2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫（二）

2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫（二）利用一筆畫原理，我們可以解決許多有趣的實際問題。例1 下圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復(fù)地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由。如果能，應(yīng)從哪開始走？分析與解：我們將每個展室看成一個點，室外看成點E，將每扇門看成一條線段，兩個展室間有門相通表示兩個點間有線段相連，于是得到右圖。能否不重復(fù)地穿過每扇門的問題，變?yōu)橛覉D是否一筆畫問題。下圖中只有A，D兩個奇點，是一筆畫，所以答案是肯定的，應(yīng)該從A或D展室開始走。例1的關(guān)鍵是如何把一個實際問題變?yōu)榕袛嗍欠褚还P畫問題，就像歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題時做的那樣。例2 一個郵遞員投遞信件要走的街道如下圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？分析與解：圖中共有8個奇點，必須在8個奇點間添加4條線，才能消除所有奇點，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫。在距離最近的兩個奇點間添加一條連線，如左上圖中虛線所示，共添加4條連線，這4條連線表示要重復(fù)走的路，顯然，這樣重復(fù)走的路程最短，全程30千米。走法參考右上圖(走法不唯一)。例3下圖中每個小正方形的邊長都是100米。小明沿線段從A點到B點，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？分析與解：這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解。首先，圖中有8個奇點，在8個奇點之間至少要去掉4條線段，才能使這8個奇點變成偶點；其次，從A點出發(fā)到B點，A，B兩點必須是奇點，現(xiàn)在A，B都是偶點，必須在與A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為奇點。所以至少要去掉6條線段，也就是最多能走1800米，走法如下圖。或例2與例3的圖中各有8個奇點，都是通過減少奇點個數(shù)，將多筆畫變成一筆畫的問題，但它們采用的方法卻完全不同。因為例2中只要求走遍所有的線段，沒有要求不能重復(fù)，所以通過添加線段的方法(實際是重復(fù)走添加線段的這段路)，將奇點變?yōu)榕键c，使多筆畫變成一筆畫。而在例3中，要求不能走重復(fù)的路，所以不能添加線段，只能通過減少線段的方法，將奇點變?yōu)榕键c，使多筆畫變成一筆畫。區(qū)別就在于能否重復(fù)走！能“重復(fù)”就“添線”，不能“重復(fù)”就“減線”。例4在六面體的頂點B和E處各有一只螞蟻(見下圖)，它們比賽看誰能爬過所有的棱線，最終到達終點D。已知它們的爬速相同，哪只螞蟻能獲勝？分析與解：許多同學(xué)看不出這是一筆畫問題，但利用一筆畫的知識，能非常巧妙地解答這道題。這道題只要求爬過所有的棱，沒要求不能重復(fù)。可是兩只螞蟻爬速相同，如果一只不重復(fù)地爬遍所有的棱，而另一只必須重復(fù)爬某些棱，那么前一只螞蟻爬的路程短，自然先到達D點，因而獲勝。問題變?yōu)閺腂到D與從E到D哪個是一筆畫問題。圖中只有E，D兩個奇點，所以從E到D可以一筆畫出，而從B到D卻不能，因此E點的螞蟻獲勝。  附送：2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一題多解專題簡析：一題多解是指從不同角度，運用不同的思維方式來解答同一道題的思考方法，經(jīng)常進行一題多解的訓(xùn)練，可以鍛煉我們的思維，使頭腦更靈活。在進行一題多解的練習(xí)時，要根據(jù)題目的具體情況，首先確定思維的起點，然后沿著不同的思考方向，就能找到不同的解題方法。在尋求一題多解時，還應(yīng)該特別選擇解決問題的簡便方法和最佳途徑。例題1 有一個正方形池塘，四周種樹，每邊種8棵，每個頂點種一棵，每兩棵樹之間距離都相等。四周一共種了多少棵樹？思路導(dǎo)航：方法一：根據(jù)條件可知，每邊種8棵，4邊就是8×4=32棵，但每邊起點一棵算了兩次，一共多算了4棵，所以四周一共種了324=28棵樹。方法二：我們可以先數(shù)正方形的一組對邊，包括兩個頂點的，每邊種8棵；再數(shù)另一組對邊的，不數(shù)兩個頂點的，每邊種82=6棵。所以，一共有：8×26×2=28棵。方法三：把正方形四邊拉直，每邊種8棵，就是把每邊分成了7等份，4邊共分成了28等份，每一等份對應(yīng)一棵樹，所以共有28棵樹。練 習(xí) 一1在一個正方形的菜地四周圍籬笆，每個頂點插一根，每兩根籬笆之間的距離相等，每邊有12根籬笆，四周一共圍了多少根籬笆？2有一個三角形花圃周圍種松樹，每個頂點種一棵，每邊種10棵，每兩棵之間距離相等，四周一共種了多少棵？3少先隊員表演節(jié)目，圍成一個正方形，每個頂點站1人，已知每邊站6人，一共站了多少人？例題2 一瓶花生油連瓶一共重800克，吃掉一半油，連瓶一起稱，還剩550克。瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？思路導(dǎo)航：方法一：根據(jù)條件可知，花生油和瓶的重量油800克變?yōu)?50克，是因為吃掉了一半油，半瓶油的重量是800550=250克，一瓶油的重量是250×2=500克，油瓶的重量是800500=300克。方法二：根據(jù)條件可知，半瓶油連瓶重550克，從800克中減去半瓶油的重量800550=250克，550250=300克即為瓶的重量，油的重量為：800300=500克。方法三：根據(jù)“半瓶油連瓶共重550克”可求出一瓶油和兩個瓶共重550×2=1100克，所以瓶重：1100800=300克，油重800300=500克。練 習(xí) 二1一袋大米，連袋共重50千克。吃掉一半后，連袋剩下27千克。大米重多少千克？袋重多少千克？2一筐蘋果連筐共重85千克，倒去一半后，連筐共重45千克。蘋果和筐各重多少千克？3一筐橘子，連筐共重45千克。先拿一半送給幼兒園，再拿出剩下的一半給敬老院的老人，余下的橘子連筐重15千克。橘子和筐各重多少千克？例題3 甲班有42人，乙班有35人，開學(xué)時來了25位新同學(xué)，怎樣分才能使兩班學(xué)生人數(shù)相等？思路導(dǎo)航：方法一：根據(jù)已知條件，我們可求出轉(zhuǎn)來了25位同學(xué)后的總?cè)藬?shù)為：423525=102人，再求出平均每班為102÷2=51人，再根據(jù)甲班乙班原有的人數(shù)分別求出甲班分了：5142=9人，乙班分了：5135=16人。方法二：根據(jù)已知條件，我們可先求出乙班比甲班少4235=7人，那么25位新同學(xué)中我們可先分7人給乙班，使乙班和甲班一樣多，這樣就剩下257=18人。剩下的18人，我們再平均分給兩班，每班各分18÷2=9人。所以，甲班共分了9人，乙班共分了97=16人。練 習(xí) 三1小明有18枝鉛筆，小紅有15枝鉛筆，媽媽又買來13枝鉛筆，怎樣分，才能使兩人鉛筆一樣多？2甲倉庫有糧食420噸，乙倉庫有糧食370噸，又運來糧食180噸，怎樣分，才能使兩倉庫糧食一樣多？3有甲、乙兩筐蘋果，甲筐有蘋果25千克，乙筐有蘋果18千克，又買來13千克蘋果，怎樣分才能使兩筐蘋果一樣多？例題4 從小青家經(jīng)小紅和小強家到學(xué)校有450米，從小青家到小強家有390米，從學(xué)校到小紅家有320米。從小紅家到小強家有多少米？思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出線段圖。方法一：從小青家到學(xué)校有450米，到小強家有390米，說明小強家到學(xué)校有450390=60米，又因為小紅家到學(xué)校有320米，所以小紅家到小強家有32060=260米。方法二：根據(jù)上面線段圖和已知條件可知：從小青家到學(xué)校有450米，從學(xué)校到小紅家有320米，說明小青家到小紅家有450320=130米。又因為小青家到小強家有390米，所以小紅家到小強家有390320=260米。方法三：根據(jù)上面線段圖和已知條件可知：從小青家到小強家有390米，從學(xué)校到小紅家有320米。我們可求出小青家到學(xué)校與小紅家到小強家的距離為390320=710米，從中減去小青家到學(xué)校的距離450米，就是小紅家到小強家的距離：710450=260米。練 習(xí) 四1亮亮經(jīng)過小明、小丹家到電影院共500米，從亮亮家到小丹家是270米，從小明家到電影院是410米。從小明家到小丹家多少米？2小敏外出旅游乘車回家，從汽車站經(jīng)醫(yī)院、商店到家共1000米，從汽車站到商店是620米，從醫(yī)院到家是690米。那么醫(yī)院到商店多少米？3有兩塊木板，一塊長70厘米，另一塊長80厘米。如果把兩塊木板重疊后釘成一塊木板，全長130厘米。重疊部分長多少厘米？例題5 小青以均勻的速度在公路上散步，從第1根電線桿走到第10根電線桿共用了12分鐘，如果她走24分鐘，應(yīng)走到第幾根電線桿？思路導(dǎo)航：方法一：根據(jù)題意，畫出線段圖。從圖上可以看出，由于每個間隔所用的時間無法直接求出，因而只有從時間關(guān)系上加以考慮，24分鐘正好是12分鐘的2倍，就相當(dāng)于小青先走12分鐘，又繼續(xù)走12分鐘。注意第10根（圖中A處）既是前12分鐘的終點，又是后12分鐘的起點，顯然被重復(fù)算了一次。因此，小紅如果走24分鐘，應(yīng)走到10×21=19根電線桿處。方法二：根據(jù)題意，畫出線段圖。由圖可知，12分鐘走到第10根電線桿，共走了101=9個間隔，24分鐘正好是12分鐘的2倍，那么24分鐘就走了9×2=18個間隔。要求應(yīng)走到第幾根電線桿，我們要加上起點B點那根電線桿，因而應(yīng)走到第181=19根電線桿。練 習(xí) 五1玲玲上樓，從一樓到三樓用6分鐘，如果她走12分鐘，應(yīng)走到幾樓？2路的一旁插著彩旗，如果從第一面旗走到第4面旗要用12分鐘，那么走24分鐘能從第一面走到第幾面？3小芳和媽媽用均勻的速度在馬路上散步，他們從第1根電線桿走到第12根電線桿，整整用了8分鐘。仍用這樣的速度，再走8分鐘，他們會走到第幾根電線桿？