重慶市2018年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 圓 數(shù)學(xué)文化講堂（五）練習(xí)

數(shù)學(xué)文化講堂(五)一 圓周率材料一歷史上，對于圓周率的研究是古代數(shù)學(xué)一個經(jīng)久不衰的話題，在我國，東漢初年周髀算經(jīng)里就有“徑一周三”的故率，公元前3世紀古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過圓內(nèi)接和外切正多邊形逼近圓周的方法得到圓周率介于3和3之間我國魏晉時期劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，南朝祖沖之進一步求得的值，他是第一個將其精確到7位的人(華師九下P68)第1題圖1. 設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L，圓的直徑為d，如圖所示，當n6時，3，那么當n12時，_(結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：sin75°cos15°0.966)二 九章算術(shù)方田九章算術(shù)與古希臘歐幾里得的幾何原本并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉，是中國古代算經(jīng)十書中最重要的一種，它系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，標志著以算籌為基礎(chǔ)的中國古代數(shù)學(xué)體系的正式形成全書分為9章，卷一“方田”中，詳細記述了扇形、弓形、環(huán)形的面積計算方法材料二“方田”篇中所記：宛田面積術(shù)曰：以徑乘周，四而一其中，宛田：扇形的田地；徑：扇形的直徑；周：扇形的弧長；意思是：扇形的面積直徑×弧長÷4.2. 請完成下列問題：(1)請用所學(xué)公式證明古人方法是否正確；(2)我們將弧長與半徑相等的扇形叫作“等邊扇形”，試求面積為16的“等邊扇形”的弧長為_材料三“方田”篇中還記載：弧田面積術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一即給出了計算弧田面積的經(jīng)驗公式：(弦×矢矢×矢)÷2.弧田(如圖)，由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差(弓形的高)3. 按照上述經(jīng)驗公式計算所得的弧田面積與其實際面積之間存在誤差，現(xiàn)有圓心角為120°，弦長等于9米的弧田(1)計算弧田的實際面積；(2)按照材料中的經(jīng)驗公式計算所得結(jié)果與(1)中計算的弧田面積相差多少平方米？(結(jié)果保留兩位小數(shù)，1.732，取3.14)三 周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)，原名周髀，是算經(jīng)的十書之一中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀，主要闡述當時的蓋天說和四分歷法材料四周髀算經(jīng)中記載：周公與商高對話中，商高提出“環(huán)矩以為圓”注解1：中國數(shù)學(xué)史大系第一卷中解釋為：把矩的長短兩只當作“規(guī)”的兩只腳，直立于平面上，以矩的一端為樞，旋轉(zhuǎn)時，另一端即可成圓如圖.注解2：中國近代著名數(shù)學(xué)家李儼注解：“直角三角形固定弦，其直角頂點的軌跡便是圓”，如圖，數(shù)學(xué)家梁宗臣的看法與李儼相同，并在其世界數(shù)學(xué)史簡編注明請完成下列問題：4. 注解1中，闡述了圓的定義：_；5. 注解2中說明直徑所對的圓周角為_；6. 已知一直角三角形的斜邊長為4，結(jié)合材料，請?zhí)骄窟@個直角三角形的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由四 婆羅摩笈多定理婆羅摩笈多，是一位印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)和天文學(xué)的書籍他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負數(shù)概念及加減法運算僅晚于中國的九章算術(shù)，而他的負數(shù)乘除法則在全世界都是領(lǐng)先的他還提出了著名的婆羅摩笈多定理材料五婆羅摩笈多定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，對角線ACBD于點P，PMAB于點M，延長MP交CD于點N，求證：CNDN.證明：在ABP和BMP中，ACBD，PMAB，BAPABP90°，BPMMBP90°.BAPBPM.DPNBPM，BAPBDC，7. (1)請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成剩余的證明部分(2)已知：如圖，ABC內(nèi)接于O，B30°，ACB45°，AB2.點D在O上，BCD60°，連接AD，與BC交于點P.作PMAB于點M，延長MP交CD于點N，則PN的長為_第7題圖五 阿基米德折弦定理阿基米德(公元前287公元前212年，古希臘)是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子阿拉伯AlBinmi(973年1050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)AlBinmi譯本出版了俄文版阿基米德全集，第一題就是阿基米德折弦定理材料六如圖，AB和BC是O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，點M是的中點，則從點M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CDABBD.下面是運用“截長法”證明CDABBD的部分證明過程證明：如圖，在CB上截取CGAB，連接MA，MB，MC和MG.M是的中點，MAMC.8. (1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖，已知等邊ABC內(nèi)接于O，AB2，D為上一點，ABD45°，AEBD于點E，則BDC的周長是_第8題圖答案1. 3.11.2. 解：(1)正確S扇形lrl×ld；(2)4.【解法提示】設(shè)半徑為r，“等邊扇形”的弧長與半徑相等，lr，162r×r÷4，解得r4，扇形的弧長l4.3. 解：(1)如解圖，在OAB中，AB9，AOB120°，則AOC60°，ACO90°，則AC，OA3，OC.則可知扇形的半徑r3，所以SAOB×9×，S扇形AOB9，所以S弧田(9)平方米第3題解圖(2)由(1)知矢長為rOA，根據(jù)經(jīng)驗公式的S弧田×9×()2()平方米91.50(平方米)按照弧田面積經(jīng)驗公式所得結(jié)果比實際少1.50平方米4. 平面上到定點的距離為定值的所有的點的集合即為圓5. 直角6. 解：存在由注解2可知，該直角三角形的直角頂點在直徑為4的圓上，該直角三角形斜邊上的高的最大值為2，斜邊長為4是定值，該直角三角形的面積存在最大值，且面積的最大值為×4×24.7. (1)剩余證明過程如下：DPNBDN，DNPN，同理，PNCN，CNDN.(2)解：1【解法提示】ACB45°，BCD60°，ACD105°.又DB30°，DAC180°ACDD45°，APC180°DACACB90°，PAPC.在ABP和CDP中，ABPCDP，CDAB2.ADBC，PMAB，由婆羅摩笈多定理得，CNDN，CPD90°，PNCD1.8. 解：(1)剩余證明過程如下：CGAB，AC，MBAMGC(SAS)，MBMG.在MBG中，MDBG，BDGD，CDCGGDABBD；(2)22.【解法提示】ABC為等邊三角形，點A為的中點，BD和DC為O中的兩條弦，BD>DC，又AEBD，垂足E為折弦BDC的中點，BDC的周長BDDCBC2BEBC，在RtABE中，ABD45°，AB2，AEBE，BDC的周長為22.6