小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題講解及訓(xùn)練（八） 教案優(yōu)質(zhì)公開課獲獎教案教學(xué)設(shè)計(人教新課標六年級總復(fù)習(xí))

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1、小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題講解及訓(xùn)練（八） 教案優(yōu)質(zhì)公開課獲獎教案教學(xué)設(shè)計(人教新課標六年級總復(fù)習(xí)) 主要內(nèi)容 正比例和反比例 學(xué)習(xí)目標 1、使學(xué)生結(jié)合實際情境認識成正比例和反比例的量，能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。 2、使學(xué)生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應(yīng)的直線，能根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。 3、使學(xué)生在認識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數(shù)量之間相依互變的關(guān)系，感受有效表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學(xué)模型

2、，進一步提升思維水平。 4、使學(xué)生進一步體會數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強探索數(shù)學(xué)知識和規(guī)律的意識，養(yǎng)成積極主動地參與學(xué)習(xí)活動的習(xí)慣，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。 考點分析 1、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：=K（一定）。 2、用“描點法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據(jù)一種量的值，估計另

3、一種量相對應(yīng)的值。 3、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用ｋ表示它們的積，反比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：ｘｙ=K（一定）。 4、兩個變量的比值一定，這兩個變量成正比例；兩個變量的積一定，這兩個變量成反比例；沒有上述兩種關(guān)系，這兩個變量不成比例。 典型例題 例1、（正比例的意義）一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關(guān)系？ 時間/時 1 2 3 4

4、 5 6 …… 路程/千米 120 240 360 480 600 720 …… 分析與解：（1）從上表可以看出，表中有時間和路程兩種量。 （2）從左往右看，時間擴大，路程也擴大；從右往左看，時間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。 （3）路程和時間的比值始終不變，=120，=120，=120……這個比值就是火車的行駛速度。 通過觀察和計算，我們對路程和時間的關(guān)系有兩點發(fā)現(xiàn)：第一點路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，也就是時間變化，路程也隨著變化；第二點路程和對應(yīng)的時間的比的比值（也就是速度）是一定的，有這樣的關(guān)系：=

5、速度（一定）。 具備了這兩個條件，我們就可以得到結(jié)論：行駛的路程和時間成正比例關(guān)系；行駛的路程和時間成正比例的量。 點評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：=K（一定）。 例2、（判斷是否成正比例） 練習(xí)本的單價一定，買練習(xí)本的數(shù)量和總價是不是成正比例？為什么？ 分析與解：根據(jù)正比例的意義，看兩個變量的比值是否一定

6、，如果兩個變量的比值一定，那么這兩個變量就成正比例，反之，則不成正比例。 買練習(xí)本的數(shù)量和總價是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與練習(xí)本的單價有下面的關(guān)系： =練習(xí)本的單價（一定） 所以練習(xí)本的數(shù)量和總價成正比例。 例3、（正比例的圖像）磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關(guān)系如下。 時間/分 1 2 3 4 5 6 7 …… 路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 …… （1）圖中的點A表示時間為1分鐘時，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點。 （2）連

7、接各點，它們在一條直線上嗎？ （3）根據(jù)圖像判斷，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是多少千米？行駛30千米大約需要幾分鐘？路程/千米 42 35 28 21 14 7●A 0 1234567時間/分 分析與解：根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個點，再依次連成直線。路程和時間相對應(yīng)的數(shù)的比值都是7，即速度一定，路程和時間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據(jù)時間的值估計出路程的值，也可以根據(jù)路程的值估計出時間的值，估計時允許有一定的出入。 （1）描點、連線如圖。

8、 路程/千米 42● 35● 28● 21● 14● 7●A 0 1234567時間/分 （2）在一條直線上，因為路程和時間成正比例，正比例的圖像是一條直線。 （3）根據(jù)圖像，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是17.5千米；行駛30千米大約需要4.3分鐘。 例4、（辨析）圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例？ 分析與解：圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例。 可列表判斷。 半徑/cm 1

9、 2 3 4 5 6 …… 直徑/cm 2 4 6 8 10 12 …… 周長/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 …… 面積/cm² 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 …… 圓的周長和直徑的相對應(yīng)的數(shù)的比值都是3.14，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應(yīng)的數(shù)的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。 圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。 例5、（反比例

10、的意義） 下表是王師傅加工一批零件時，每小時加工零件個數(shù)隨時間變化的情況。這兩種量有什么關(guān)系？ 每小時加工零件的個數(shù)/個 20 30 40 60 80 …… 加工的時間/時 12 8 6 4 3 …… 分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間兩種量。（2）從左往右看，每小時加工零件的個數(shù)擴大，加工的時間反而縮?。粡挠彝罂?，每小時加工零件的個數(shù)縮小，加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。（3）每小時加工零件的個數(shù)和相對應(yīng)的加工的時間的積都始終不變，如20×12=240，30×8=240，40

11、×6=240……而這個積就是這批零件的總個數(shù)。 通過觀察和計算，我們發(fā)現(xiàn)：每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，每小時加工零件的個數(shù)隨著加工的時間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應(yīng)的積是一定的，有這樣的關(guān)系：每小時加工零件的個數(shù)×加工的時間=零件的總個數(shù)（一定）。 所以每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 點評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的乘積是否一定，進行判斷。不要省去任何一步。

12、如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：ｘｙ=K（一定）。 例6、（判斷是否成反比例） 總產(chǎn)量一定，每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是不是成反比例？為什么？ 分析與解：根據(jù)反比例的意義，看兩個變量的乘積是否一定，如果兩個變量的積一定，那么這兩個變量就成反比例，反之，則不成反比例。 每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與總產(chǎn)量有下面的關(guān)系： 每公頃的產(chǎn)量×公頃數(shù)=總產(chǎn)量（一定） 所以每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)成反比例。 例7、（辨析）和一定，一個加數(shù)和另一個加數(shù)成反比例。

13、 分析與解：判斷兩個變量是否成反比例，關(guān)鍵是看兩個變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個加數(shù)的積是變化的，所以它們不成反比例。 和一定，一個加數(shù)和另一個加數(shù)不成反比例。因為它們的積不一定。 點評：有些相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減數(shù)一定，被減數(shù)和差等。 例8、（綜合題1） （1）長方形的面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？ （2）長方形的周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？ 分析與解：判斷時可以用列表的

14、方式列舉數(shù)據(jù)，也可以根據(jù)計算的公式來推導(dǎo)。 （1）因為長方形的長×寬=長方形的面積（一定），所以長和寬成反比例。 （2）長方形的周長=（長+寬）×2，長方形的周長一定，長+寬的和一定，但不是積一定，所以長和寬不成反比例。 例9、（綜合題2） 分別說明大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中，每兩種量的比例關(guān)系。 （1）大米的總千克數(shù)一定，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)； （2）每天吃的千克數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和天數(shù)； （3）天數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)。 分析與解：在大米的總千克數(shù)、每天吃

15、的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中，當(dāng)某一種量一定時，另外兩種量可能成正比例關(guān)系，也可能成反比例關(guān)系?？梢愿鶕?jù)數(shù)量關(guān)系式來判斷。 （1）因為每天吃的千克數(shù)×天數(shù)=大米的總千克數(shù)（一定），所以大米的總千克數(shù)一定時，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)成反比例。 （2）因為=每天吃的千克數(shù)（一定），所以每天吃的千克數(shù)一定時，大米的總千克數(shù)和天數(shù)成正比例。 （3）因為=天數(shù)（一定），所以天數(shù)一定時，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)成正比例。 小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題講解及訓(xùn)練（八） 模擬試題 1、仔細觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么

16、？ 表格1 數(shù)量/本 1 3 6 8 10 20 …… 總價/元 4 12 24 32 40 80 …… 表格2 單價/元 1.5 2 3 4 5 6 …… 總價/元 6 8 12 16 20 24 …… 表格3用60元錢購買筆記本，筆記本的單價和可以購買的數(shù)量如下表： 單價/元 1.5 2 3 4 5 6 …… 數(shù)量/本 40 30 20 15 12 10 …… 2、用一批紙裝訂練習(xí)本，每本

17、25頁，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁。 題中（）量一定，關(guān)系式：（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。 3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚，需要Y塊。 題中（）量一定，關(guān)系式：（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。 4、在圓柱的側(cè)面積、底面周長、高這三種量中 當(dāng)?shù)酌嬷荛L一定時，（）與（）成（）比例； 當(dāng)高一定時，（）與（）成（）比例； 當(dāng)側(cè)面積一定時，（）與（）成（）比例。 5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三

18、種量中， 當(dāng)（）一定時，（）與（）成正比例； 當(dāng)（）一定時，（）與（）成反比例； 6、當(dāng)a×b＝c（a、b、c為三種量，且均不為0）。 ()一定，（）與（）成（）比例； （）一定，（）與（）成（）比例； （）一定，（）與（）成（）比例； 7、判斷。 （1）、工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例。（） （2）、圖上距離和實際距離成正比例。（） （3）、X和Y表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（） （4）、分數(shù)的大小一定，它的分子和分母

19、成正比例。（） （5）、在一定的距離內(nèi)，車輪周長和它轉(zhuǎn)動的圈數(shù)成反比例。（） （6）、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正比例，就成反比例。（） （7）訂閱《小學(xué)數(shù)學(xué)評價手冊》的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。() （8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時間成反比例。() （9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。() （10）正方體的棱長和體積成正比例。() （11）被除數(shù)一定，除數(shù)和商成反比例。() （12）圓的周長和它的直徑成正比例。() 8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，

20、成什么比例。 （1）、裝配一批電視機，每天裝配臺數(shù)和所需的天數(shù)（）。 （2）、正方形的邊長和周長（）。 （3）、水池的容積一定，水管每小時注水量和所用時間（）。 （4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數(shù)（）。 （5）、在一定時間里，加工每個零件所用的時間和加工零件的個數(shù)（）。 （6）、在一定時間里，每小時加工零件的個數(shù)和加工零件的個數(shù)（）。 9、思考：明明三歲時體重12千克，十一歲時體重44千克。于是小張就說：“明明的體重和身高成正比例。”你認為小張的說法對嗎？為什么？ 10、某造紙廠每小時造

21、紙1.5噸，2小時、3小時┈┈各造紙多少噸？ （1）把下表填寫完整。 造紙時間/時 1 2 3 4 …… 造紙噸數(shù)/噸 1.5 …… （2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在下圖中描出造紙時間和造紙噸數(shù)對應(yīng)的點，再把它們連起來。噸數(shù)/噸 6 5 4 3 2 1 0 1234567時間/時 （3）造紙噸數(shù)與造紙時間成正比例嗎？為什么？ （4）根據(jù)圖像判斷，5小時造紙多少噸？ 參考答案： 1、仔細觀

22、察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么？ 表格1 數(shù)量/本 1 3 6 8 10 20 …… 總價/元 4 12 24 32 40 80 …… =4，=4，=4…… 因為=單價（一定），所以單價一定時，總價和數(shù)量成正比例。 表格2 單價/元 1.5 2 3 4 5 6 …… 總價/元 6 8 12 16 20 24 …… =4，=4，=4…… 因為=數(shù)量（一定），所以數(shù)量一定時，總價和單價成正比例。

23、 表格3用60元錢購買筆記本，筆記本的單價和可以購買的數(shù)量如下表： 單價/元 1.5 2 3 4 5 6 …… 數(shù)量/本 40 30 20 15 12 10 …… 1.5×40=60，2×30=60，4×15=60…… 因為單價×數(shù)量=總價（一定），所以總價一定時，單價和數(shù)量成反比例。 2、用一批紙裝訂練習(xí)本，每本25頁，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁。 題中（紙的總頁數(shù)）量一定，關(guān)系式：（每本頁數(shù)）×（裝訂本數(shù)）＝（紙的總頁數(shù)）（一定），（每本頁數(shù)）和（裝訂本數(shù)）

24、成（反）比例。 3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚，需要Y塊。 題中（會客室地面面積）量一定，關(guān)系式：（每塊磚的面積）×（磚的塊數(shù)）＝（會客室地面面積）（一定），（每塊磚的面積）和（磚的塊數(shù)）成（反）比例。 4、在圓柱的側(cè)面積、底面周長、高這三種量中 當(dāng)?shù)酌嬷荛L一定時，（側(cè)面積）與（高）成（正）比例； 當(dāng)高一定時，（側(cè)面積）與（底面周長）成（正）比例； 當(dāng)側(cè)面積一定時，（底面周長）與（高）成（反）比例。 5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三種量中，

25、當(dāng)（除數(shù)）一定時，（被除數(shù)）與（商）成正比例； 當(dāng)（被除數(shù)）一定時，（除數(shù)）與（商）成反比例； 6、當(dāng)a×b＝c（a、b、c為三種量，且均不為0）。 (c)一定，（a）與（b）成（反）比例； （a）一定，（c）與（b）成（正）比例； （b）一定，（c）與（a）成（正）比例； 7、判斷。 （1）、工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例。（√） （2）、圖上距離和實際距離成正比例。（×） （3）、X和Y表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（×） （4）

26、、分數(shù)的大小一定，它的分子和分母成正比例。（√） （5）、在一定的距離內(nèi)，車輪周長和它轉(zhuǎn)動的圈數(shù)成反比例。（√） （6）、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正比例，就成反比例。（×） （7）訂閱《小學(xué)數(shù)學(xué)評價手冊》的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。(√) （8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時間成反比例。(√) （9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。(×) （10）正方體的棱長和體積成正比例。(×) （11）被除數(shù)一定，除數(shù)和商成反比例。(√) （12）圓的周長和它的直徑成正比例。(√) 8

27、、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。 （1）、裝配一批電視機，每天裝配臺數(shù)和所需的天數(shù)（反比例）。 （2）、正方形的邊長和周長（正比例）。 （3）、水池的容積一定，水管每小時注水量和所用時間（反比例）。 （4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數(shù)（反比例）。 （5）、在一定時間里，加工每個零件所用的時間和加工零件的個數(shù)（反比例）。 （6）、在一定時間里，每小時加工零件的個數(shù)和加工零件的個數(shù)（正比例）。 9、思考：明明三歲時體重12千克，十一歲時體重44千克。于是小張就說：“明明的體

28、重和身高成正比例?！蹦阏J為小張的說法對嗎？為什么？ 答：小張的說法是錯誤的，體重和身高不是兩種相關(guān)聯(lián)的量，體重和身高不成比例。 10、某造紙廠每小時造紙1.5噸，2小時、3小時┈┈各造紙多少噸？ （1）把下表填寫完整。 造紙時間/時 1 2 3 4 …… 造紙噸數(shù)/噸 1.5 3 4.5 6 …… （2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在下圖中描出造紙時間和造紙噸數(shù)對應(yīng)的點，再把它們連起來。噸數(shù)/噸 6● 5 4 3● 2 1 0 1234567時間/時 （3）造紙噸數(shù)與造紙時間成正比例嗎？為什么？ 因為=每小時造紙噸數(shù)（一定），所以每小時造紙噸數(shù)一定時，造紙噸數(shù)與造紙時間成正比例。 （4）根據(jù)圖像判斷，5小時造紙多少噸？ 根據(jù)圖像判斷，5小時造紙7.5噸