（淄博專版）2019屆中考數(shù)學 大題加練（二）

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1、 大題加練(二) 姓名：________　班級：________　用時：______分鐘 1．如圖，已知直線y＝－x＋3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A，B，C(1，0)三點． (1)求拋物線的表達式； (2)若點D的坐標為(－1，0)，在直線y＝－x＋3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標； (3)在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由． 2．如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋b

2、x＋6相交于A(，)和B(4，m)兩點，點P是線段AB上異于A，B的動點，過點P作PC⊥x軸，交拋物線于點C. (1)求拋物線的解析式； (2)是否存在這樣的點P，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由； (3)當△PAC為直角三角形時，求點P的坐標． 3．如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx－2(a≠0)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，直線BD交拋物線于點D，并且D(2，3)，tan∠DBA＝. (1)求拋物線的解析式； (2)已知點M為拋物線上一動

3、點，且在第三象限，順次連接點B，M，C，A，求四邊形BMCA面積的最大值； (3)在(2)中四邊形BMCA面積最大的條件下，過點M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由． 參考答案 1．解：(1)由題意得A(3，0)，B(0，3)． ∵拋物線經(jīng)過A，B，C三點， ∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三點分別代入y＝ax2＋bx＋c得解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3. (2)由題意可得△ABO為等腰直角三角形，如圖所示．

4、 若△ABO∽△AP1D，則＝. ∴DP1＝AD＝4， ∴P1(－1，4)． 若△ABO∽△ADP2，過點P2作P2M⊥x軸于點M， AD＝4. ∵△ABO為等腰直角三角形， ∴△ADP2是等腰直角三角形，由三線合一可得DM＝AM＝P2M＝2， 即點M與點C重合，∴P2(1，2)． 綜上所述，點P的坐標為P1(－1，4)，P2(1，2) (3)如圖，設(shè)點E(x，y)， 則S△ADE＝·AD·|y|＝2|y|. ①當P1(－1，4)時， S四邊形AP1CE＝S△ACP1＋S△ACE ＝×2×4＋×2×|y| ＝4＋|y|. ∴2|y|＝4＋|y|，∴|y|＝

5、4. ∵點E在x軸下方， ∴y＝－4. 代入拋物線解析式得x2－4x＋3＝－4， 即x2－4x＋7＝0. ∵Δ＝(－4)2－4×7＝－12<0， ∴此方程無解． ②當P2(1，2)時， S四邊形AP2CE＝S△ACP2＋S△ACE＝×2×2＋×2×|y|＝2＋|y|. ∴2|y|＝2＋|y|， ∴|y|＝2. ∵點E在x軸下方， ∴y＝－2. 代入拋物線解析式得x2－4x＋3＝－2， 即x2－4x＋5＝0. ∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0， ∴此方程無解． 綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積． 2．解

6、：(1)∵B(4，m)在直線y＝x＋2上， ∴m＝4＋2＝6， ∴B(4，6)． ∵A(，)，B(4，6)在拋物線y＝ax2＋bx＋6上， ∴解得 ∴拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6. (2)設(shè)動點P的坐標為(n，n＋2)，則C點的坐標為(n，2n2－8n＋6)， ∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝ －2(n－)2＋. ∵PC＞0， ∴當n＝時，線段PC的長最大為. (3)∵△PAC為直角三角形， ①若點P為直角頂點，則∠APC＝90°. 由題意易知，PC∥y軸，∠APC＝45°，因此這種情形不存在． ②如圖1，若點A為直角頂點，

7、則∠P1AC＝90°. 過點A作AN⊥x軸于點N， 則ON＝，AN＝. 過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，則 由題意易知，△AMN為等腰直角三角形， ∴MN＝AN＝， ∴OM＝ON＋MN＝＋＝3， ∴M(3，0)． 設(shè)直線AM的解析式為y＝kx＋b， 則解得 ∴直線AM的解析式為y＝－x＋3.　① 又∵拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6，?、? 聯(lián)立①②式，解得x＝3或x＝(與點A重合，舍去)． ∴C(3，0)，即點C，M點重合． 當x＝3時，y＝x＋2＝5，∴P1(3，5)． ③如圖2，若點C為直角頂點，則∠ACP2＝90°. ∵y＝2x2－8x＋6＝2(

8、x－2)2－2， ∴拋物線的對稱軸為直線x＝2. 作點A關(guān)于對稱軸x＝2的對稱點C， 則點C在拋物線上，且C(，)． 當x＝時，y＝x＋2＝， ∴P2(，)． ∵點P1(3，5)，P2(，)均在線段AB上， ∴綜上所述，當△PAC為直角三角形時，點P的坐標為(3，5)或(，)． 3．解：(1)如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，則DE＝3，OE＝2. ∵tan∠DBA＝＝， ∴BE＝6， ∴OB＝BE－OE＝4， ∴B(－4，0)． ∵點B(－4，0)，D(2，3)在拋物線y＝ax2＋bx－2(a≠0)上， ∴ 解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2＋x－2.

9、(2)拋物線的解析式為y＝x2＋x－2， 令x＝0，得y＝－2， ∴C(0，－2)， 令y＝0，得x＝－4或1， ∴A(1，0)． 設(shè)點M坐標為(m，n)(m＜0，n＜0)． 如圖，過點M作MF⊥x軸于點F，則MF＝－n， OF＝－m，BF＝4＋m. S四邊形BMCA＝S△BMF＋S梯形MFOC＋S△AOC ＝BF·MF＋(MF＋OC)·OF＋OA·OC ＝(4＋m)×(－n)＋(－n＋2)×(－m)＋×1×2 ＝－2n－m＋1. ∵點M(m，n)在拋物線y＝x2＋x－2上， ∴n＝m2＋m－2，代入上式得 S四邊形BMCA＝－m2－4m＋5＝－(m＋2)2＋9，

10、 ∴當m＝－2時，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9. (3)假設(shè)存在這樣的⊙Q. 如圖，設(shè)直線x＝－2與x軸交于點G，與直線AC交于點F. 設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，將A(1，0)，C(0，－2)代入得 解得 ∴直線AC解析式為y＝2x－2. 令x＝－2，得y＝－6， ∴F(－2，－6)，GF＝6. 在Rt△AGF中，由勾股定理得 AF＝＝＝3. 設(shè)Q(－2，n)，則在Rt△QGO中，由勾股定理得OQ＝＝. 設(shè)⊙Q與直線AC相切于點E，則QE＝OQ＝. 在Rt△AGF與Rt△QEF中， ∵∠AGF＝∠QEF＝90°，∠AFG＝∠QFE， ∴Rt△AGF∽Rt△QEF， ∴＝，即＝， 化簡得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1. ∴存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，點Q的坐標為 (－2，4)或(－2，－1)． 9