浙江省紹興縣楊汛橋鎮(zhèn)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 期末復(fù)習(xí)二 一元二次方程試題 （新版）浙教版

期末復(fù)習(xí)二 一元二次方程復(fù)習(xí)目標(biāo)要求知識(shí)與方法了解一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系理解辨別一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)會(huì)選合適的方法解一元二次方程一元二次方程的根的判別式運(yùn)用用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題配方法求最值必備知識(shí)與防范點(diǎn)一、必備知識(shí)：1 一元二次方程的一般形式： ，其中a 02解一元二次方程的常見(jiàn)方法： 、 、 、 等3 當(dāng) 0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是 .4 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式，b2-4ac0 ；b2-4ac 0方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；b2-4ac 0方程ax2+bx+c=0（a0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根.5 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個(gè)根，那么x1+x2= ，x1·x2= 6 關(guān)于x的一元二次方程（m4）x2+x+m216=0有一根為0，則m .7 定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程 已知ax2+bx+c=0（a0）是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（ ）A a=c B a=b C b=c D a=b=c8 某校去年投資2萬(wàn)元購(gòu)買實(shí)驗(yàn)器材，預(yù)期今明兩年的投資總額為8萬(wàn)元，若該校這兩年購(gòu)買器材的投資的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程 .9 某超市銷售一種商品，每件商品的成本是20元 當(dāng)這種商品的單價(jià)定為40元時(shí)，每天售出200件 在此基礎(chǔ)上，假設(shè)這種商品的單價(jià)每降低2元，每天就會(huì)多售出15件（1）設(shè)商品的單價(jià)為x元時(shí)銷售該商品的利潤(rùn)為4500元，可列方程： ；（2）設(shè)商品降價(jià)2y元時(shí)銷售該商品的利潤(rùn)為4500元，可列方程： .二、防范點(diǎn)：1 一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0；2 運(yùn)用韋達(dá)定理時(shí)注意0，a0；3 求二次三項(xiàng)式最值可運(yùn)用配方法，也可用.例題精析考點(diǎn)一 一元二次方程的解例1 （1）（雅安中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，則另一實(shí)數(shù)根及m的值分別為（ ）A 4，-2 B -4，-2 C 4，2 D -4，2（2）設(shè)a是關(guān)于x的方程：x2-9x+10的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a2-7a+的值；（3）已知關(guān)于x的一元二次方程x2mx+20與x22x+m0有一個(gè)公共根，求這個(gè)公共根及m的值.反思：能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解. 遇到方程的解，一般先代入方程，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?考點(diǎn)二 求一元二次方程的解例2 （1）一元二次方程x2-2x=-3通過(guò)配方可化為（ ）A. （x-2）2=9 B. （x-）2=9C. （x-2）2=0 D. （x-）2=0（2）給出下列方程：x2+6x-2=0；3x2-4=0；2y2-3y-1=0你認(rèn)為選用哪種方法解方程較簡(jiǎn)便（填序號(hào)）？開平方法： ，配方法： ，公式法： .例3 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）（2x-1）2-9=0；（2）x2-2x=1；（3）x（x-6）=-2（x-6）；（4）（2y-1）2+2（2y-1）-3=0.反思：解一元二次方程的方法比較多，碰到方程先要選擇一種較簡(jiǎn)便的方法求解 一般情況下一次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，可選擇直接開平方法；二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可選擇配方法；能因式分解的用因式分解法，其他往往用公式法解題過(guò)程中還要注意運(yùn)用整體思想考點(diǎn)三 一元二次方程判別式例4 （1）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是 .（2）已知關(guān)于x的方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有實(shí)根，則m的取值范圍是（ ）A m2B m6且m2 C m6 D m6（3）如果x2-2（m+1）x+16是一個(gè)完全平方式，則m= .（4）求代數(shù)式2x2-3x+4的最小值.反思：第（1）小題須滿足3個(gè)條件：k0，0，2k+10；第（2）小題注意是方程，可允許m-2=0；第（3）小題二次三項(xiàng)式是完全平方式，則0；第（4）小題可用配方法，也可用法：設(shè)2x2-3x+4y，移項(xiàng)得2x2-3x+4y0，將y看做常數(shù)，方程必有實(shí)根，98（4y）0，解得y，即2x2-3x+4的最小值為.考點(diǎn)四 一元二次方程的應(yīng)用（增長(zhǎng)率，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)，直角勾股等）例5 （1）商場(chǎng)在促銷活動(dòng)中，將標(biāo)價(jià)為200元的商品，在打a折的基礎(chǔ)上再打a折銷售，現(xiàn)該商品的售價(jià)為128元，則a的值是（ ）A 0.64 B 0.8 C 8 D 6.4（2）（沈陽(yáng)中考）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品. 如果以單價(jià)30元銷售，那么半月內(nèi)可銷售出400件. 根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件，當(dāng)銷售單價(jià)是 元時(shí)，才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn).例6 如圖1，有一塊塑料長(zhǎng)方形模板ABCD，長(zhǎng)為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P（1）能否使你的三角板兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2cm？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由反思：利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，往往要找到題意中的相等關(guān)系，當(dāng)遇到直角三角形時(shí)常想到勾股定理，方程應(yīng)用中的存在問(wèn)題可用b2-4ac來(lái)解決.考點(diǎn)五 可化為一元二次方程的解法探究例7 請(qǐng)閱讀下列解方程x4-2x2-3=0的過(guò)程.解：設(shè)x2=y，則原方程可變形為y2-2y-3=0由（y-1）2=4，得y1=3，y2=-1.當(dāng)y=3，x2=3，x1=，x2=-，當(dāng)y=-1，x2=-1，無(wú)解.所以，原方程的解為x1=，x2=-.這種解方程的方法叫做換元法.用上述方法解下面兩個(gè)方程：（1）x4-x2-6=0；（2）（x2+2x）2-2（x2+2x）-3=0.反思：換元法可將高次方程化為一元二次方程. 換元后得新方程的解時(shí)，不能半途而廢，須求出原方程的解.校內(nèi)練習(xí)1 關(guān)于x的方程（m+1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）A. 任意實(shí)數(shù) B. m-1 C. m>1 D. m>02 把一塊長(zhǎng)與寬之比為21的鐵皮的四角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的小正方形，折起四邊，可以做成一個(gè)無(wú)蓋盒子，如果這個(gè)盒子的容積為1500cm3，那么鐵皮的長(zhǎng)和寬各是多少？若設(shè)鐵皮的寬為xcm，則正確的方程是（ ）A. （2x-20）（x-20）=1500B. （2x-10）（x-20）=1500C. 10（2x-20）（x-20）=1500D. 10（x-10）（x-20）=15003 如果m，n是菱形的對(duì)角線，且是方程x2-2013x+2014=0的兩個(gè)根，則菱形的面積為 .4 （南充中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0.（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的兩實(shí)根為x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值5 （遂寧中考）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問(wèn)題計(jì)算：（1-）×（+）-（1-）×（+）.令+t，則原式（1-t）（t+）-（1-t-）t=t+-t2-t-t+t2=（1）計(jì)算：（1-）×（+）（1-）×（+）；（2）解方程（x25x1）（x25x7）76. 某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單價(jià)每漲2元，月銷售量就減少20kg，針對(duì)這種水產(chǎn)品情況，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算銷售量和月銷售利潤(rùn).（2）商店想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少？參考答案期末復(fù)習(xí)二 一元二次方程【必備知識(shí)與防范點(diǎn)】1. ax2+bx+c=0 2. 因式分解法 直接開平方法 配方法 公式法3. b2-4ac x=4. b2-4ac 方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 = 5. - 6. -47. A 8. 2（1+x）+2（1+x）2=89. （1）（x-20）（200+×15）4500 （2）（202y）（200+15y）=4500【例題精析】例1 （1）D（2）a是關(guān)于x的方程：x2-9x+10的一個(gè)實(shí)數(shù)根，a2-9a+10，a29a1，a2+19a，a+=9，原式（9a1）-7a+2a12（a+）117.（3）設(shè)公共根為a，有a2ma+20，a22a+m0，由得：（m-2）a+2-m=0，即（m-2）（a-1）=0，當(dāng)m=2時(shí)，兩方程相同，且方程無(wú)解，不符要求，a=1，代入得：m=-3. 公共根為1，m的值為3.例2 （1）D （2） 例3 （1）x1=2，x2=-1；（2）x1=+2，x2=-2；（3）x1=-2，x2=6；（4）y1=1，y2=-1.例4 （1）k且k0；（2）D；（3）3或5；（4）最小值.例5 （1）C （2）35例6 （1）能；設(shè)APx，據(jù)BP2+PC2=BC2有16x2+（10-x）2+16=100，解得：x1=2，x2=8，當(dāng)AP2cm或8cm時(shí)，三角板兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C.（2）能；設(shè)APx，據(jù)BP2+PE2=BE2有16x2+（8-x）2+16=64，解得：x1=x2=4，當(dāng)AP4cm時(shí)，CE=2cm.例7 （1）x=±；（2）x1=-3，x2=1，x3=x4=-1.【校內(nèi)練習(xí)】12. BC3. 10074. （1）證明：x2-（m-3）x-m=0，=-（m-3）2-4×1×（-m）=m2-2m+9=（m-1）2+80，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）x2-（m-3）x-m=0，方程的兩實(shí)根為x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，（x1+x2）2-3x1x2=7，（m-3）2-3×（-m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或25. （1）設(shè)+t，則原式（1-t）×（t+）-（1-t-）×t=t+-t2-t+t2+（2）設(shè)x25x1t，原方程可化為：t（t6）7，t26t70，（t7）（t1）0，得t17，t21，當(dāng)t7時(shí)，x25x1-7，方程無(wú)解；當(dāng)t1時(shí)，x25x11，解得x10，x25 所以原方程的解為：x10，x256. （1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，月銷售量為：500-（55-50）×10=450（千克），所以月銷售利潤(rùn)為：（55-40）×450=6750元；（2）由于水產(chǎn)品不超過(guò)10000÷40=250kg，定價(jià)為x元，則（x-40）500-10（x-50）=8000，解得：x1=80，x2=60. 當(dāng)x1=80時(shí)，進(jìn)貨500-10（80-50）=200kg250kg，符合題意，當(dāng)x2=60時(shí)，進(jìn)貨500-10（60-50）=400kg250kg，舍去. 答：商店想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為80元.8