（課標通用）甘肅省2019年中考數(shù)學總復習優(yōu)化設計 單元檢測（四）圖形初步與三角形

單元檢測(四)圖形初步與三角形(考試用時:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.如圖,三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上.若1=35°,則2的度數(shù)是()A.35°B.45°C.55°D.65°答案C解析1+3=90°,1=35°,3=55°,2=3=55°.2.已知下列命題:若ab>1,則a>b;若a+b=0,則|a|=|b|;等邊三角形的三個內角都相等;底角相等的兩個等腰三角形全等.其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個答案A解析當b<0時,如果ab>1,那么a<b,錯誤;若a+b=0,則|a|=|b|正確,但是若|a|=|b|,則a+b=0錯誤,錯誤;等邊三角形的三個內角都相等,正確,逆命題也正確,正確;底角相等的兩個等腰三角形不一定全等,錯誤;其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是1個.3.(2018湖北宜昌)如圖,要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離,可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C,測得PC=100米,PCA=35°,則小河寬PA等于()A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米答案C解析PAPB,PC=100米,PCA=35°,小河寬PA=PCtanPCA=100tan35°米.4.在平面直角坐標系xOy中,將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置,直角頂點C的坐標為(1,0),頂點A的坐標為(0,2),頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上,現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移,當頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動,則此時點C的對應點C'的坐標為()A.32,0B.(2,0)C.52,0D.(3,0)答案C解析過點B作BDx軸于點D,ACO+BCD=90°,OAC+ACO=90°,OAC=BCD,在ACO與BCD中,OAC=BCD,AOC=BDC,AC=BC,ACOCBD(AAS),OC=BD,OA=CD,A(0,2),C(1,0)OD=3,BD=1,B(3,1),設反比例函數(shù)的解析式為y=kx,將B(3,1)代入y=kx,得k=3,y=3x,把y=2代入y=3x,得x=32,當頂點A恰好落在該雙曲線上時,此時點A移動了32個單位長度,C也移動了32個單位長度,此時點C的對應點C'的坐標為52,0.5.如圖,在RtABC中,ACB=90°,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=()A.2B.3C.4D.23答案C解析在RtABC中,ACB=90°,CE為AB邊上的中線,CE=AE=5,又AD=2,DE=AE-AD=5-2=3,CD為AB邊上的高,CDE=90°,CDE為直角三角形CD=CE2-DE2=52-32=4.6.(2018湖南婁底)如圖,由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169,小正方形的面積為49,則sin -cos =()A.513B.-513C.713D.-713答案D解析小正方形面積為49,大正方形面積為169,小正方形的邊長是7,大正方形的邊長是13,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得AC2+7AC-60=0,解得AC=5,AC=-12(舍去),BC=AB2-AC2=12,sin=ACAB=513,cos=BCAB=1213,sin-cos=513-1213=-713.7.(2018陜西)在ABC中,AC=8,ABC=60°,C=45°,ADBC,垂足為D,ABC的平分線交AD于點E,則AE的長為()A.423B.22C.823D.32答案C解析ADBC,ADC是直角三角形,C=45°,DAC=45°,AD=DC,AC=8,AD=42,在RtABD中,B=60°,BD=ADtan60°=423=463,BE平分ABC,EBD=30°,DE=BD·tan30°=463×33=423,AE=AD-DE=42-423=823.8.(2018湖北黃岡)如圖,在ABC中,DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點D和E,B=60°,C=25°,則BAD為()A.50°B.70°C.75°D.80°答案B解析由三角形的內角和定理,得BAC=180°-B-C=180°-60°-25°=95°.又由垂直平分線的性質,知C=DAC=25°,BAC=BAD+DAC=BAD+C=BAD+25°=95°BAD=95°-25°=70°.9.如圖,ABC的面積是12,點D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點,則AFG的面積是()A.4.5B.5C.5.5D.6答案A解析點D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點,AD是ABC的中線,BE是ABD的中線,CF是ACD的中線,AF是ABE的中線,AG是ACE的中線,AEF的面積=12×ABE的面積=14×ABD的面積=18×ABC的面積=32,同理可得AEG的面積=32,BCE的面積=12×ABC的面積=6,又FG是BCE的中位線,EFG的面積=14×BCE的面積=32,AFG的面積是32×3=92=4.5.10.(2018江蘇南通)如圖,等邊ABC的邊長為3 cm,動點P從點A出發(fā),以每秒1 cm的速度,沿ABC的方向運動,到達點C時停止,設運動時間為x(s),y=PC2,則y關于x的函數(shù)的圖象大致為()答案C解析正ABC的邊長為3cm,A=B=C=60°,AC=3cm.當0x3時,即點P在線段AB上時,AP=xcm(0x3);解法一:根據(jù)余弦定理知cosA=AP2+AC2-PC22PA·AC,即12=x2+9-y6x,解得y=x2-3x+9(0x3);該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線;解法二:過C作CDAB,則AD=1.5cm,CD=323cm,點P在AB上時,AP=xcm,PD=|1.5-x|cm,y=PC2=3232+(1.5-x)2=x2-3x+9(0x3),該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線;當3<x6時,即點P在線段BC上時,PC=(6-x)cm(3<x6);則y=(6-x)2=(x-6)2=x2-12x+36(3<x6),該函數(shù)的圖象是在3<x6上開口向上的拋物線.二、填空題(本大題共8小題,每小題4分,共32分)11.如圖,AC=DC,BC=EC,請你添加一個適當?shù)臈l件:,使得ABCDEC. 答案AB=DE(答案不唯一)解析添加條件是:AB=DE,在ABC與DEC中,AC=DC,AB=DE,BC=EC,ABCDEC(SSS).12.如圖,mn,1=110°,2=100°,則3=. 答案150°解析如圖,mn,1=110°,4=70°,2=100°,5=80°,6=180°-4-5=30°,3=180°-6=150°.13.三角形三邊長分別為3,4,5,那么最長邊上的中線長等于. 答案2.5解析32+42=25=52,該三角形是直角三角形,12×5=2.5.14.(2018湖南湘潭)九章算術是我國古代最重要的數(shù)學著作之一,在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學問題是:如圖所示,ABC中,ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的長,如果設AC=x,則可列方程為. 答案x2+32=(10-x)2解析設AC=x,AC+AB=10,AB=10-x.在RtABC中,ACB=90°,AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.15.一個三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊長是方程x2-10x+21=0的根,則三角形的周長為. 答案16解析x2-10x+21=0,因式分解得(x-3)(x-7)=0,解得x1=3,x2=7,三角形的第三邊是x2-10x+21=0的根,三角形的第三邊為3或7,當三角形第三邊為3時,3+3=6,不能構成三角形,舍去;當三角形第三邊為7時,三角形三邊分別為3,6,7,能構成三角形,則第三邊的長為7.三角形的周長為:3+6+7=16.16.(2018湖南婁底)如圖,ABC中,AB=AC,ADBC于D點,DEAB于點E,BFAC于點F,DE=3 cm,則BF=cm. 答案6解析在RtADB與RtADC中,AB=ACAD=AD,RtADBRtADC(HL).SABC=2SABD=2×12AB·DE=AB·DE=3AB,SABC=12AC·BF,12AC·BF=3AB,AC=AB,12BF=3,BF=6.17.(2018四川達州)如圖,ABC的周長為19,點D,E在邊BC上,ABC的平分線垂直于AE,垂足為N,ACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為. 答案52解析BN平分ABC,BNAE,NBA=NBE,BNA=BNE,在BNA和BNE中,ABN=EBN,BN=BN,ANB=ENB,BNABNE(ASA),BA=BE,BAE是等腰三角形,同理CAD是等腰三角形,點N是AE中點,點M是AD中點(三線合一),MN是ADE的中位線,BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,DE=BE+CD-BC=5,MN=12DE=52.18.(2018廣東)如圖,已知等邊OA1B1,頂點A1在雙曲線y=3x(x>0)上,點B1的坐標為(2,0).過B1作B1A2OA1交雙曲線于點A2,過A2作A2B2A1B1交x軸于點B2,得到第二個等邊B1A2B2;過B2作B2A3B1A2交雙曲線于點A3,過A3作A3B3A2B2交x軸于點B3,得到第三個等邊B2A3B3;以此類推,則點B6的坐標為. 答案(26,0)解析如圖,作A2Cx軸于點C,設B1C=a,則A2C=3a,OC=OB1+B1C=2+a,A2(2+a,3a).點A2在雙曲線y=3x(x>0)上,(2+a)·3a=3,解得a=2-1,或a=-2-1(舍去),OB2=OB1+2B1C=2+22-2=22,點B2的坐標為(22,0);作A3Dx軸于點D,設B2D=b,則A3D=3b,OD=OB2+B2D=22+b,A2(22+b,3b).點A3在雙曲線y=3x(x>0)上,(22+b)·3b=3,解得b=-2+3,或b=-2-3(舍去),OB3=OB2+2B2D=22-22+23=23,點B3的坐標為(23,0);同理可得點B4的坐標為(24,0)即(4,0);,點Bn的坐標為(2n,0),點B6的坐標為(26,0).三、解答題(本大題共6小題,共58分)19.(8分)(2018貴州銅仁)已知:如圖,點A,D,C,B在同一條直線上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求證:AEBF.證明AD=BC,AC=BD,在ACE和BDF中,AC=BD,AE=BF,CE=DF,ACEBDF(SSS),A=B,AEBF.20.(8分)(2018浙江杭州)閱讀下列題目的解題過程:已知a,b,c為ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷ABC的形狀.解a2c2-b2c2=a4-b4(A)c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)c2=a2+b2(C)ABC是直角三角形問:(1)上述解題過程,從哪一步開始出現(xiàn)錯誤?請寫出該步的代號:; (2)錯誤的原因為:; (3)本題正確的結論為:. 解(1)由題目中的解答步驟可得,錯誤步驟的代號為:C;(2)錯誤的原因為:沒有考慮a=b的情況,(3)本題正確的結論為:ABC是等腰三角形或直角三角形.21.(10分)如圖,在ABC中,ADBC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分別是BG,AC的中點.(1)求證:DE=DF,DEDF;(2)連接EF,若AC=10,求EF的長.(1)證明ADBC,ADB=ADC=90°,在BDG和ADC中,BD=AD,BDG=ADC,DG=DC,BDGADC(SAS),BG=AC,BGD=C,ADB=ADC=90°,E,F分別是BG,AC的中點,DE=12BG=EG,DF=12AC=AF,DE=DF,EDG=EGD,FDA=FAD,EDG+FDA=90°,DEDF;(2)解AC=10,DE=DF=5,由勾股定理得,EF=DE2+DF2=52.22.(10分)(2018湖南張家界)2017年9月8日10日,第六屆翼裝飛行世界錦標賽在我市天門山風景區(qū)隆重舉行,來自全球11個國家的16名選手參加了激烈的角逐.如圖,某選手從離水平地面1 000米高的A點出發(fā)(AB=1 000米),沿俯角為30°的方向直線飛行1 400米到達D點,然后打開降落傘沿俯角為60°的方向降落到地面上的C點,求該選手飛行的水平距離BC.解過點D作DEAB于E,DFBC于點F,由題意知ADE=30°,CDF=30°,在RtDAE中.AE=12AD=12×1400=700,cosADE=DEAD=32,DE=1400×32=7003EB=AB-AE=1000-700=300DF=BE=300tanCDF=FCDF=33FC=300×33=1003BC=BF+FC=DE+FC=7003+1003=8003(米).23.(10分)在ABC中,A=30°,點P從點A出發(fā)以2 cm/s的速度沿折線A-C-B運動,點Q從點A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運動,P,Q兩點同時出發(fā),當某一點運動到點B時,兩點同時停止運動.設運動時間為x(s),APQ的面積為y(cm2),y關于x的函數(shù)圖象由C1,C2兩段組成,如圖2所示.(1)求a的值;(2)求圖2中圖象C2段的函數(shù)表達式;(3)當點P運動到線段BC上某一段時APQ的面積,大于當點P在線段AC上任意一點時APQ的面積,求x的取值范圍.解(1)如圖,作PDAB于D,A=30°,PD=12AP=x,由題圖2可知,當x=1時,y=12,12×a×1=12,a=1.(2)如圖,作PDAB于D,由圖象可知,PB=5×2-2x=10-2x,PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB,y=12×AQ×PD=12x×(10-2x)·sinB,當x=4時,y=43,12×4×(10-2×4)·sinB=43,解得sinB=13,y=12x×(10-2x)×13=-13x2+53x;(3)12x2=-13x2+53x,解得x1=0,x2=2,由圖象可知,當x=2時,y=12x2有最大值,最大值是12×22=2,-13x2+53x=2,解得,x1=3,x2=2,當2<x<3時,點P運動到線段BC上某一段時APQ的面積,大于當點P在線段AC上任意一點時APQ的面積.24.(12分)(2018貴州安順)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對稱軸為直線x=-1,且拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,其中A(1,0),C(0,3).(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標;(3)設點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點,求使PBC為直角三角形的點的坐標.解(1)依題意得-b2a=-1,a+b+c=0,c=3,解之得a=-1,b=-2,c=3,拋物線的解析式:y=-x2-2x+3.對稱軸為x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),把B(-3,0),C(0,3)分別代入直線y=mx+n,得-3m+n=0n=3,解之得m=1n=3,直線y=mx+n的解析式為y=x+3.(2)直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小,把x=-1代入直線y=x+3得y=2,M(-1,2).即當點M到點的距離與到點的距離之和最小時M的坐標為(-1,2).(注:本題只求M坐標沒說要證明為何此時MA+MC的值最小,所以答案沒證明MA+MC的值最小的原因).(3)設P(-1,t),又B(-3,0),C(0,3),BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10解之得t=-2,若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2解之得t=4,若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18解之得t1=3+172,t2=3-172.綜上所述的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或-1,3+172或-1,3-172.13