2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題13 反比例函數(shù)（含解析）

專題13 反比例函數(shù) 專題知識(shí)回顧 1反比例函數(shù)：形如y（k為常數(shù)，k0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式xy=k、 。 2圖像：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x。對(duì)稱中心是：原點(diǎn)。它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3性質(zhì):（1）當(dāng)k0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； （2）當(dāng)k0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。 4.|k|的幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。5反比例函數(shù)解析式的確定由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。專題典型題考法及解析 【例題1】（2019山東棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A.B分別在x軸、y軸的正半軸上，ABC90°，CAx軸，點(diǎn)C在函數(shù)y（x0）的圖象上，若AB1，則k的值為（）A1BCD2【答案】A 【解析】根據(jù)題意可以求得OA和AC的長(zhǎng)，從而可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得k的值，本題得以解決等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A.B分別在x軸、y軸的正半軸上，ABC90°，CAx軸，AB1，BACBAO45°，OAOB，AC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)C在函數(shù)y（x0）的圖象上，k1故選：A【例題2】（2019湖南郴州）如圖，點(diǎn)A，C分別是正比例函數(shù)yx的圖象與反比例函數(shù)y=4x的圖象的交點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作ADx軸于點(diǎn)D，過(guò)C點(diǎn)作CBx軸于點(diǎn)B，則四邊形ABCD的面積為 【答案】8【解析】A、C是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，CDx軸，ABx軸，OAOC，OBOD，SAOBSBOCSDOCSAOD，又反比例函數(shù)y=4x的圖象上，SAOBSBOCSDOCSAOD=12×42，S四邊形ABCD4SAOB4×28，故答案為：8【例題3】（2019江蘇鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)A(2，n)和點(diǎn)D是反比例函數(shù)y（m0，x0）圖像上的兩點(diǎn)，一次函數(shù)ykx3（k0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DEx軸，垂足為E，連接OA、OD已知OAB與ODE的面積滿足SOABSODE34（1）SOAB_，m_；（2）已知點(diǎn)P(6，0)在線段OE上，當(dāng)PDECBO時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥勘绢}考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義以及相似三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義以及相似三角形的性質(zhì)先求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)和A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用利用三角形面積公式可得OBA的面積，再根據(jù)面積的比較關(guān)系求出ODE的面積，最后根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義求出m的值；先由點(diǎn)A在雙曲線上，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；再先求出直線AB的解析式；連接DP，通過(guò)條件PDECBO，PEDCOB90°，得PDAB，于是可令直線PD的解析式為yxt，則0×6t，求出PD的解析式；最后由解得，從而鎖定D點(diǎn)的坐標(biāo)（1）一次函數(shù)ykx3（k0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，B(0，3)，OB3點(diǎn)A(2，n)，2SAOBOB×3×23SOABSODE34，SDOE4DEx軸，且點(diǎn)D在雙曲線y上，4m0，m8（2）如答圖，連接PD， 點(diǎn)A(2，n)在雙曲線y上，2n8，n4，A(2，4)一次函數(shù)ykx3（k0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，42k3k，直線AB的解析式為yx3PDECBO，PEDCOB90°，DPEBCOPDAB令直線PD的解析式為yxt，則0×6tt3，直線PD的解析式為yx3由解得，點(diǎn)D在第一象限，D(8，1) 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1. （2019貴州省畢節(jié)市）若點(diǎn)A（4，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）都在反比例函數(shù)y的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）Ay1y2y3By3y2y1Cy2y1y3Dy1y3y2【答案】C【解析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出y1、y2、y3的值，比較后即可得出結(jié)論點(diǎn)A（4，y1）、B（2，y2）、C（2，y3）都在反比例函數(shù)y的圖象上，y1，y2，y3，又，y3y1y2故選：C2.(2019安徽)已知點(diǎn)A（1，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'在反比例函數(shù)y的圖象上，則實(shí)數(shù)k的值為（）A3BC3D【答案】A 【解析】先根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A'的坐標(biāo)為（1，3），然后把A的坐標(biāo)代入y中即可得到k的值點(diǎn)A（1，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（1，3），把A（1，3）代入y得k1×33故選：A3.（2019黑龍江哈爾濱）點(diǎn)(1,4)在反比例函數(shù)y的圖象上,則下列各點(diǎn)在此函數(shù)圖象上的是（ ）。A（4，-1） B（-，1） C（-4，-1） D（，2）【答案】A【解析】反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)將點(diǎn)（1，4）代入y，k4，y，點(diǎn)（4，1）在函數(shù)圖象上。4. （2019湖北十堰）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函數(shù)y=kx的圖象分別與線段AB，BC交于點(diǎn)D，E，連接DE若點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)恰好在OA上，則k（）A20B16C12D8【答案】【解析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得矩形的長(zhǎng)和寬，易知點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，E的縱坐標(biāo)，由反比例函數(shù)的關(guān)系式，可用含有k的代數(shù)式表示另外一個(gè)坐標(biāo)，由三角形相似和對(duì)稱，可求出AF的長(zhǎng)，然后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值解：過(guò)點(diǎn)E作EGOA，垂足為G，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接DF、EF、BF，如圖所示：則BDEFDE，BDFD，BEFE，DFEDBE90°易證ADFGFEAFEG=DFFE，A（8，0），B（8，4），C（0，4），ABOCEG4，OABC8，D、E在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，E（k4，4）、D（8，-k8）OGEC=-k4，AD=-k8，BD4+k8，BE8+k4BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG，AF=12EG=2，在RtADF中，由勾股定理：AD2+AF2DF2即：（-k8）2+22（4+k8）2解得：k125.（2019湖北仙桃）反比例函數(shù)y=-3x，下列說(shuō)法不正確的是（）A圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3）B圖象位于第二、四象限C圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱Dy隨x的增大而增大【答案】D【解析】由點(diǎn)（1，3）的坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)y=-3x，故A是正確的；由k30，雙曲線位于二、四象限，故B也是正確的；由反比例函數(shù)的對(duì)稱性，可知反比例函數(shù)y=-3x關(guān)于yx對(duì)稱是正確的，故C也是正確的，由反比例函數(shù)的性質(zhì)，k0，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質(zhì)，故D是不正確的。6. （2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B在反比例函數(shù) 的圖象上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，則平行四邊形OABC的面積是（ ）A B C4D6【答案】C【解析】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；平行四邊形的面積。設(shè)A(a,b)，B（a+m，b），依題意得，化簡(jiǎn)得m=4a.，ab=1，S平行四邊形OABC=mb=4ab=4×1=4，故選C.7.（2019廣西賀州）已知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能【答案】A【解析】若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，則所以則一次函數(shù)的圖象應(yīng)該經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、四象限，則所以則一次函數(shù)的圖象應(yīng)該經(jīng)過(guò)第二、三、四象限故選項(xiàng)正確。8.（2019湖南衡陽(yáng)）如圖，一次函數(shù)y1kx+b（k0）的圖象與反比例函數(shù)y2（m為常數(shù)且m0）的圖象都經(jīng)過(guò)A（1，2），B（2，1），結(jié)合圖象，則不等式kx+b的解集是（）Ax1B1x0Cx1或0x2D1x0或x2【答案】C【解析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍便是不等式kx+b的解集由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)y1kx+b（k0）的圖象在反比例函數(shù)y2（m為常數(shù)且m0）的圖象上方時(shí)，x的取值范圍是：x1或0x2，不等式kx+b的解集是x1或0x29.（2019湖北黃石）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，BAx軸于點(diǎn)A，反比例函數(shù)y（x0）的圖象與線段AB相交于點(diǎn)C，且C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（1，n）（n1），若OAB的面積為3，則k的值為（）AB1C2D3【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)稱性求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得OA與AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)已知三角形的面積列出n的方程求得n，進(jìn)而用待定系數(shù)法求得k點(diǎn)C關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（1，n）（n1），C（n，1），OAn，AC1，AB2AC2，OAB的面積為3，解得，n3，C（3，1），k3×1310.（2019內(nèi)蒙古赤峰）如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=kx（k0）的圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMx軸，垂足為M若POM的面積等于2，則k的值等于（）A4B4C2D2【答案】A【解析】POM的面積等于2，12|k|2，而k0，k411.（2019四川瀘州）如圖，一次函數(shù)y1ax+b和反比例函數(shù)y2=kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，則使y1y2成立的x取值范圍是（）A2x0或0x4Bx2或0x4Cx2或x4D2x0或x4【答案】B【解析】觀察函數(shù)圖象可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x2或0x4時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，使y1y2成立的x取值范圍是x2或0x4故選：B二、填空題12.（2019貴州省畢節(jié)市） 如圖，在平面直角坐標(biāo)中，一次函數(shù)y4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)正方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在第一象限，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y（k0）的圖象上若正方形ABCD向左平移n個(gè)單位后，頂點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是 【答案】3.【解析】過(guò)點(diǎn)D作DEx軸過(guò)點(diǎn)C作CFy軸，可證ABODAE（AAS），CBFBAO（AAS），則可求D（5，1），C（4，5），確定函數(shù)解析式y(tǒng)，C向左移動(dòng)n個(gè)單位后為（4n，5），進(jìn)而求n的值；過(guò)點(diǎn)D作DEx軸，過(guò)點(diǎn)C作CFy軸，ABAD，BAODAE，ABAD，BOADEA，ABODAE（AAS），AEBO，DEOA，易求A（1，0），B（0，4），D（5，1），頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y上，k5，y，易證CBFBAO（AAS），CF4，BF1，C（4，5），C向左移動(dòng)n個(gè)單位后為（4n，5），5（4n）5，n3，故答案為3；13.（2019湖北孝感）如圖，雙曲線y=9x（x0）經(jīng)過(guò)矩形OABC的頂點(diǎn)B，雙曲線y=kx（x0）交AB，BC于點(diǎn)E、F，且與矩形的對(duì)角線OB交于點(diǎn)D，連接EF若OD：OB2：3，則BEF的面積為 【答案】2518【解析】設(shè)D（2m，2n），OD：OB2：3，A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），雙曲線y=9x（x0）經(jīng)過(guò)矩形OABC的頂點(diǎn)B，93m3n，mn1，雙曲線y=kx（x0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，k4mn雙曲線y=4mnx（x0），E（3m，43n），F(xiàn)（43m，3n），BE3n-43n=53n，BF3m-43m=53m，SBEF=12BEBF=2518mn=2518故答案為251814.（2019北京市）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在雙曲線上點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，則的值為_(kāi). 【答案】0【解析】關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與k的關(guān)系.A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，B點(diǎn)的坐標(biāo)為.又A、B兩點(diǎn)分別在又曲線和上；.；故填0.15.（2019貴州省安順市） 如圖，直線lx軸于點(diǎn)P，且與反比例函數(shù)y1k1/x（x0）及y2k2/x（x0）的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，已知OAB的面積為4，則k1k2 第15題圖【答案】8【解析】反比例函數(shù)y1（x0）及y2（x0）的圖象均在第一象限內(nèi)，k10，k20APx軸，SOAPk1，SOBPk2SOABSOAPSOBP（k1k2）4，解得：k1k28故答案為：816.（2019遼寧本溪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊OAB和菱形OCDE的邊OA，OE都在x軸上，點(diǎn)C在OB邊上，SABD=，反比例函數(shù)(x0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則k的值為 【答案】.【解析】過(guò)點(diǎn)D、B分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，設(shè)OE=2a，OA=2b，根據(jù)四邊形OCDE是菱形和OAB為等邊三角形可得DM=a和BN=b進(jìn)而得出SABD=S梯形BDMN+SABN-SADM，進(jìn)而求出b2的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k的值.過(guò)點(diǎn)D、B分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N.設(shè)OE=2a，OA=2b.四邊形OCDE是菱形，DM=a.OAB為等邊三角形，BN=b，SABD=S梯形BDMN+SABN-SADM=，解得b2=1.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，b），且點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，k=b2=17.（2019廣西桂林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例的圖象和都在第一象限內(nèi)，軸，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為若將向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，兩點(diǎn)同時(shí)落在反比例函數(shù)圖象上，則的值為【答案】【解析】，點(diǎn)，將向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，兩點(diǎn)同時(shí)落在反比例函數(shù)圖象上，三、解答題18.（2019年廣西柳州市）如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，反比例函數(shù)y（k0，x0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求直線AB和反比例函數(shù)y（k0，x0）的解析式；（2）已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y（k0，x0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AB距離最短時(shí)的坐標(biāo)【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥繉Ⅻc(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，2），代入ymx+b，可求直線解析式；過(guò)點(diǎn)C作CDx軸，根據(jù)三角形全等可求C（3，1），進(jìn)而確定k；設(shè)與AB平行的直線y2x+h，聯(lián)立2x+b，當(dāng)b2240時(shí)，點(diǎn)P到直線AB距離最短；（1）將點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，2），代入ymx+b，b2，m2，y2x+2；過(guò)點(diǎn)C作CDx軸，線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，ABOCAD（AAS），ADAB2，CDOA1，C（3，1），k3，y；（2）設(shè)與AB平行的直線y2x+h，聯(lián)立2x+b，2x2+bx30，當(dāng)b2240時(shí)，b，此時(shí)點(diǎn)P到直線AB距離最短；P（，）；19. (2019黑龍江大慶)如圖,反比例函數(shù)和一次函數(shù)ykx1的圖象相交于A(m,2m),B兩點(diǎn).(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;(2)求出點(diǎn)B的坐標(biāo),并根據(jù)圖象直接寫(xiě)出滿足不等式<kx1的x的取值范圍.【答案】見(jiàn)解析。【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(m,2m)在反比例函數(shù)圖象上,所以,所以m1,所以點(diǎn)A(1,2)反比例函數(shù),將點(diǎn)A代入一次函數(shù)可得,2k1,k3,所以一次函數(shù)表達(dá)式為:y3x1;(2)令3x1,解之,得,x11,x2,所以B(,3),根據(jù)圖象可得不等式<kx1的解集為:<x<0或x>1.20.（2019吉林?。┮阎獃是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6,（1） 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2） 當(dāng)x=4時(shí)，求y的值【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥繉=2時(shí)，y=6代入解析式即可求出待定系數(shù)，即可求出解析式； 當(dāng)x=4時(shí)，代入解析式，可求出y的值（1）y是x的反比例函數(shù)，設(shè)y=(k0），當(dāng)x=2時(shí)，y=6,k=xy=12,y=(2)當(dāng)x=4時(shí)，代入y=得，y=18