6=9.C錯(cuò)誤.若組成的三角形中周長最大為16,則x=16-6-4=6,長度分別為3,4,6或3,6,6或4,6,6,都能夠組成三角形.D正確.故選D.3.(2016杭州拱墅一模,4)已知ABC的三邊長都是整數(shù),且AB=2,BC=6,則ABC的周長可能是()A.12B.14C.16D.17答案答案BABC中,AB=2,BC=6,4AC8,

42、又ABC的三邊長都是整數(shù),故AC=5或6或7,則ABC的周長可能是13,14,15.故選B.4.(2018紹興一模)在ABC中,ABC,ACB的平分線交于點(diǎn)P,若BPC=110,則A=.答案答案40解析解析BPC=110,PBC+PCB=70,又BP和CP分別平分ABC和ACB,ABC+ACB=2(PBC+PCB)=140,A=180-140=40.5.(2018溫州二模)如圖,在ABC中,BE和CE分別平分ABC和ACD,已知A=45,則E=.答案答案22.5解析解析本題考查三角形的內(nèi)角、外角平分線的性質(zhì).設(shè)ACD=2,ABD=2.BE、CE分別平分ABC和ACD,ECD=ACE=ACD=,

43、ABE=EBD=ABD=,A=ACD-ABD=2(-),E=ECD-EBD=-,E=A=22.5.1212126.(2018寧波一模)已知:在ABC中,A=40,B=80.(1)請用尺規(guī)作圖在平面內(nèi)確定一點(diǎn)O,使得點(diǎn)O到AC、BC的距離相等,且點(diǎn)O到A,B兩點(diǎn)的距離也相等(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)若OC=6,求O到BC的距離.解析解析(1)如圖,點(diǎn)O即為所求.(2)如圖,過點(diǎn)O作OGCB交CB的延長線于點(diǎn)G,點(diǎn)O到AC、BC的距離相等,OC為ACB的平分線,A=40,B=80,OCB=30,在RtOCG中,OG=OC=6=3.故點(diǎn)O到BC的距離為3.180408021212方法指導(dǎo)方法

44、指導(dǎo)以點(diǎn)C為圓心,以適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交邊AC、BC于點(diǎn)E、F;分別以E、F為圓心,大于EF的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)C、D作射線CD;分別以點(diǎn)A、B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M,N作直線MN與射線CD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為所求.12121.(2016杭州上城一模,7)已知A1B1C1與A2B2C2的周長相等.現(xiàn)有兩個(gè)判斷:若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,則A1B1C1 A2B2C2.若A1=A2,B1=B2,則A1B1C1 A2B2C2.對以上兩個(gè)判斷,下列說法正確的是()A.正確,錯(cuò)誤B.錯(cuò)誤,正確C.和都錯(cuò)誤D.和都正確考點(diǎn)考點(diǎn)二二 全

45、等三角形全等三角形答案答案D對于,A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,且A1B1C1與A2B2C2周長相等,B1C1=B2C2,A1B1C1 A2B2C2,于是正確.對于,A1=A2,B1=B2,A1B1C1A2B2C2,又A1B1C1與A2B2C2周長相等,即相似比為1 1,A1B1C1 A2B2C2,于是正確,故選D.2.(2018上城二模,19)如圖,在ABC中,AB=AC,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),F,G是BC上的兩點(diǎn),且BF=CG,連接DG,EF,交點(diǎn)為H.求證HF=HG.證明證明AB=AC,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),DB=EC,B=C,又BF=CG,BG=CF,BDG

46、CEF(SAS),DGB=EFC,HF=GH.3.(2018杭州上城一模)如圖,四邊形ABCD中,ACBC,ABAD,連接BD交AC于點(diǎn)O,CBO=ABD,E為AC上一點(diǎn),且AE=OC.(1)求證:DEAO;(2)當(dāng)AE=AC,AB=10時(shí),求線段BO的長度.38解析解析(1)證明:ACB=90,BAD=90,CBO+BOC=90,ABD+ADB=90.又CBO=ABD,BOC=ADB,BOC=AOD,AOD=ADB,AD=AO.如圖,過點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F,CBO=ABD,CO=FO,AE=OC,AE=OF,AOF+OAF=90,DAE+OAF=90,AOF=DAE,在AOF和DAE中,AO

47、F DAE(SAS),AFO=DEA=90,DEAO.(2)設(shè)AE=OC=3k,AE=AC,AC=8k,OA=AC-OC=5k.由(1)可知,AD=AO=5k,OF=OC=3k.在RtAOF中,AF=4k,BF=AB-AF=10-4k,易知OFAD,BFOBAD,=,即=,OFAEAOFDAEAODA 3822AOOF22(5 )(3 )kkOFDABFBA35kk10410k解得k=1,BF=10-4k=6,OF=3k=3,在RtBFO中,BO=3.22BFOF22635評析評析本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形,解題關(guān)鍵是靈活轉(zhuǎn)化邊之間的關(guān)系.有一定難

48、度.4.(2017杭州拱墅二模,18)在ABC和DEF中,點(diǎn)B,E,C,F在同一條直線上.下面給出四個(gè)論斷:AB=DE;AC=DF;ABC=DEF;BE=CF.從中選三個(gè)作為已知條件,剩余的一個(gè)作為結(jié)論,請寫出一個(gè)真命題(用序號 的形式表示),并給出證明.解析解析真命題:或.以下證明.BE=CF,BE+EC=EC+CF,即BC=EF,在ABC和DEF中,ABC DEF,AC=DF.(注:證明時(shí),可利用SSS得ABC DEF,從而得ABC=DEF),ABDEABCDEFBCEF 5.(2016金華模擬,19)如圖,在ABC中,AB=CB,ABC=90,D為AB延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC邊上,且BE

49、=BD,連接AE、DE、DC.(1)求證:ABE CBD;(2)若CAE=30,求BDC的度數(shù).解析解析(1)證明:在ABE和CBD中,ABE CBD(SAS).(2)ABE CBD,AEB=BDC,AEB為AEC的外角,AEB=ACB+CAE=45+30=75,則BDC=75.,90 ,ABCBABECBDBEBD 1.(2016溫州二模,17)如圖,在ABC中,BD平分ABC,BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接CF.若A=60,ACF=45,則ABC的度數(shù)為()A.45B.50C.55D.60B B組組 2016201820162018年模擬年模擬提升題組提升題組( (時(shí)間時(shí)

50、間:30:30分鐘分值分鐘分值:30:30分分) )一、選擇題一、選擇題（共（共3 3分）分）答案答案BBD平分ABC,ABD=CBD,設(shè)ABD=CBD=x,則ABC=2x,EF是BC的垂直平分線,BF=CF,FCB=CBD=x,A=60,ACF=45,60+45+x+2x=180,解得x=25,ABC=2x=50,故選B.思路分析思路分析設(shè)ABD=CBD=x,則ABC=2x,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出BF=CF,推出FCB=CBD,進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程,解方程即可.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵合理設(shè)出未知數(shù),并能根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.2.(2017寧波七校聯(lián)考,17)在ABC中,點(diǎn)D

51、,E分別在AB,AC上,且CD與BE相交于點(diǎn)F,已知BDF的面積為6,BCF的面積為9,CEF的面積為6,則四邊形ADFE的面積為.答案24二、填空題（共二、填空題（共3 3分）分）解析解析如圖,連接AF,設(shè)SADF=m,SBDF SBCF=6 9=2 3=DF CF,SAFC=SADF=m=SAEF+SEFC,SAEF=m-6,SBFC SEFC=9 6=3 2=BF EF,SABF SAEF=BF EF=3 2,又SABF=m+SBDF=m+6,SABF SAEF=3 2=(m+6),323232362m解得m=12.SAEF=12,S四邊形ADFE=SAEF+SADF=12+12=24.

52、3.(2016杭州上城一模,19)如圖,A,E,F,B在同一條直線上,CEAB,DFAB,AE=BF,A=B,求證:OC=OD.證明證明AE=BF,AE+EF=BF+EF,即AF=BE,CEAB,DFAB,AFD=BEC=90.在ADF和BCE中,ADF BCE(ASA),AD=BC,A=B,AO=BO,BC-BO=AD-AO,即OC=OD.,ABAFBEAFDBEC 思路分析思路分析要證OC=OD,由A=B易知OB=OA,則只需證AD=BC,這可通過證明三角形全等獲得.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵通過分析題中條件,確定出證哪兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵.4.(2016杭州西湖一模,20)如圖,點(diǎn)A,C,D

53、在同一條直線上,BC與AE交于點(diǎn)F,FA=FC,D=B,AD=BC.(1)求證:ABC EDA;(2)尺規(guī)作圖:作AED沿著AD方向平移AC長度后的三角形;(保留作圖痕跡,不寫作法)(3)若AC=5cm,EAD=20,請問AED經(jīng)過怎樣的運(yùn)動(dòng)可變?yōu)镃AB?解析解析(1)證明:因?yàn)镕A=FC,所以FAC=FCA,在ABC與EDA中,BCA=DAE,BC=DA,B=D,所以ABC EDA.(2)如圖,圖中CMN即為所求作的三角形.(3)將AED沿AD方向平移5cm得CMN,再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)160即得CAB.1.(2017寧波七校聯(lián)考,16)如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=2

54、CD,F是AD的中點(diǎn),作CEAB,垂足E在線段AB上,連接EF、CF,則下列結(jié)論:DCF=ECF;EF=CF;DFE=3AEF;SBECECF,DCFECF,故錯(cuò)誤.易證四邊形DFKC是菱形,DFC=KFC.AEFK,AEF=EFK,FE=FC,FKEC,EFK=KFC,EFK=KFC=DFC=AEF,12DFE=3AEF,故正確.易證四邊形EBCN是平行四邊形,SBEC=SENC,易知SEHC=2SEFC,SEHCSENC,SBEC2SCEF,故正確.故正確的為.2.(2017溫州樂清二模,25)如圖1,正方形ABCD中,E為BC上一點(diǎn),過B作BGAE于G,延長BG至點(diǎn)F使CFB=45.(1

55、)求證:AG=FG;(2)如圖2,延長FC、AE交于點(diǎn)M,連接DF、BM,若C為FM的中點(diǎn),BM=10,求FD的長.解析解析(1)證明:過C點(diǎn)作CHBF于點(diǎn)H,CFB=45,CH=HF,ABG+BAG=90,FBE+ABG=90,BAG=FBE,AGBF,CHBF,AGB=BHC=90.在AGB和BHC中,AGB=BHC,BAG=CBH,AB=BC,AGB BHC,AG=BH,BG=CH,BH=BG+GH,BH=CH+GH=HF+GH=FG,AG=FG.(2)如圖,CHGF,BGAE,CHGM,C為FM的中點(diǎn),CH=GM,BG=GM,BM=10,由勾股定理可得BG=2,GM=4,CH=BG=2,1212555CF=2=2,CM=2,GFM為等腰直角三角形,GF=GM,又GF=AG,AG=GM,AB=BM,BC=BM,過B點(diǎn)作BKCM于K,則CK=CM=,BK=3,過D作DQMF交MF的延長線于Q,可得BKC CQD,CQ=BK=3,DQ=CK=,5210101210101010QF=CQ-CF=CQ-CM=3-2=,DF=2.10101010105