（東營專版）2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題類型突破 專題五 二次函數(shù)綜合題訓(xùn)練

專題類型突破專題五二次函數(shù)綜合題類型一 線段、周長問題 (2018·宜賓中考改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，且經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，如圖，直線yx與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線l為y1.(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A，B的距離相等？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)在l上是否存在一點(diǎn)P，使PAPB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(4)設(shè)點(diǎn)S是直線l的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)S，使的SBSA最大，若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)【分析】 (1)設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)a(x2)2，將點(diǎn)(4，1)代入即可求a的值，得出拋物線的解析式；(2)聯(lián)立直線AB與拋物線解析式得到點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，m)，利用等式MA2MB2，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)利用最短線段思想，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B，連接AB交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PAPB取得最小值求出直線AB解析式后，聯(lián)立直線l得出點(diǎn)P坐標(biāo)；(4)由最短線段思想可知，當(dāng)S，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，SBSA取得最大值【自主解答】1(2018·廣西中考)如圖，拋物線yax25axc與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A(3，0)，C(0，4)，點(diǎn)B在x軸上，ACBC，過點(diǎn)B作BDx軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CMBN，連接MN，AM，AN.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)試求出AMAN的最小值類型二 圖形面積問題 (2018·菏澤中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx5交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B(5，0)和點(diǎn)C(1，0)，過點(diǎn)A作ADx軸交拋物線于點(diǎn)D.(1)求此拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線AD上，求EAD的面積；(3)若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，ABP的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和ABP的最大面積【分析】 (1)根據(jù)題意可以求得a，b的值，從而可以求得拋物線的解析式；(2)根據(jù)題意可以求得AD的長和點(diǎn)E到AD的距離，從而可以求得EAD的面積；(3)根據(jù)題意可以求得直線AB的函數(shù)解析式，再根據(jù)題意可以求得ABP的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題【自主解答】2如圖，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(9，10)，ACx軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由類型三 拋物線上架構(gòu)的三角形問題 (2018·懷化中考改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22xc與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；(2)請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使BDM的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)M，使得ACM是以AC為底的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【分析】 (1)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)a(x1)(x3)，展開得到2a2，然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C(0，3)，然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標(biāo)為(1，4)，作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B，連接DB交y軸于點(diǎn)M，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)MBMD的值最小，則此時(shí)BDM的周長最小，然后求出直線DB的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，利用兩直線垂直一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)求出直線PC的解析式，當(dāng)過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P時(shí)，利用同樣的方法可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)因?yàn)锳CM是以AC為底的等腰三角形，得出MA2MB2，然后分類討論點(diǎn)M在x軸、y軸時(shí)的兩種情況，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可【自主解答】 是否存在一點(diǎn)，使之與另外兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形(直角三角形)的問題：首先弄清題意(如等腰三角形：若某邊為底邊，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況)；其次借助于動(dòng)點(diǎn)所在圖形的解析式，表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；然后按分類的情況，利用幾何知識(shí)建立方程(組)，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，注意要根據(jù)題意舍去不符合題意的點(diǎn)3(2018·臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ACB90°，OC2OB，tanABC2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，拋物線yx2bxc經(jīng)過A，B兩點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PEDE.求點(diǎn)P的坐標(biāo)；在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由類型四 拋物線上架構(gòu)的四邊形問題 (2018·齊齊哈爾中考)綜合與探究如圖1所示，直線yxc與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A，C.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，求CEOE的最小值；(3)如圖2所示，點(diǎn)M是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P，N.若以C，P，N為頂點(diǎn)的三角形與APM相似，則CPN的面積為_；若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【分析】 (1)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式；(2)取點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸直線l的對稱點(diǎn)C，由兩點(diǎn)之間線段最短，最小值可得；(3)由已知，注意相似三角形的分類討論設(shè)出M坐標(biāo)，求點(diǎn)P坐標(biāo)注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對稱軸對稱得到的本題即為研究CPN為等腰三角形的情況【自主解答】 解答存在性問題的一般思路解答存在性問題的一般思路是先假設(shè)問題存在，然后推理得出結(jié)論，進(jìn)而判斷結(jié)論是否成立遇到有兩個(gè)定點(diǎn)確定平行四邊形或其他特殊四邊形的問題時(shí)，常常要運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想，分別畫出符合要求的圖形，找到所有的答案，分類時(shí)要注意不重不漏4(2017·天水中考)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax22ax3a(a0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：ykxb與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD4AC.(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；(2)求直線l的函數(shù)解析式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若ACE的面積的最大值為，求a的值；(4)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由參考答案類型一【例1】 (1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)2.該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，14a，解得a，拋物線的解析式為y(x2)2x2x1.(2)存在聯(lián)立解得或點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，m)，MA2(01)2(m)2，MB2(04)2(m1)2.點(diǎn)M到A，B的距離相等，MA2MB2，即(01)2(m)2(04)2(m1)2，m，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)(3)存在如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B，連接AB交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PAPB取得最小值點(diǎn)B(4，1)，直線l為y1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，3)設(shè)直線AB的解析式為ykxb(k0)，將A(1，)，B(4，3)代入ykxb得解得直線AB的解析式為yx.當(dāng)y1時(shí)，有x1，解得x，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，1)(4)存在點(diǎn)S和點(diǎn)A，B在同一條直線上時(shí)，SBSA最大點(diǎn)S在直線l上，設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)為(n，1)，代入yx得n4，點(diǎn)S的坐標(biāo)為(4，1)變式訓(xùn)練1解：(1)把A(3，0)，C(0，4)代入yax25axc得解得拋物線解析式為yx2x4.ACBC，COAB，OBOA3，B(3，0)BDx軸交拋物線于點(diǎn)D，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x3時(shí)，y×9×345，D點(diǎn)坐標(biāo)為(3，5)(2)在RtOBC中，BC5.設(shè)M(0，m)，則BN4m，CN5(4m)m1.MCNOCB，當(dāng)時(shí)，CMNCOB，則CMNCOB90°，即，解得m，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)當(dāng)時(shí)，CMNCBO，則CNMCOB90°，即，解得m，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)或(0，)(3)如圖，連接DN，AD.ACBC，COAB，OC平分ACB，ACOBCO.BDOC，BCODBC.DBBCAC5，CMBN，ACMDBN，AMDN，AMANDNAN，而DNANAD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，N，D共線時(shí)取等號(hào))，AD，AMAN的最小值為.類型二【例2】 (1)拋物線yax2bx5經(jīng)過點(diǎn)B(5，0)和點(diǎn)C(1，0)，解得拋物線的解析式為yx24x5.(2)拋物線yx24x5交y軸于點(diǎn)A，A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5)又點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線AD上，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5.如圖，過點(diǎn)E作EFDA，交DA的延長線于點(diǎn)F，EF5|5|10.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a，5)，a24a55，a10，a24，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，5)，AD|4|4，SADEAD·EF×4×1020.(3)設(shè)直線AB的解析式為ykxb，且該直線經(jīng)過點(diǎn)B(5，0)和點(diǎn)A(0，5)，解得直線AB的解析式為yx5.如圖，過點(diǎn)P作PNx軸，垂足為點(diǎn)N，交直線AB于點(diǎn)M.設(shè)P(x，x24x5)，則M(x，x5)，SABPSPMBSPMA(x5)(x24x5)×5(x25x)(x)2，當(dāng)x時(shí)，SABP最大，最大值為.將x代入yx24x5得y，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)變式訓(xùn)練2解：(1)把點(diǎn)A(0，1)，B(9，10)的坐標(biāo)代入yx2bxc，得解得拋物線的解析式是yx22x1.(2)ACx軸，A(0，1)，由x22x11，解得x16，x20.C(6，1)設(shè)直線AB的解析式是ykxb(k0)，由解得則直線AB的解析式是yx1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m22m1)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，m1)，EPm1(m22m1)m23m.ACEP，AC6，S四邊形AECPSAECSAPCAC·EFAC·PFAC·(EFPF)AC·PE×6×(m23m)m29m(m)2.又6m0，則當(dāng)m時(shí)，四邊形AECP的面積的最大值是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)(3)由yx22x1(x3)22，得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3，2)，此時(shí)PFyFyP3，CFxFxC3，則在RtCFP中，PFCF，PCF45°.同理可求EAF45°，PCFEAF，在直線AC上存在滿足條件的Q，如圖CPQ1ABC或CQ2PABC.可求AB9，AC6，CP3，當(dāng)CPQ1ABC時(shí)，設(shè)Q1(t1，1)，由，得，解得t14.當(dāng)CQ2PABC，設(shè)Q2(t2，1)，由，得，解得t23.綜上，滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別是Q1(4，1)或Q2(3，1)類型三【例3】 (1)設(shè)拋物線解析式為ya(x1)(x3)，即yax22ax3a，2a2，解得a1，拋物線解析式為yx22x3.當(dāng)x0時(shí)，yx22x33，則C(0，3)設(shè)直線AC的解析式為ypxq，把A(1，0)，C(0，3)代入得解得直線AC的解析式為y3x3.(2)yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)如圖，作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B，則B(3，0)，連接DB交y軸于M.MBMB，MBMDMBMDDB，此時(shí)MBMD的值最小BD的值不變，此時(shí)BDM的周長最小易得直線DB的解析式為yx3.當(dāng)x0時(shí)，yx33，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，3)(3)存在如圖，過點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P.直線AC的解析式為y3x3，直線PC的解析式可設(shè)為yxb，把C(0，3)代入得b3，直線PC的解析式為yx3.解方程組得或則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)如圖，過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PA的解析式可設(shè)為yxb1，把A(1，0)代入得b10，解得b1，直線PC的解析式為yx.解方程組得或則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)存在當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(n，0)，MA2MB2，即n(1)2n2(03)2，n4，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，0)當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，a)，MA2MB2，即0(1)2(a0)2(3a)2，a，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，0)或(0，)變式訓(xùn)練3解：(1)在RtABC中，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可知OB1.OC2OB，OC2，則BC3.又tanABC2，AC2BC6，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，6)把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線yx2bxc中得解得該拋物線的解析式為yx23x4.(2)由點(diǎn)A(2，6)和點(diǎn)B(1，0)的坐標(biāo)易得直線AB的解析式為y2x2.如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m23m4)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，2m2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，0)，則PEm2m2，DE2m2，由PEDE得m2m2(2m2)，解得m±1.又2m1，m1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，6)M在直線PD上，且P(1，6)，設(shè)M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2，BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245.分三種情況：()當(dāng)AMB90°時(shí)，有AM2BM2AB2，1(y6)24y245，解得y3±，M(1，3)或(1，3)；()當(dāng)ABM90°時(shí)，有AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得y1，M(1，1)()當(dāng)BAM90°時(shí)，有AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得y，M(1，)綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，3)或(1，3)或(1，1)或(1，)類型四【例4】 (1)將A(4，0)代入yxc得c4，將A(4，0)和c4代入yx2bxc得b3，拋物線解析式為yx23x4.(2)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)C，連接OC，交直線l于點(diǎn)E，連接CE，此時(shí)CEOE的值最小拋物線對稱軸直線x，CC3.由勾股定理可得OC5，CEOE的最小值為5.(3)當(dāng)CNPAMP時(shí)，CNP90°，則NC關(guān)于拋物線對稱軸對稱，NCNP3，CPN的面積為.當(dāng)CNPMAP時(shí)，由已知NCP為等腰直角三角形，NCP90°.如圖，過點(diǎn)C作CEMN于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a，0)，EPECa，則N為(a，a23a4)，MPa23a4(2a)a2a4，P(a，a2a4)，代入yx4，解得a2或a0(舍)，則N(2，6)，P(2，2)，故PN4.又ECa2，CPN的面積為4.故答案為或4.存在設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a，0)，則點(diǎn)N坐標(biāo)為(a，a23a4)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，)，把點(diǎn)P坐標(biāo)代入yx4，解得a14(舍去)，a21.當(dāng)PFFM時(shí)，點(diǎn)D在MN垂直平分線上，則D(，)；當(dāng)PMPF時(shí)，由菱形性質(zhì)得點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，)或(1，)；當(dāng)MPMF時(shí)，M，D關(guān)于直線yx4對稱，點(diǎn)D坐標(biāo)為(4，3)變式訓(xùn)練4解：(1)當(dāng)y0時(shí)，ax22ax3a0，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，對稱軸為直線x1.(2)直線l為ykxb且過A(1，0)，0kb，即kb，直線l為ykxk.拋物線與直線l交于點(diǎn)A，D，ax22ax3akxk，即ax2(2ak)x3ak0.CD4AC，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，31×4，ka，直線l的函數(shù)解析式為yaxa.(3)圖1如圖1，過點(diǎn)E作EFy軸交直線l于點(diǎn)F.設(shè)E(x，ax22ax3a)，則F(x，axa)，EFax22ax3aaxaax23ax4a，SACESAFESCEF(ax23ax4a)(x1)(ax23ax4a)x(ax23ax4a)a(x)2a，ACE的面積的最大值為a.ACE的面積的最大值為，a，解得a.(4)以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形令ax22ax3aaxa，即ax23ax4a0，解得x11，x24，D(4，5a)拋物線的對稱軸為直線x1，設(shè)P(1，m)，如圖2，若AD是矩形ADPQ的一條邊，圖2則易得Q(4，21a)，m21a5a26a，則P(1，26a)四邊形ADPQ是矩形，ADP90°，AD2PD2AP2，52(5a)232(26a5a)222(26a)2，即a2.a0，a，P(1，)如圖3，若AD是矩形APDQ的對角線，圖3則易得Q(2，3a)，m5a(3a)8a，則P(1，8a)四邊形APDQ是矩形，APD90°，AP2PD2AD2，(11)2(8a)2(14)2(8a5a)252(5a)2，即a2.a0，a，P(1，4)綜上所述，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，)或(1，4)21