（泰安專版）2019版中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 第四章 圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 第16講 等腰三角形與證明精練

第16講等腰三角形與證明A組基礎(chǔ)題組一、選擇題1.下列命題錯(cuò)誤的是()A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形C.一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形2.如圖,等邊OAB的邊長(zhǎng)為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)3.平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使ABC為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是()A.5B.6C.7D.84.(2017濱州)如圖,在ABC中,AB=AC,D為BC上一點(diǎn),且DA=DC,BD=BA,則B的大小為()A.40°B.36°C.30°D.25°二、填空題5.如圖,ABC是等邊三角形,BD平分ABC,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且CE=1,E=30°,則BC=. 三、解答題6.(2017肥城模擬)已知:如圖,ABC中,ABC=45°,CDAB于D,BE平分ABC,且BEAC于E,與CD相交于點(diǎn)F,H是BC邊的中點(diǎn),連接DH與BE相交于點(diǎn)G.(1)求證:BF=AC;(2)求證:CE=BF.7.(2018淄博)(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖1,小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點(diǎn)M,N,G,連接GM,GN.小明發(fā)現(xiàn)了:線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是;位置關(guān)系是; (2)類比思考:如圖2,小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中AB>AC,其他條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由;(3)深入研究:如圖3,小明在(2)的基礎(chǔ)上,又作了進(jìn)一步的探究.向ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其他條件不變,試判斷GMN的形狀,并給予證明.B組提升題組一、選擇題1.已知直線y=-x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P在拋物線y=-(x-)2+4上,能使ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()A.3B.4C.5D.6二、填空題2.(2017泰安寧陽(yáng)模擬)“在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩直線平行”這個(gè)命題的條件是,結(jié)論是, 它是一個(gè)命題. 3.有一面積為5的等腰三角形,它的一個(gè)內(nèi)角是30°,則以它的腰長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積為. 三、解答題4.動(dòng)手操作題:如圖,在一張長(zhǎng)為7 cm,寬為5 cm的矩形紙片上,現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為4 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合,其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上),求剪下的等腰三角形的面積.第16講等腰三角形與證明A組基礎(chǔ)題組一、選擇題1.C2.D3.A如圖,當(dāng)AB=AC時(shí),以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(點(diǎn)B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中點(diǎn)C0與A、B兩點(diǎn)共線,不符合題意;當(dāng)AB=BC時(shí),以點(diǎn)B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),均符合題意;當(dāng)AC=BC時(shí),作AB的垂直平分線,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),均符合題意.所以滿足條件的點(diǎn)C有5個(gè),故選A.4.B根據(jù)題目中給定的條件,可以判定ADC、ABD和ABC均為等腰三角形,設(shè)C=x°,則B=x°,ADB=2x°(三角形中兩內(nèi)角和為等于第三個(gè)角的外角),BAD=2x°,根據(jù)三角形內(nèi)角和180°,解得x=36°,所以答案為B.二、填空題5.答案2解析ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60°,BA=BC.BD平分ABC,DBC=E=30°,BDAC,BDC=90°,BC=2DC.ACB=E+CDE,CDE=E=30°,CD=CE=1,BC=2CD=2.故答案為2.三、解答題6.證明(1)CDAB,ABC=45°,BCD是等腰直角三角形.BD=CD.DBF=90°-BFD,DCA=90°-EFC,且BFD=EFC,DBF=DCA.在RtDFB和RtDAC中,RtDFBRtDAC(ASA),BF=AC.(2)BE平分ABC,ABE=CBE.在RtBEA和RtBEC中,RtBEARtBEC(ASA).CE=AE=AC.由(1)知BF=AC,CE=BF.7.解析(1)MG=NG;MGNG,連接BE,CD相交于H,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,AB=AC,BAD=CAE=90°,CAD=BAE,ACDAEB(SAS),CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90°,BHD=90°,CDBE,點(diǎn)M,G分別是BD,BC的中點(diǎn),MG􀱀CD,同理:NG􀱀BE,MG=NG,MGNG,故答案為MG=NG,MGNG.(2)成立,理由如下:連接CD,BE,相交于H,同(1)的方法得,MG=NG,MGNG.(3)等腰直角三角形.連接EB,DC并延長(zhǎng),使其相交于H,M,N,G分別是BD,CE,BC的中點(diǎn),MGCD,MG=CD,NGBE,NG=BE,同(1)的方法得,ABEADC,AEB=ACD,BE=DC,CEH+ECH=AEH-AEC+180°-ACD-ACE=ACD-45°+180°-ACD-45°=90°,MG=NG,DHE=90°,MGNG.B組提升題組一、選擇題1.A以點(diǎn)B為圓心,線段AB長(zhǎng)為半徑作圓,交拋物線于點(diǎn)C、M、N,連接AC、BC,如圖所示.令一次函數(shù)y=-x+3中x=0,則y=3,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3).令一次函數(shù)y=-x+3中y=0,即-x+3=0,解得x=.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0).AB=2.由題意知拋物線的對(duì)稱軸為x=,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3),AC=2=AB=BC,ABC為等邊三角形.令y=-(x-)2+4中y=0,即-(x-)2+4=0,解得x=-或x=3.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,0),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0).ABP為等腰三角形分三種情況:當(dāng)AB=BP時(shí),以B點(diǎn)為圓心,AB的長(zhǎng)度為半徑作圓,與拋物線交于C、M、N三點(diǎn);當(dāng)AB=AP時(shí),以A點(diǎn)為圓心,AB的長(zhǎng)度為半徑作圓,與拋物線交于C、M兩點(diǎn);當(dāng)AP=BP時(shí),作線段AB的垂直平分線,與拋物線交于C、M兩點(diǎn).能使ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是3.故選A.二、填空題2.答案同一平面內(nèi)兩直線垂直于同一條直線;這兩條直線平行;真3.答案20或20解析在等腰ABC中,設(shè)AB=AC=x.當(dāng)頂角A=30°時(shí),如圖1,作CDAB,垂足為D.sin 30°=,CD=x,·x·x=5,x2=20,即以它的腰長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積為20;當(dāng)?shù)捉荁=ACB=30°時(shí),如圖2,作CDBA,交BA的延長(zhǎng)線于D.DAC=B+ACB=60°,sin 60°=,CD=x,·x·x=5,x2=20,即以它的腰長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積為20.綜上,以它的腰長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積為20或20.三、解答題4.解析分三種情況計(jì)算:(1)當(dāng)AE=AF=4 cm時(shí),如圖1:SAEF=AE·AF=×4×4=8(cm2);(2)當(dāng)AE=EF=4 cm時(shí),如圖2:則BE=5-4=1 cm,BF= cm,SAEF=·AE·BF=×4×=2(cm2);(3)當(dāng)AE=EF=4 cm時(shí),如圖3:則DE=7-4=3 cm,DF= cm,SAEF=AE·DF=×4×=2(cm2).故剪下的等腰三角形的面積為8 cm2或2 cm2或2 cm2.10