2020中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練05 一元二次方程（含解析）

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1、熱點(diǎn)05 一元二次方程 【命題趨勢(shì)】 1．用直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程． 2．一元二次方程根的判別式，有兩種考查方式：①給出一元二次方程，求方程的根的情況；②給出帶有參數(shù)的一元二次方程和根的情況，求參數(shù)的取值范圍． 3．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，主要考查方式：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)；③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求等等；④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程；⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值． 4．列一元二次方程解決實(shí)際問題，以實(shí)際生活為背景，命題比較廣泛（常見的題型是增長(zhǎng)率問題

2、）． 【滿分技巧】 一、一元二次方程根的情況 1．一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提是b2－4ac≥0． 利用一元二次方程根的判別式（=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與=b2﹣4ac有如下關(guān)系： ①當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根； ②當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根； ③當(dāng)<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根． 2．一元二次方程根與系數(shù)的特點(diǎn)： （1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反過來可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，

3、后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)． （2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=，反過來也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2． 二、一元二次方程的應(yīng)用 列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”: 1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系． 2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)． 3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程． 4．解：準(zhǔn)確求出方程的解． 5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題． 6．答：寫出答案．

4、 列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題： （1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a． （2）增長(zhǎng)率問題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2=后來數(shù)． （3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程． （4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線

5、或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解． 【限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：30分鐘） 一、選擇題 1．（天津市濱海區(qū)2019屆九年級(jí)中考二模數(shù)學(xué)試卷）一元二次方程的根為 A． B． C．， D．， 【答案】D 【解析】∵， ∴x（x+1）=0， 即x=0或x+1=0， 解得：x=0或x=–1． 故選D． 2． （2019?河南）一元二次方程（x+1）（x–1）=2x+3的根的情況是 A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根 【答案】A 【解析】原方程可化為：x2–2x–4=0

6、，∴a=1，b=–2，c=–4，∴△=（–2）2–4×1×（–4）=20＞0， ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選A． 3．（山東省濟(jì)南歷下區(qū)2019屆九年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠1 D．m≥﹣2且m≠1 【答案】C 【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根， ∴， 解得：m≤2且m≠1．故選C． 4．（2019?廣東）已知x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A．x1≠x2 B．x12–2x1=0

7、 C．x1+x2=2 D．x1?x2=2 【答案】D 【解析】∵Δ=（–2）2–4×1×0=4＞0，∴x1≠x2，選項(xiàng)A不符合題意； ∵x1是一元二次方程x2–2x=0的實(shí)數(shù)根，∴x12–2x1=0，選項(xiàng)B不符合題意； ∵x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=2，x1?x2=0，選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意．故選D． 5．（2019年廣西梧州市中考數(shù)學(xué)二模試卷）一元二次方程2x2﹣5x﹣4=0根的情況是 A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判定該方程根的情況 【答案】A 【解析】=（﹣5）2﹣4×

8、2×（﹣4）=57>0， 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 故選A． 6．（2019?河北）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）時(shí)，只抄對(duì)了a=1，b=4，解出其中一個(gè)根是x=–1．他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2，則原方程的根的情況是 A．不存在實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)根是x=–1 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 【答案】A 【解析】∵小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）時(shí)，只抄對(duì)了a=1，b=4， 解出其中一個(gè)根是x=–1， ∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，則b2–4ac=16–4×1×5=–4<

9、0，則原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根．故選A． 7．（2019?廣西）揚(yáng)帆中學(xué)有一塊長(zhǎng)30 m，寬20 m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為x m，則可列方程為 A．（30–x）（20–x）=×20×30 B．（30–2x）（20–x）=×20×30 C．30x+2×20x=×20×30 D．（30–2x）（20–x）=×20×30 【答案】D 【解析】設(shè)花帶的寬度為x m，則可列方程為（30–2x）（20–x）=×20×30，故選D． 8．（江蘇省蘇州市部分學(xué)校中考2019年5月份數(shù)學(xué)模擬試卷）若a、b

10、是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的兩根，且等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、4，則n的值為 A．8 B．7 C．8或7 D．9或8 【答案】C 【解析】∵等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、4， ∴a=b，或a、b中有一個(gè)數(shù)為4． 當(dāng)a=b時(shí)，有b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4（n+1）=0， 解得：n=8； 當(dāng)a、b中有一個(gè)數(shù)為4時(shí)，有42﹣6×4+n+1=0， 解得：n=7， 故選C． 9．（安徽省池州市貴池區(qū)2019年中考數(shù)學(xué)三模試卷）據(jù)池州市統(tǒng)計(jì)局發(fā)布，2018年我市全年生產(chǎn)總值684.9億元，比上年增長(zhǎng)5.7%，若今、明兩年年增長(zhǎng)率保持不變，則2020年全年生產(chǎn)總值

11、為 A．（1+5.7%×2）×684.9億元 B．（1+5.7%）2×684.9億元 C．2×（1+5.7%）×684.9億元 D．2×5.7%（1+5.7%）×684.9億元 【答案】B 【解析】∵2018年我市全年生產(chǎn)總值684.9億元，比上年增長(zhǎng)5.7%，且今、明兩年年增長(zhǎng)率保持不變， ∴2020年的生產(chǎn)總值為（1+5.7%）2×684.9億元， 故選B． 10．（2019年天津市南開區(qū)九年級(jí)第二學(xué)期基礎(chǔ)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題）某校羽毛球隊(duì)有若干名隊(duì)員，任意兩名隊(duì)員之間進(jìn)行一場(chǎng)友誼賽，共進(jìn)行了36場(chǎng)比賽．如果全隊(duì)有名隊(duì)員，根據(jù)題意下列方程正確的是 A． B． C． D． 【答

12、案】C 【解析】設(shè)有x名隊(duì)員，每個(gè)隊(duì)員都要賽（x–1）場(chǎng)，但兩人之間只有一場(chǎng)比賽， 故， 故選C． 二、填空題 11．（2019年浙江省紹興市越城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷）一元二次方程x（x+5）=x+5的解為__________． 【答案】x1=﹣5，x2=1 【解析】方程整理得：x（x+5）﹣（x+5）=0， 分解因式得：（x+5）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣5，x2=1， 故答案為：x1=﹣5，x2=1． 12．（河南省安陽(yáng)市2019屆九年級(jí)中考一模數(shù)學(xué)試題）一元二次方程x2+2x﹣4=0的解是__________． 【答案】 【解析】∵x2+2x=4， ∴x2

13、+2x+1=4+1，即（x+1）2=5， 則x+1=， 即x=﹣1， 故答案為：﹣1． 13．（2019年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)一模試卷）已知關(guān)于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k=__________． 【答案】﹣2 【解析】設(shè)方程的兩根分別為x1，x2， ∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)， ∴x1+x2，=﹣（k2﹣4）=0，解得k=±2， 當(dāng)k=2，方程變?yōu)椋簒2+1=0，=﹣4<0，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以k=2舍去； 當(dāng)k=﹣2，方程變?yōu)椋簒2﹣3=0，=12>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； ∴k=﹣2． 故答案

14、為：﹣2． 14．（山東省德州市齊河縣2019年中考數(shù)學(xué)二模試卷）若x1，x2分別是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是__________． 【答案】2 【解析】∵x1，x2分別是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴x1+x2=﹣2，x1x2=﹣1， ∴=2． 故答案為：2． 15．（江蘇省南京市高淳區(qū)2019年中考二模數(shù)學(xué)試卷）已知關(guān)于x的方程x2+mx－3=0的兩個(gè)根為x1、x2，若x1+x2=2x1x2，則m=__________． 【答案】6 【解析】∵x1，x2是方程x2+mx?3=0的兩根， ∴x1+x2=–m，x1?x2=–3，

15、 則–m=2×（–3），解得：m=6， 故答案為：6． 16．（黑龍江省哈爾濱市平房區(qū)2019屆中考第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題）某商品每件元，經(jīng)過兩次降價(jià)后，售價(jià)為元，若每次降價(jià)的百分比相同，則第一次降價(jià)后的售價(jià)為每件__________元． 【答案】 【解析】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得：300（1–x）=243， 解得：x=0.1=10%，x=1.9（不合題意，舍去）． 每次降價(jià)的百分率為10%． ∴第一次降價(jià)后的售價(jià)為300–（300×0.1）=270（元）， 故答案為：270． 三、解答題 17．（江蘇省南京市高淳區(qū)第一中學(xué)2019屆中考三模數(shù)學(xué)試題）解下列一元二

16、次方程： （1）x2﹣4x﹣5=0； （2）（x﹣3）2=2（x﹣3）． 【解析】（1）x2﹣4x﹣5=0， x2?4x=5， 則x2?4x+4=5+4，即（x?2）2=9， 所以x1=5，x2=﹣1． （2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0， （x﹣3）（x﹣3﹣2）=0， x﹣3=0或x﹣3﹣2=0， 所以x1=3，x2=5． 18．（2019?十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2． （1）求a的取值范圍；[ （2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a為整數(shù)，求a的值． 【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+

17、2a+5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2， ∴＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2． （2）由根與系數(shù)的關(guān)系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣， ∵a為整數(shù)，∴a的值為﹣1，0，1． 19．（河北省保定市高陽(yáng)縣宏潤(rùn)中學(xué)2019屆九年級(jí)上學(xué)期期末調(diào)研考數(shù)學(xué)試題）對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，定義一種運(yùn)算“※”為：m※n=mn+n． （1）求2※5與2※（﹣5）的值； （2）如果關(guān)于x的方程x※（a※x）=﹣有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值． 【

18、解析】（1）2※5=2×5+5=15． 2※（﹣5）=2×（﹣5）+（﹣5）=﹣15． （2）x※（a※x）=x※[（a+1）x]=x（x+1）（a+1）=﹣， 整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1=0． ∵關(guān)于x的方程x※（a※x）=﹣有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴， ∴a=0． 20．（2019?南京）某地計(jì)劃對(duì)矩形廣場(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)建改造．如圖，原廣場(chǎng)長(zhǎng)50m，寬40m，要求擴(kuò)充后的矩形廣場(chǎng)長(zhǎng)與寬的比為3：2．?dāng)U充區(qū)域的擴(kuò)建費(fèi)用每平方米30元，擴(kuò)建后在原廣場(chǎng)和擴(kuò)充區(qū)域都鋪設(shè)地磚，鋪設(shè)地磚費(fèi)用每平方米100元．如果計(jì)劃總費(fèi)用642000元，擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別是多少米？

19、【解析】設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為3xm，寬為2xm， 依題意得：3x?2x?100+30（3x?2x–50×40）=642000， 解得x1=30，x2=–30（舍去）． 所以3x=90，2x=60． 答：擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為90m，寬為60m． 21．（2019?山東德州）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館608人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同． （1）求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率； （2）因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不超過500人次，在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，并說明理由． 【解析】（1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x， 根據(jù)題意得：128+128（1+x）+128（1+x）2=608， 化簡(jiǎn)得：4x2+12x﹣7=0， ∴（2x﹣1）（2x+7）=0， ∴x=0.5=50%或x=﹣3.5（舍）． 答：進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%． （2）∵進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%， ∴第四個(gè)月的進(jìn)館人次為：128（1+50%）3=128×=432<500． 答：校圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次． 9