2021-2022年三年級數學 奧數講座 能被25整除的數的特征

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1、2021-2022年三年級數學 奧數講座 能被2,5整除的數的特征   同學們都知道,自然數和0統(tǒng)稱為(非負)整數。同學們還知道,兩個整數相加,和仍是整數;兩個整數相乘,乘積也是整數;兩個整數相減,當被減數不小于減數時,差還是整數。兩個整數相除時,情況就不那么簡單了。如果被除數除以除數,商是整數,我們就說這個被除數能被這個除數整除;否則,就是不能整除。例如,   84能被2,3,4整除,因為84÷2=42,84÷3=28,84÷4=21,42,28,21都是整數。   而84不能被5整除,因為84÷5=16……4,有余數4。也不能被13整除,因為84÷13=6……6,有余數6。   因

2、為0除以任何自然數,商都是0,所以0能被任何自然數整除。   這一講的內容是能被2和5整除的數的特征,也就是討論什么樣的數能被2或5整除。   1.能被2整除的數的特征   因為任何整數乘以2,所得乘數的個位數只有0,2,4,6,8五種情況,所以,能被2整除的數的個位數一定是0,2,4,6或8。也就是說,凡是個位數是0,2,4,6,8的整數一定能被2整除,凡是個位數是1,3,5,7,9的整數一定不能被2整除。   例如,38,172,960等都能被2整除,67,881,235等都不能被2整除。   能被2整除的整數稱為偶數,不能被2整除的整數稱為奇數。   0,2,4,6,8,10

3、,12,14,…就是全體偶數。   1,3,5,7,9,11,13,15,…就是全體奇數。   偶數和奇數有如下運算性質:   偶數±偶數=偶數,   奇數±奇數=偶數,   偶數±奇數=奇數,   奇數±偶數=奇數,   偶數×偶數=偶數,   偶數×奇數=偶數,   奇數×奇數=奇數。 例1在1~199中,有多少個奇數?有多少個偶數?其中奇數之和與偶數之和誰大?大多少? 分析與解:由于1,2,3,4,…,197,198,199是奇、偶數交替排列的,從小到大兩兩配對:   (1,2),(3,4),…,(197,198),   還剩一個199。共有198÷2=99(對

4、),還剩一個奇數199。所以   奇數的個數=198÷2+1=100(個),   偶數的個數=198÷2=99(個)。   因為每對中的偶數比奇數大1,99對共大99,而199-99=100,所以奇數之和比偶數之和大,大100。   如果按從大到小兩兩配對:   (199,198),(197,196),…,(3,2),那么怎樣解呢? 例2(1)不算出結果,判斷數(524+42-429)是偶數還是奇數? (2)數(42□+30-147)能被2整除,那么,□里可填什么數? (3)下面的連乘積是偶數還是奇數?   1×3×5×7×9×11×13×14×15。 解:根據奇偶數的運算

5、性質: (1)因為524,42是偶數,所以(524+42)是偶數。又因為429是奇數,所以(524+42-429)是奇數。 (2)數(42□+30-147)能被2整除,則它一定是偶數。因為147是奇數,所以數(42□+30)必是奇數。又因為其中的30是偶數,所以,數42□必為奇數。于是,□里只能填奇數1,3,5,7,9。 (3)1,3,5,7,9,11,13,15都是奇數,由1×3為奇數,推知1×3×5為奇數……推知   1×3×5×7×9×11×13×15   為奇數。因為14為偶數,所以   (1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數,即   1×3×5×7×9×1

6、1×13×14×15為偶數。   由例2得出: (1)在全部是加、減法的運算中,若參加運算的奇數的個數是偶數,則結果是偶數;若參加運算的奇數的個數是奇數,則結果是奇數。 (2)在連乘運算中,只要有一個因數是偶數,則整個乘積一定是偶數。 例3在黑板上先寫出三個自然數3,然后任意擦去其中的一個,換成所剩兩個數的和。照這樣進行100次后,黑板上留下的三個自然數的奇偶性如何?它們的乘積是奇數還是偶數?為什么? 解:根據奇偶數的運算性質知:   第一次擦后,改寫得到的三個數是6,3,3,是“二奇一偶”;   第二次擦后,改寫得到的三個數是6,3,3或6,9,3或6,3,9,都是“二奇一偶”

7、。   以后若擦去的是偶數,則改寫得到的數為二奇數之和,是偶數;若擦去的是奇數,則改寫得到的數為一奇一偶之和,是奇數。總之,黑板上仍保持“二奇一偶”。   所以,無論進行多少次擦去與改寫,黑板上的三個數始終為“二奇一偶”。它們的乘積   奇數×奇數×偶數=偶數。   故進行100次后,所得的三個自然數的奇偶性為二奇數、一偶數,它們的乘積一定是偶數。   2.能被5整除的數的特征   由0×5=0,2×5=10,4×5=20,6×5=30,8×5= 40,…可以推想任何一個偶數乘以5,所得乘積的個位數都是0。   由1×5=5,3×5=15,5×5=25,7×5=35,9×5= 4

8、5,…可以推想,任何一個奇數乘以5,所得乘積的個位數都是5。   因此,能被5整除的數的個位數一定是0或5。也就是說,凡是個位數是0或5的整數一定能被5整除;凡是個位數不是0或5的整數一定不能被5整除。例如,870,6275,1234567890等都能被5整除,264,3588等都不能被5整除。 例4由0,3,5寫成的沒有重復數字的三位數中,有哪些能被5整除? 解:因為個位數為0或5的數才能被5整除,所以由0,3,5寫成的沒有重復數字的三位數中,只有350,530,305三個數能被5整除。 例5下面的連乘積中,末尾有多少個0?   1×2×3×…×29×30。 解:因為2×5=10

9、,所以在連乘積中,有一個因子2和一個因子5,末尾就有一個0。連乘積中末尾的0的個數,等于1~30中因子2的個數與因子5的個數中較少的一個。而在連乘積中,因子2的個數比因子5的個數多(如4含兩個因子2,8含三個因子2),所以,連乘積末尾0的個數與連乘積中因子5的個數相同。連乘積中含因子5的數有5,10,15,20,25,30,這些數中共含有七個因子 5(其中25含有兩個因子5)。所以,1×2×3×…×29×30的積中,末尾有七個0。 ? 附送: 2021-2022年三年級數學 奧數講座 能被3整除的數的特征   上一講我們講了能被2,5整除的數的特征,根據這些特征,很容易就能判別出一

10、個數是否能被2或5整除。同學們自然會問,有沒有類似的簡便方法,直接判斷一個數能否被3整除?   我們先具體觀察一些能被3整除的整數:   18,345,4737,25674   18能被3整除,1+8=9也能被3整除;   345能被3整除,3+4+5=9也能被3整除;   4737能被3整除,4+7+3+7=21也能被3整除;   25674能被3整除,2+5+6+7+4=24也能被3整除。   怎么這么巧?我們再試一個:7896852能被3整除,7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了,不用再試了,同學們可能已經在想:“是不是所有能被3整除的數的各位數字的和都能被3

11、整除?”結論是肯定的。它的一般性證明這里無法介紹,我們用一個具體的數來說明一般性的證明方法。   由99和9都能被3整除,推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除,推知(7+4+1)能被3整除;反之,由(7+4+1)能被3整除,推知741能被3整除。   因此,判斷一個整數能否被3整除的簡便方法是:   如果整數的各位數字之和能被3整除,那么此整數能被3整除。如果整數的各位數字之和不能被3整除,那么此整數不能被3整除。 例1判斷下列各數是否能被3整除:   2574,38974,587931。 解:因為2+5+7+4=18,18能被3整除,所以2574能被3整除;

12、   因為3+8+9+7+4=31,31不能被3整除,所以38974不能被3整除;   因為5+8+7+9+3+1=33,33能被3整除,所以587931能被3整除。   為了今后使用方便,我們介紹一個表示多位數的方法。當一個多位數中有一個或幾個數字用字母來表示時,為防止理解錯誤,就在這個多位數的上面劃一線段來表示這個多位數。例如,表示這個三位數的百、十、個位依次是3,a,5;又如,表示這個四位數的千、百、十、個位依次是a,b,c,d。 例2六位數能被3整除,數字a=? 解:2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除,數字a只能是2,5或8。即符合題意的a是2,5或8。

13、 例3由1,3,5,7這四個數字寫成的沒有重復數字的三位數中,有幾個能被3整除? 解:在1,3,5,7這四個數中,任取三個,共有4組:   1,3,5;1,3,7;1,5,7;3,5,7。其中,1+3+5和3+5+7能被3整除,所以,由1,3,5或3,5,7寫成的沒有重復數字的三位數能被3整除。由1,3,5可寫成135,153,315,351,513,531六個三位數;同理,由3,5,7也能寫成6個三位數。   所以,符合題意的三位數有6×2=12(個)。 例4被2,3,5除余1且不等于1的最小整數是幾? 解:除1以外,被2除余1的所有整數是   3,5,7,9,11,…,27,2

14、9,31,33,…   被3除余1的所有整數是   4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…   被5除余1的所有整數是   6,11,16,21,26,31,36,…   上面三列數中,第一個同時出現的數是31,所以31是同時滿足被2,3,5除均余1且不等于1的最小數。 例4中使用的方法是解這類題型的基本方法,但不夠簡捷。一個較簡捷的方法是:   因為5大于2和3,所以先從被5除余1的數   1,6,11,16,21,26,31,36,…   中找出第一個(1除外)同時滿足被2和3除都余1的數31,就為所求。   到五年級學了更多的知識后,還可直接由2×

15、3×5+1=31得到所求數。 例5同時能被2,3,5整除的最小三位數是幾? 解:能被5整除的三位數是   100,105,110,115,120,125,…其中,第一個能同時被2,3整除的數是120(它是偶數,且1+2+0=3),故120為所求。 ? 練習   1.直接判斷25874和978651能否被3整除。   3.由2,3,4,5這四個數字寫成的沒有重復數字的三位數中,有幾個能被3整除?   4.(1)被2,3除余1且不等于1的最小整數是幾? (2)被3,5除余2且不等于2的最小整數是幾?   5.同時能被2,3,5整除的最小自然數是幾?   6.同時能被2,3,5整除的最大三位數是幾?   7.一根鐵絲長125厘米,要把它剪成長2厘米、3厘米、5厘米的三種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段?

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