《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思.doc

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《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思 交口第一中學(xué) 趙云鵬 平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，在每年高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容。向量作為一種運(yùn)算工具，其知識(shí)體系是從實(shí)際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點(diǎn)共線、垂直、求夾角和線段長度、確定定比分點(diǎn)坐標(biāo)以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點(diǎn)。 一、總體設(shè)想： 本節(jié)課的設(shè)計(jì)有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義；二是圍繞數(shù)量積的概念通過變形和限定衍生出新知識(shí)――垂直的判斷、求夾角和線段長度的公式。教學(xué)方案可從三方面加以設(shè)計(jì)：一是數(shù)量積的概念；二是幾何意義和運(yùn)算律；三是兩個(gè)向量的模與夾角的計(jì)算。 二、教學(xué)目標(biāo)： 1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。 2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角 3.數(shù)量積與向量投影的關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義 4.理解掌握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)的判斷和計(jì)算 三、重、難點(diǎn)： 【重點(diǎn)】1.平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì) 2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究和應(yīng)用 【難點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 4、 課時(shí)安排： 2課時(shí) 五、教學(xué)方案及其設(shè)計(jì)意圖： 1．平面向量數(shù)量積的物理背景 平面向量的數(shù)量積，其源自對(duì)受力物體在其運(yùn)動(dòng)方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問題中出現(xiàn)了兩個(gè)矢量，即數(shù)學(xué)中所謂的向量，這時(shí)物體力F的所做的功為W，這里的q是矢量F和s的夾角，也即是兩個(gè)向量夾角的定義基礎(chǔ)，在定義兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使學(xué)生明確“把向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個(gè)啟示：功是否是兩個(gè)向量某種運(yùn)算的結(jié)果呢？以此為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a, b的數(shù)量積的概念。 2． 平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義 已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a||b|cosq，（０≤θ≤π）. 并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)量積的定義ab = |a||b|cosq無法得到，因此另外進(jìn)行了規(guī)定。 3. 兩個(gè)非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. ，是記法，是定義的實(shí)質(zhì)――它是一個(gè)實(shí)數(shù)。按照推理，當(dāng)時(shí)，數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)時(shí)，數(shù)量積為零；當(dāng)時(shí)，數(shù)量積為負(fù)。 4.“投影”的概念 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。 投影也是一個(gè)數(shù)量，它的符號(hào)取決于角q的大小。當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180時(shí)投影為 -|b|. 因此投影可正、可負(fù)，還可為零。 根據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫成 注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分。 5．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 向量數(shù)量積的幾何意義在證明分配律方向起著關(guān)鍵性的作用。其幾何意義實(shí)質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：。此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。是向量b在a的方向上的投影。 6．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，則 (1) a^b ab = 0； (2)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab = -|a||b|. 特別的aa = |a|2或 (3)|ab| ≤ |a||b| (4)，其中為非零向量a和b的夾角。 例1. (1) 已知向量a ,b，滿足,a與b的夾角為,則b在a上的投影為______ (2)若,,則a在b方向上投影為 _______ 例2. 已知，，按下列條件求 (1) (2) (3) a與b的夾角為 7. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a b = b a 證：設(shè)a，b夾角為q，則a b = |a||b|cosq，b a = |b||a|cosq ∴a b = b a 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)b =(ab) = a(b) 證：若> 0，(a)b =|a||b|cosq， (ab) =|a||b|cosq，a(b) =|a||b|cosq， 若< 0，(a)b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(ab) =|a||b|cosq， a(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq. 3．分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc 說明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс） （2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ 例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角. 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 ② 兩式相減：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2 設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = ∴q = 60 評(píng)述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用； (2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系. 例4若記，求證： 以此作為今后求模的基礎(chǔ)。 圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開發(fā)出解決幾何問題中有用的知識(shí)：垂直的判斷，夾角的計(jì)算和線段長度的計(jì)算。根據(jù)教學(xué)實(shí)際，有的數(shù)學(xué)知識(shí)可提出問題讓學(xué)生解決，并總結(jié)、概括出一般的結(jié)論或規(guī)律，但有些知識(shí)學(xué)生聽講時(shí)，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時(shí)恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞绞牵合茸寣W(xué)生學(xué)會(huì)，再說明道理。這里，兩個(gè)向量垂直的判斷和夾角的計(jì)算，可通過讓學(xué)生自己做題后總結(jié)出來；而計(jì)算模則需要老師講解并加以強(qiáng)化：由，當(dāng)b = a時(shí)，接著演示例題并練習(xí)。 〖例2〗已知且a, b夾角是60，求 小結(jié)與反思： 以問題的形式，來反饋一節(jié)課的重點(diǎn)是否突出，難點(diǎn)是否突破。 問題一：關(guān)于向量的數(shù)量積的概念包括哪些主要內(nèi)容？如何引入的？ 問題二：說出向量數(shù)量積的幾何意義及運(yùn)算律。 問題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？ l 數(shù)量積的概念包括兩個(gè)非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義。 l 向量數(shù)量積的幾何意義是：a b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運(yùn)算律有三條：……。 l 用向量的數(shù)量積可解決幾何中三大問題：垂直的判斷、夾角的計(jì)算和求線段長度。⑴； ⑵； ⑶。 板書設(shè)計(jì)：整個(gè)板面分成三列，把重點(diǎn)知識(shí)數(shù)量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來的幾何意義、運(yùn)算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個(gè)向量夾角的相關(guān)概念；右列集中放例題。 教學(xué)記：本節(jié)課的設(shè)計(jì)注重教學(xué)目標(biāo)的明確；注重根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而科學(xué)地進(jìn)行知識(shí)序列的呈現(xiàn)；注重調(diào)動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)；注重課堂效果的實(shí)效性。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)的來龍去脈，創(chuàng)設(shè)問題情景，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用，可以更好的理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。對(duì)于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者，教師在教學(xué)中的作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提，教學(xué)過程中要發(fā)揚(yáng)民主，要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，提倡獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。對(duì)于教學(xué)中問題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等，要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問題的方案，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到自主探索數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑。 8