2021-2022年三年級數學 奧數講座 橫式數字謎（一）

2021-2022年三年級數學 奧數講座 橫式數字謎（一）在一個數學式子(橫式或豎式)中擦去部分數字，或用字母、文字來代替部分數字的不完整的算式或豎式，叫做數字謎題目。解數字謎題就是求出這些被擦去的數或用字母、文字代替的數的數值。例如，求算式324+=528中所代表的數。根據“加數=和-另一個加數”知，=582-324258。又如，求右豎式中字母A，B所代表的數字。顯然個位數相減時必須借位，所以，由12-B5知，B12-57；由A-13知，A314。解數字謎問題既能增強數字運用能力，又能加深對運算的理解，還是培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。這一講介紹簡單的算式(橫式)數字謎的解法。解橫式數字謎，首先要熟知下面的運算規(guī)則：(1)一個加數+另一個加數=和；(2)被減數-減數=差；(3)被乘數×乘數=積；(4)被除數÷除數=商。由它們推演還可以得到以下運算規(guī)則：由(1)，得 和-一個加數=另一個加數；其次，要熟悉數字運算和拆分。例如，8可用加法拆分為80817263544；24可用乘法拆分為241×24=2×123×84×6(兩個數之積)=1×2×122×2×6=(三個數之積)=1×2×2×62×2×2×3=(四個數之積)例1 下列算式中，*各代表什么數？(1)+513-6； (2)28-157；(3)3×=54； (4)÷387；(5)56÷*7。解：(1)由加法運算規(guī)則知，=13-6-52；(2)由減法運算規(guī)則知，28-(157)6；(3)由乘法運算規(guī)則知，54÷318；(4)由除法運算規(guī)則知，=87×3261；(5)由除法運算規(guī)則知，*56÷78。例2 下列算式中，各代表什么數？(1)+=48；(2)621-；(3)5×-18÷612；(4)6×3-45÷13。解：(1)表示一個數，根據乘法的意義知，+=×3，故=48÷316。(2)先把左端(6)看成一個數，就有(6)21，×321-6，15÷35。(3)把5×，18÷6分別看成一個數，得到5×=1218÷6，5×=15，=15÷53。(4)把6×3，45÷分別看成一個數，得到45÷6×3-13，45÷5，45÷59。例3(1)滿足5812×71的整數等于幾？(2)180是由哪四個不同的且大于1的數字相乘得到的？試把這四個數按從小到大的次序填在下式的里。180=×××。(3)若數，滿足×=48和÷=3，則，各等于多少？分析與解：(1)因為58÷12410，71÷12511，并且為整數，所以，只有=5才滿足原式。(2)拆分180為四個整數的乘積有很多種方法，如1801×4×5×91×2×3×30但拆分成四個“大于1”的數字的乘積，范圍就縮小了，如1802×2×5×92×3×5×6若再限制拆分成四個“不同的”數字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種：1802×3×5×6。所以填的四個數字依次為2，3，5，6。(3)首先，由÷=3知，因此，在把48拆分為兩數的乘積時，有4848×124×216×312×48×6，其中，只有4812×4中，12÷4=3，因此=12，=4。這道題還可以這樣解：由÷=3知，=×3。把×=48中的換成×3，就有(×3)×48，于是得到×=48÷316。因為164×4，所以=4。再把=×3中的換成4，就有=×3=4×3=12。這是一種“代換”的思想，它在今后的數學學習中應用十分廣泛。下面，我們再結合例題講一類“填運算符號”問題。例4 在等號左端的兩個數中間添加上運算符號，使下列各式成立：(1)4 4 4 424；(2)5 5 5 5 5=6。解：(1)因為444424，所以必須填一個“×”。4×416，剩下的兩個4只需湊成8，因此，有如下一些填法：4×44424；44×4424；444×424。(2)因為5+1=6，等號左端有五個5，除一個5外，另外四個5湊成1，至少要有一個“÷”，有如下填法：5÷5+5-5+56；55÷55-56；55×5÷5÷5=6；55÷5×5÷56。由例4看出，填運算符號的問題一般會有多個解。這些填法都是通過對問題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地“試算”，那么就可能走很多彎路。例5 在下式的兩數中間添上四則運算符號，使等式成立：8 2 33 3。分析與解：首先考察右端“3 3”，它有四種填法：3+36； 3-30；3×39； 3÷3=1。再考察左端“8 2 3”，因為只有一個奇數3，所以要想得到奇數，3的前面只能填“”或“-”，要想得到偶數，3的前面只能填“×”。經試算，只有兩種符合題意的填法：8-233×3；8÷2-33÷3。填運算符號可加深對四則運算的理解和認識，也是培養(yǎng)分析能力的好內容。 附送：2021-2022年三年級數學 奧數講座 橫式數字謎（二）第2講我們初步介紹了簡單的橫式填數問題。這一講再繼續(xù)介紹一些此類問題。例1 在下列各式的里填上合適的數字：(1)237÷=；(2)368÷=；(3)14×=38。解：(1)將除法變?yōu)槌朔ǎ梢赞D化為“在237=×中填入合適的數字”的問題。因為 237237×179×3，所以只有一種填法：(2)問題可以轉化為“在368×中填入合適的數字”的問題。因為368368×1184×292×446×823×16，其中只有36823×16是兩個兩位數之積。因而有如下兩種填法：(3)由被乘數的個位數是4，積的個位數是8知，乘數的個位數只可能為2或7，再由被乘數的十位數是1，積的百位數是3知，乘數的十位數不能填大于3的數字。所以乘數只可能是12，17，22，27，32或37。經試算，符合題意的填法有兩種：例2 在下列各式的里填上合適的數：(1)÷32729；(2)480÷15612；(3)5367÷8355。分析：根據有余數的除法(簡稱帶余除法)知：被除數=不完全商×除數余數，被除數-余數=不完全商×除數。上式說明，(被除數-余數)是不完全商或除數的倍數，并且有(被除數-余數)÷除數=不完全商，(被除數-余數)÷不完全商=除數。由此分析，可以得到如下解法。解：(1)由7×3229253，得到如下填法：(2)由(480-12)÷1563，得到如下填法：(3)由(5367-55)÷8364，得到如下填法：例3 在下列各式的里填入合適的數字，使等式成立：(1)5×2352；(2)94÷48=0。分析與解：(1)首先，從個位數分析，可知被乘數的個位數只能為4。其次，從首位數分析知，被乘數5的首位數只能為2。因為，被乘數的首位取1時，×23的積的首位小于5，而取大于2的數時，積的首位數大于5。由254×235842知，填法如下：(2)將問題轉換成“在 94=0×48中填數”的問題。類似(1)的分析，被乘數0的首位只能填2，個位數只能填3或8。由203×489744和208×489984知，有如下兩種填法：例4 在下列各題中，每一題的四個中都填同一個數字，使式子成立：(1)+×；(2)+=×；(3)+×。解：解這類題全靠對數的深刻認識和對四則運算的熟練掌握。(2)只能填2或0：(3)除0，1，2三數字外，其他數字3，4，9都可填。例5 在下式的中填入合適的數字，并要求等式中沒有重復的數字：756=×。分析與解：將乘法式子改寫成除法式子：756÷=。因為被除數與商都是三位數，所以除數不能大于被除數的百位數7。又因為題目要求沒有重復數字，所以除數只可能是2，3，4。逐一試除，得到756÷2378，756÷3252，756÷4189。只有756÷4189沒有重復數字，所以只有一種填法：例6 將0，1，2，3，4，5，6七個數字分別填入下式的七個里，使算式成立：÷=×=。分析與解：為了方便，我們將原式分成兩個等式，并在里填上字母，以示區(qū)別：其中字母A，B，C，D，E，F，G分別代表06這七個數字。由式看出，E不能是0，否則B也是0，不合題意。再由式看出，F，G既不能是0，也不能是1。F，G只能是 2，3，4，5或6，考慮到E0，再除去有重復數字的情形，滿足式的數字填法只有3×412。此時，還剩下0，5，6三個數字未填。因為在式中A，C都不能是0，所以B是0，由60÷512，得到符合題意的唯一填法：  練習1.在下列各式的中分別填入相同的兩位數：(1)5×=2；(2)6×3。2.將39中的數填入下列各式，使算式成立，要求各式中無重復的數字：(1)÷=÷；(2)÷÷。3.在下列各式的中填入合適的數字：(1)448÷=；(2)2822÷=；(3)13×= 46。4.在下列各式的中填入合適的數：(1) ÷32831；(2)573÷3229；(3)4837÷7427。5.在下列各式的中填入合適的數字，要求各等式中無重復的數字：(1)342÷=；(2)×567。6.將19這九個數字分別填入下式中的九個里，使連等式成立：÷=÷=÷。