江蘇省2018中考數(shù)學(xué)試題研究 第一部分 考點(diǎn)研究 第四章 三角形 第17課時(shí) 等腰三角形與直角三角形練習(xí)

第17課時(shí) 等腰三角形與直角三角形1.（2017包頭）若等腰三角形的周長為10cm，其中一邊長為2 cm，則該等腰三角形的底邊長為 ( )A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm2. (2017長沙)一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為123,則這個(gè)三角形一定是( )A. 銳角三角形 B. 直角三角形C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形3. （2017大連）如圖，在ABC中，ACB=90°，CDAB，垂足為D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CD=DE=a，則AB的長為( )A. 2a B. C. 3a D. 第3題圖4. (2017荊州)如圖，在ABC中，AB=AC,A=30°，AB的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D，則CBD的度數(shù)為（）第4題圖A. 30° B. 45° C. 50° D. 75°5. (2017南充)如圖，等邊OAB的邊長為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )A. (1,1) B. (3,1) C. (3，3) D. (1,3)第5題圖6. （2017臺(tái)州）如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是( )第6題圖A. AE=EC B. AE=BEC. EBC=BAC D. EBC=ABE7. (2017聊城)如圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形，線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上.如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn)，連接PA，PB那么使ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( )第7題圖A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)8. （2017海南）已知ABC的三邊長分別為4、4、6，在ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫( )條.A. 3 B. 4 C. 5 D. 69. （2017襄陽）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(a+b)2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為( )第9題圖A. 3 B. 4 C. 5 D. 610. （2017河池）已知等邊ABC的邊長為12，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DEAC于點(diǎn)E，過E作EFBC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FGAB于點(diǎn)G，當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長是( )A. 3 B. 4 C. 8 D. 911. (2017麗水)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，則頂角的度數(shù)是_.12. （2017內(nèi)高）已知等腰三角形一邊長等于4，一邊等于9，則它的周長是_.13. （2017淄博）在邊長為4的等邊三角形ABC中，D為BC邊上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE+DF=_.14. （2017益陽）如圖，ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB邊上的中線，則CD=_.第14題圖15. (2017青島)如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ADC=90°，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接BE，ED，BD，若BAD=58°，則EBD的度數(shù)為_度.第15題圖16. （2017瀘州）在ABC中，已知BD和CE分別是邊AC，AB上的中線，且BDCE，垂足為O，若OD=2 cm,OE=4 cm,則線段AO的長度為_cm.17. (2016哈爾濱）在等腰直角三角形ABC中,ACB=90°,AC=3,點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn),連接AP,則AP的長為_.18. （2017杭州）如圖，在RtABC中，BAC=90°，AB=15，AC=20，點(diǎn)D在邊AC上，AD=5，DEBC于點(diǎn)E，連接AE，則ABE的面積等于_.第18題圖19. （2017北京）如圖，在ABC中，AB=AC,A=36°，BD平分ABC交AB于點(diǎn)D.求證：AD=BC.第19題圖20. （2017內(nèi)江）如圖，AD平分BAC，ADBD,垂足為點(diǎn)D，DEAC.求證：BDE是等腰三角形.第20題圖滿分沖關(guān)1. （2017武漢）如圖，在RtABC中，C=90°，以ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7第1題圖2. （2017天津）如圖，在ABC中，AB=AC,AD,CE是ABC的兩條中線，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長等于BP+EP最小值的是( )第2題圖A. BC B. CE C. AD D. AC3. (2016株洲)如圖,以直角三角形a,b,c為邊,向外分別作等邊三角形、半圓 、等腰直角三角形和正方形,上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)有（ ）第3題圖A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)4. (2017咸寧)如圖，在RtACB中，BC=2,BAC=30°，斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動(dòng)，下列結(jié)論：若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，則OA=23；C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；若AB平分CO,則ABCO;斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長為2.其中正確的是.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)第4題圖答案1. A【解析】若2 cm為等腰三角形的腰長，則底邊長為10226(cm)，226，不符合三角形的三邊關(guān)系，若2 cm為等腰三角形的底邊，則腰長為(102)÷24(cm)，此時(shí)三角形的三邊長分別為2 cm，4 cm，4 cm，符合三角形的三邊關(guān)系2. B【解析】一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3，設(shè)這三個(gè)內(nèi)角分別為x，2x，3x，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得x2x3x180°，解得x30°，3x90°，則這個(gè)三角形一定是直角三角形，但不是等腰直角三角形3. B【解析】CDAB，CDDEa，CEa，在ABC中，ACB90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB2CE2a.4. B【解析】A30°，ABAC，ABCACB75°，又l為AB的垂直平分線，DBDA，DBAA30°CBDCBADBA75°30°45°，故選B.5. D【解析】如解圖，過點(diǎn)B作BCx軸于點(diǎn)C.由于OAB是等邊三角形，則OC1，在RtOBC中，根據(jù)勾股定理BC.于是得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)第5題解圖6. C【解析】由作圖知，BCBE，BCEBEC，ABAC，BCACBA，BCEBECCBA，EBC180°BCEBEC，BAC180°BCACBA，EBCBAC.7. B【解析】分A為直角頂點(diǎn)、B為直角頂點(diǎn)和AB為底三個(gè)角度考慮，以A為直角頂點(diǎn)，能構(gòu)成1個(gè)等腰直角三角形；以B為頂點(diǎn)，能構(gòu)成2個(gè)等腰直角三角形；AB為底不存在，故選B.8. B【解析】如解圖，符合條件的直線共有 4 條：(1)在邊BC上截取CECA，BFBA，連接AE、AF，得到等腰三角形CEA，BAF；(2)分別作AB，AC的中垂線交BC于點(diǎn)M、N，連接AM，AN，得到等腰三角形MAB，NCA.綜上所述，直線AE、AF、AM、AN均滿足題意第8題解圖9. C【解析】由題意可知，如解圖，S正方形ABCD13，AB，AGa，BGb，a2b2AB213，(ab)2a22abb221，2ab(ab)2a2b221138，ab4，SABGa·b×42，S小正方形S大正方形4SABG134×25.第9題解圖10. C【解析】設(shè)BDx，如解圖，ABC是等邊三角形，ABC60°，DEAC于點(diǎn)E，EFBC于點(diǎn)F，F(xiàn)GAB，BDFDEAEFC90°，BF2x，CF122x，CE2CF244x，AE12CE4x12，AD2AE8x24，ADBDAB，8x24x12，x4，AD8x2432248.第10題解圖11. 100°【解析】由三角形內(nèi)角和定理可知，若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，則這個(gè)內(nèi)角為頂角，此時(shí)兩底角均為40°，即該三角形頂角的度數(shù)是100°.12. 22【解析】分兩種情況：當(dāng)?shù)走呴L為4，腰長為9時(shí)，499，周長為49922；當(dāng)?shù)走呴L為9，腰長為4時(shí)，449，故此時(shí)等腰三角形不存在故答案為22.13. 2【解析】假設(shè)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，可得DEDF為等邊三角形AC邊上的高，再由等邊三角形的邊長為4，可求AC邊上的高為2.14. 【解析】ABC中，AC5，BC12，AB13，AC2BC2AB2，ABC為直角三角形，又CD是AB邊上的中線，根據(jù)直角三角形“斜邊中線等于斜邊一半”可知：CDAB.15. 32【解析】ABCADC90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AEDECEBE，EADEDA，EABEBA，CED是ADE的外角，CED2EAD，同理CEB2EAB，DEB2DAB2×58°116°，BEDE，EBDEDB(180°BED)(180°116°)32°.16. 4【解析】如解圖，連接AO，作OFAB于點(diǎn)F.BD、CE是ABC中線，OB2OD4，OE4，BDCE，BOE是等腰直角三角形，AEBE4，OFEF2，AF6，AO4.第16題解圖17. 或【解析】由題知，P為直角邊BC的三等分點(diǎn)，顯然分兩種情況討論：如解圖，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)B時(shí)，ACBC3，CP2，在RtACP中，由勾股定理得AP；如解圖，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)C時(shí)，ACBC3，CP1，在RtACP中，由勾股定理得AP. 綜上可得AP或.第17題解圖18. 78【解析】如解圖，過A作AHBC，AB15，AC20，BAC90°，由勾股定理得，BC25，AD5，DC20515，DEBC，BAC90°，CDECBA，CE×2012.BC·AHAB·AC，AH12，SABE×12×1378.第18題解圖19. 證明：ABAC，A36°，ABCC72°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，ABDDBC36°，AABD，ADBD，C72°，BDC72°，CBDC，BCBD，ADBC.20. 證明：AD平分BAC，BADDAC，DEAC，ADEDAC，BADADE，ADBD，ADB90°，BADABD90°.BDEADE90°，EBDBDE，BEDE，BDE是等腰三角形滿分沖關(guān)1. D【解析】設(shè)等腰三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)為D，則當(dāng)ACAD時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于一點(diǎn)，即為點(diǎn)D，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形；若ACCD時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，AC長為半徑，與線段AB和BC不再有新的交點(diǎn)，故此時(shí)不存在等腰三角形；當(dāng)ADCD時(shí)，作AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形；當(dāng)CDBC時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC和AB于兩點(diǎn)，故此時(shí)存在兩個(gè)等腰三角形；當(dāng)BCBD時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB邊于一點(diǎn)，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形；當(dāng)CDBD時(shí)，作BC的垂直平分線交AB于一點(diǎn)，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形；當(dāng)ABAD或ABBD時(shí)，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，AB為半徑，與AC和BC均無另外交點(diǎn)，故此情況不存在等腰三角形；當(dāng)ADBD時(shí)，作AB的垂直平分線交AC于一點(diǎn)，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形綜上所述，等腰三角形共有7個(gè)2. B【解析】如解圖，連接CP，由ABAC，AD是ABC的一條中線可知，BPCP，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AD與CE交點(diǎn)時(shí)BPEPCE；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AD的其它位置時(shí)，在CPE中，CPEP>CE，故BPEP的最小值等于線段CE.第2題解圖3. D【解析】題圖中，S1a2，S2b2，S3c2，a2S1，b2S2，c2S3，a2b2c2，S1S2S3，即S1S2S3；題圖中，S1()2，S2()2，S3()2，a2S1 ，b2S2 ，c2S3，a2b2c2，S1S2S3 ，即S1S2S3；題圖中，設(shè)斜邊長為a的等腰直角三角形的直角邊為x，則xa，同理可得，那兩個(gè)三角形的直角邊分別為b和c，S1×a×a，S2×b×b，S3×c×c，a24S1，b24S2，c24S3，a2b2c2，4S14S24S3 ，即S1S2S3；題圖中，S1a2，S2b2，S3c2，a2b2c2，S1S2S3.4. 【解析】若C，O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，即AB垂直平分CO，BOBC2.BAOBAC30°，在直角三角形BOA中，可求得OA2，此結(jié)論正確；由于BOABCA90°，C，B，O，A四點(diǎn)共圓，而在圓中最長的線段即是直徑為4.當(dāng)CO兩點(diǎn)是直徑時(shí)為距離最大值是4，此結(jié)論正確；當(dāng)AB、CO均為直徑時(shí)，AB平分CO，但不一定垂直，此結(jié)論不正確；由題意求半徑為2，而D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)，2為半徑的一段弧，圓心角為BOA90°，利用弧長公式，即斜邊AB的路徑長為，此結(jié)論不正確5. x0或x44或4<x<4【解析】(1)當(dāng)OMx0時(shí)，如解圖，以M為圓心，NM為半徑畫圓，交OB于點(diǎn)P1，則MNMP14，MP1N為以點(diǎn)M為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；以N為圓心，MN為半徑畫圓，則NMNP24，NMP2為以點(diǎn)N為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；過點(diǎn)N作NP3MB，則NP3MP3 2，NMP3為以點(diǎn)P3為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，恰好構(gòu)成3個(gè)等腰三角形；第5題解圖(2)當(dāng)x4且以點(diǎn)N為圓心，MN為半徑的圓與OB相切時(shí)，如解圖，設(shè)切點(diǎn)為P1，連接MP1和NP1，則MNNP14，NMP1就是以N為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，NP1O90°，ON4，ONx4，xON444；以M為圓心，MN為半徑畫圓，交OB于點(diǎn)P2，則MNMP2，MP2N就是以M為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P3，則P3MP3N，P3MN是以P3為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形當(dāng)x44時(shí)，點(diǎn)P也恰好有3個(gè)第5題解圖(3)當(dāng)x4且以點(diǎn)M為圓心，MN為半徑的圓與OB相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)分別為P1，P2，如解圖，連接MP1和NP1，則MNMP14，MNP1就是以M為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；連接MP2和NP2，則MNMP2，MP2N就是以M為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P3，則P3MP3N，P3MN是以P3為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形此時(shí)以N為圓心，M為半徑的圓與OB相離，此時(shí)x的取值范圍是4<x<4.第5題解圖綜上所述，x的值是0或44或4x4.14