浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第四章 基本圖形(一)第17講 線段講解篇

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1、 第17講　線段、角、相交線和平行線 1．直線、射線、線段 考試內(nèi)容 考試 要求 直線公理 經(jīng)過兩點，有且只有 條直線． b c 線段公理 兩點之間，線段最 ． 兩點間的距離 連結(jié)兩點間的線段的 ，叫做兩點間的距離． 2.角 考試內(nèi)容 考試 要求 角的 概念 定義1 具有公共端點的兩條 組成的圖形叫做角． b 定義2 一條____________________繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角

2、． 互為 余角 定義 如果兩個角的和等于 ，則這兩個角互余． b 性質(zhì) 同角(或等角)的余角 ． c 互為 補角 定義 如果兩個角的和等于 ，則這兩個角互補． b 性質(zhì) 同角(或等角)的補角 ． c 3.相交線 考試內(nèi)容 考試 要求 對頂角 對頂角相等 b c 垂直 性質(zhì)1 在同一平面內(nèi)，過一點有且只有 條直線與已知直線垂直． 性質(zhì)2 直線外一點與直線上各

3、點連結(jié)的所有線段中， 最短． 點到直線的距離 直線外一點到這條直線的____________________的長度，叫做點到直線的距離． 4.角的平分線與線段的垂直平分線 考試內(nèi)容 考試 要求 角的平分線 線段的垂直平分線 b c 性 質(zhì) 角的平分線上的點到角兩邊的距離 ． 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離 ． 判定 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在 _上． 與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的 上． 5.平行線 考試內(nèi)容 考試 要求

4、平行線的概念 在同一平面內(nèi)， 的兩條直線叫做平行線． b 平行公理 經(jīng)過直線外一點有且只有 條直線與已知直線平行． b c 平行公理的推論 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也 ． 平行線的判定 同位角相等，兩直線平行. 內(nèi)錯角相等，兩直線平行. 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行． 平行線的性質(zhì) 兩直線平行，同位角相等. 兩直線平行，內(nèi)錯角相等. 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補． 平行線間的距離 定義 過平行線上的一點作另一條平行線的垂線，_________

5、_的長度叫做兩條平行線間的距離． b 性質(zhì) 兩條平行線間的距離處處____________________． 6.命題 考試內(nèi)容 考試 要求 命題的概念 判斷一件事情的句子叫做命題． a 命題的分類 命題分為 命題和 命題． 命題的組成 命題由 和 兩個部分組成． b 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 方程思想：在解答有關線段或角的計算問題時，找出線段之間的關系或角之間的關系，列方程來解答． c 基本 方法 “兩點之間線段最短”、“垂線段最短”在求幾

6、何問題最值時經(jīng)常用到． 1． (2017·寧波)已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B兩點分別落在直線m，n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為(　　) A．20° B．30° C．45° D．50° 2．(2015·金華)以下四種沿AB折疊的方法中，不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是(　　) A．展開后測得∠1＝∠2 B．展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．測得∠1＝∠2 D．展開后再沿CD折疊，兩條折痕的交點為O，測得OA＝OB，OC＝

7、OD 3．(2017·臺州)如圖，已知直線a∥b，∠1＝70°，則∠2＝____________________. 第3題圖 第4題圖 4．(2016·金華)如圖，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，則∠AED的度數(shù)是____________________． 【問題】下列圖形中，AB∥CD. (1)能使∠1＝∠2成立的是________． (2)若∠1＝45°，你能求出各圖形中∠2的度數(shù)嗎？若能，直接寫出答案． (3)把“AB∥CD”改為“∠1＝∠2”，那么各圖形中AB∥CD還成立嗎？

8、(4)請你結(jié)合(1)、(2)、(3)的解答，回答該題用了哪些知識？ 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理角、相交線和平行線的相關知識． 類型一　線段、角的計算 　(1)已知E、F兩點把線段AB分成2∶3∶4三部分，D是線段AB的中點，F(xiàn)B＝12，求DF的長及AE∶AD； (2) 在同一平面上，若∠AOB＝71°，∠BOC＝15°，OE是∠AOC的平分線，則∠AOE的度數(shù)是____________________． 【解后感悟】在解答有關線段、角的計算問題時，一般要注意以下幾個方面： ①按照題中已知條件畫出符合題意的圖形是正確解題

9、的前提條件； ②學會觀察圖形，找出線段或角之間的關系，列算式或方程來解答． 1．(1)在直線l上，線段AB＝7cm，BC＝3cm，D是AC的中點，求DB的長度． 　(2)如圖，已知O是直線AC上一點，OB是一條射線，OD平分∠AOB，OE在∠BOC內(nèi)，2∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC的度數(shù)． 　　　　　　　　 類型二　相交線 　 (1) (2017·嵊州模擬)如圖所示的儀器中，OD＝OE，CD＝CE.小州把這個儀器往直線l上一放，使點D、E落在直線l上，作直線OC，則OC⊥l，他這樣判斷的理由是(　　) A．到一個角兩邊距離相等的點在這個角

10、的角平分線上 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 D．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等 (2) (2017·蘇州模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD＝3，BC＝10，則△BDC的面積是________． 【解后感悟】(1)思考問題要全面是正確解答本題的關鍵；(2)角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等． 2． (1)(2015·黃岡)如圖，在△ABC中，∠C＝Rt∠，∠B＝30°，邊AB的垂直平分線DE交AB于點E，交BC于點D，

11、CD＝3，則BC的長為(　　) A．6 B．6 C．9 D．3 (2) (2016·湖州)如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．若AD＝8，則點P到BC的距離是(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 (3) 如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，則有AC∥DE；③如果∠2＝30°，則有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠

12、4＝∠C.其中正確的有____________________(只填序號)； (4) (2017·深圳市羅湖區(qū)模擬)如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖： ①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N； ②作直線MN交AB于點D，連結(jié)CD. 若CD＝AC，∠A＝50°，則∠ACB的度數(shù)為____________________． 類型三　平行線 　(1)如圖，下列條件中：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；則一定能判定AB∥CD的條件有________(填寫所有正確的序號)． (2) (2017·啟東模擬)

13、如果∠α與∠β的兩邊分別平行，∠α比∠β的3倍少36°，則∠α的度數(shù)是________． (3)(2015·泰州)如圖，直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，則∠2＝________°. 【解后感悟】(1)根據(jù)圖形聯(lián)想平行線的判定；(2)解題的關鍵：若∠α與∠β的兩邊分別平行，即可得∠α與∠β相等或互補，注意方程思想與分類討論思想的應用；(3)平行線的性質(zhì)和判定的互逆運用，兩條直線平行時，只有被第三條直線所截時才能揭示圖形中的數(shù)量關系，故延長AE進行角的等量轉(zhuǎn)換． 3． (1)如圖所示，將含有30°角的三角板的直角頂點放在相互平行的兩條直線的其中一條上，若∠1＝35°，則∠2

14、的度數(shù)為(　　) A．10° B．20° C．25° D．30° (2)(2017·溫州模擬)如圖，直線a∥b，AC⊥AB，AC交直線b于點C，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是(　　) A．50° B．45° C．35° D．30° (3) (2017·河南模擬)如圖是嬰兒車的平面示意圖，其中AB∥CD，∠1＝120°，∠3＝40°，那么∠2的度數(shù)為____________________． 類型四　命題與逆命題 　(1)(2017·

15、奉化模擬)對于命題“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能說明它是假命題的反例是(　　) A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝40°，∠2＝40° D．∠1＝45°，∠2＝45° (2)對于同一平面的三條直線，給出下列5個論斷： ①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結(jié)論，組成一個你認為正確的命題，并說明理由． 已知：________，結(jié)論_______________________________________________________． 【解

16、后感悟】(1)理解滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子是解決本題的關鍵；(2)本題是命題的敘述形式，利用平行線的判定方法解題． 4．(1)(2017·福建)下列關于圖形對稱性的命題，正確的是(　　) A．圓既是軸對稱性圖形，又是中心對稱圖形 B．正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 C．線段是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 D．菱形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形 (2)(2017·杭州模擬)選擇用反證法證明“已知：在△ABC中，∠C＝90°，求證：∠A，∠B中至少有一個角不大于45°”時，應先假設(　　) A．∠A≤45°，∠B≤45° B．∠A≥45°，∠B≥4

17、5° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A＞45°，∠B＞45° 類型五　綜合與應用 　如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOD＝3∠BOD＋20°. (1)求∠BOD的度數(shù)； (2)以O為端點引射線OE、OF，射線OE平分∠BOD，且∠EOF＝90°，求∠BOF的度數(shù)，并畫圖加以說明． 　　　　　　　　 【解后感悟】(1)本題利用鄰補角得出關于∠BOD的方程是解題關鍵；(2)OE⊥OF有兩種情況，以防遺漏． 5．(1)(2017·杭州市江干區(qū)模擬)一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將含45°角的三角尺ADE固定不動，將含30°角的三角尺ABC繞頂點

18、A順時針轉(zhuǎn)動，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行．如圖2：當∠BAD＝15°時，BC∥DE.則∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合條件的度數(shù)為____________________． (2)(2017·嘉興模擬)如圖，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1＋∠2＝90°. ①試說明：AB∥CD； ②若∠2＝25°，求∠BFC的度數(shù)． 　　　 【課本改變題】教材母題－－浙教版七下，第29頁第13題 小明在做課本“目標與評定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？ 　

19、 (1)①請幫小明在圖2的畫板內(nèi)畫出你的測量方案圖(簡要說明畫法過程)； ②說出該畫法依據(jù)的定理． (2)小明在此基礎上進行了更深入的探究，想到兩個操作： ①在圖3的畫板內(nèi)，在直線a與直線b上各取一點，使這兩點與直線a、b的交點構(gòu)成等腰三角形(其中交點為頂角的頂點)，畫出該等腰三角形在畫板內(nèi)的部分． ②在圖3的畫板內(nèi)，作出“直線a、b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線(在畫板內(nèi)的部分)，只要求作出圖形，并保留作圖痕跡． 請你幫小明完成上面兩個操作過程．(必須要有方案圖，所有的線不能畫到畫板外，只能畫在畫板內(nèi)) 【方法與對策】

20、本題是借助實際問題場景的幾何基本作圖題．由于題目篇幅較長，需要仔細閱讀，理解題意，正確作答．涉及到的幾何基本作圖包括：(1)過直線外一點作直線的平行線，(2)作線段的垂直平分線；涉及到的考點包括：(1)平行線的性質(zhì)，(2)等腰三角形的性質(zhì)，(3)三角形內(nèi)角和定理，(4)垂直平分線的性質(zhì)等．課本改變題是當前中考命題的一種趨勢，學習中要重視課本例題和習題． 【忽視平行線的性質(zhì)的前提條件】 如圖，已知直線a、b被直線c所截，則①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠3；④∠3＋∠4＝180°中，正確的結(jié)論有(　　) A．1個 B．2個 C．3

21、個 D．4個 參考答案 第17講　線段、角、相交線和平行線 【考點概要】 1．一　短　長度　2.射線　射線　90°　相等　180°　相等　3.一　垂線段　垂線段　4.相等　相等　角的平分線　垂直平分線　5.不相交　一　平行　垂線段 相等　6.真　假　題設　結(jié)論 【考題體驗】 1．D　2.C　3.110°　4.80° 【知識引擎】 【解析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)對各選項分析判斷．①由AB∥CD可得∠1＋∠2＝180°，故錯誤；②∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，又∵∠2＝∠3(對頂角相等)，∴∠1＝∠2，故正確；③由AC∥BD得到∠1＝∠2，由AB∥CD不

22、能得到，故錯誤；④∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，只有AD∥BC才可以有∠1＝∠2，故錯誤． (2)①由AB∥CD可得∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝135°；②∠2＝45°. (3)②仍可以成立． (4)本題主要用到了“對頂角相等”，“兩直線平行，同位角相等”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”的知識． 【例題精析】 例1　(1)設AE＝2x，EF＝3x，F(xiàn)B＝4x，則AB＝9x.∵D是AB的中點，∴AD＝BD＝4.5x.∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3.又∵AF＝2x＋3x＝5x，∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5.∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9

23、.(2)如果射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝56°，∠AOE＝∠AOC＝28°，如果射線OC在∠AOB的外部，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝86°，∠AOE＝∠AOC＝43°.故答案為：28°或43°.　 例2　 (1) C；(2)過D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，∴△BDC的面積是×DE×BC＝×3×10＝15.故答案為：15.　 例3　 (1) ①③④； (2)18°或126°； (3)如圖，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝18

24、0°－∠3＝180°－40°＝140°.　 例4　(1)D； (2)本題答案不唯一，已知：a∥b，b∥c，結(jié)論a∥c；已知：b∥c，a⊥b，結(jié)論a⊥c；已知：a∥b，a∥c，結(jié)論b∥c；已知：b∥c，a∥c，結(jié)論a∥b；已知：b∥c，a⊥c，結(jié)論a⊥b；已知：a⊥b，a⊥c，結(jié)論b∥c.　 例5　(1)由鄰補角互補，得∠AOD＋∠BOD＝180°，即3∠BOD＋20°＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝40°；　(2)如圖：由射線OE平分∠BOD，得∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°，由角的和差，得∠BOF′＝∠EOF′＋∠BOE＝90°＋20°＝110°，∠BOF＝∠EOF－∠BOE

25、＝90°－20°＝70°. 【變式拓展】 1．(1)①當點C在線段AB延長線上，如圖1：有AC＝AB＋BC＝7＋3＝10.∵D是AC的中點，∴AD＝AC＝5.∴DB＝AB－AD＝7－5＝2(cm)． ②當點C在線段AB上，如圖2：有AC＝AB－BC＝7－3＝4.∵D是AC的中點，∴AD＝CD＝AC＝2.∴DB＝DC＋CB＝2＋3＝5(cm)．綜上，DB的長度為2cm或5cm. (2)設∠AOB為x，則∠BOC為(180°－x)，∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝∠AOB，則可得∠DOB＝x，∵2∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－x)，∵∠DOE＝∠DOB＋

26、∠BOE＝70°，則可得：x＋(180°－x)＝70°，解得x＝60°，∴∠BOC＝180°－60°＝120°，∴∠EOC＝∠BOC＝×120°＝80°.　2.(1)C　(2)C　(3)①②④　(4)105°　3.(1)C　(2)D (3)80°　4.(1)A　(2)D　5.(1)45°，60°，105°，135°　(2)①略；②115°. 【熱點題型】 【分析與解】(1)方法一：利用平行線的性質(zhì)．①如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即為直線a，b所成角的度數(shù)；②依據(jù)：兩直線平行，同位角相等；方法二：利用三角形內(nèi)角和定理．①如圖2，在直線a，b上各取一點A，B，連結(jié)AB，測得∠1，∠2的度數(shù)，則180°－∠1－∠2即為直線a，b所成角的度數(shù)；②依據(jù)：三角形內(nèi)角和為180°； (2)①如圖3，以P為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交直線b，PC于點B，D，連結(jié)BD并延長交直線a于點A，則ABPQ就是所求作的圖形；②如圖3，作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是頂角的平分線，則EF就是所求作的線． 【錯誤警示】∵∠1與∠2是對頂角，∴∠1＝∠2.直線a、b不一定平行，∴②③④不一定成立．故答案為A. 14