2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧用矩形面積公式

2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧用矩形面積公式同學(xué)們都知道求正方形和長(zhǎng)方形面積的公式：正方形的面積=a×a(a為邊長(zhǎng))，長(zhǎng)方形的面積=a×b(a為長(zhǎng)，b為寬)。利用這兩個(gè)公式可以計(jì)算出各種各樣的直角多邊形的面積。例如，對(duì)左下圖，我們無(wú)法直接求出它的面積，但是通過將它分割成幾塊，其中每一塊都是正方形或長(zhǎng)方形(見右下圖)，分別計(jì)算出各塊面積再求和，就得出整個(gè)圖形的面積。例1 右圖中的每個(gè)數(shù)字分別表示所對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)度(單位：米)。這個(gè)圖形的面積等于多少平方米？分析與解：將此圖形分割成長(zhǎng)方形有下面兩種較簡(jiǎn)單的方法，圖形都被分割成三個(gè)長(zhǎng)方形。根據(jù)這兩種不同的分割方法，都可以計(jì)算出圖形的的面積。5×2(53)×3(534)×2=58(米2)；或5×(232)3×(23)4×258(米2)。上面的方法是通過將圖形分割成若干個(gè)長(zhǎng)方形，然后求圖形面積的。實(shí)際上，我們也可以將圖形“添補(bǔ)”成一個(gè)大長(zhǎng)方形(見下圖)，然后利用大長(zhǎng)方形與兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之差，求出圖形的面積。(534)×(232)-2×3-(23)×458(米2)；或(534)×(232)-2×(34)-3×458(米2)。由例1看出，計(jì)算直角多邊形面積，主要是利用“分割”和“添補(bǔ)”的方法，將圖形演變?yōu)槎鄠€(gè)長(zhǎng)方形的和或差，然后計(jì)算出圖形的面積。其中“分割”是最基本、最常用的方法。例2 右圖為一個(gè)長(zhǎng)50米、寬25米的標(biāo)準(zhǔn)游泳池。它的四周鋪設(shè)了寬2米的白瓷地磚(陰影部分)。求游泳池面積和地磚面積。分析與解：游泳池面積=50×251250(米2)。求地磚面積時(shí)，我們可以將陰影部分分成四個(gè)長(zhǎng)方形(見下圖)，從而可得白瓷地磚的面積為(2252)×2×250×2×2316(米2)；或(2502)×2×225×2×2316(米2)。求地磚的面積，我們還可以通過“挖”的方法，即從大長(zhǎng)方形內(nèi)“挖掉”一個(gè)小長(zhǎng)方形(見右圖)。從而可得白瓷地磚面積為(5022)×(2522)-50×25=316(米2)。例3 下圖中有三個(gè)封閉圖形，每個(gè)封閉圖形均由邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形組成。試求各圖形的面積。解：每個(gè)小方格的面積為1厘米2。圖(1)可分成四個(gè)凸出塊和一個(gè)中間塊，這五塊的面積都是2×24(厘米2)。圖(1)的面積為4×520(厘米2)。圖(2)可以看成是從長(zhǎng)7厘米、寬6厘米的長(zhǎng)方形中，“挖掉”4個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形。它的面積等于7×6-(2×2)×4=26(厘米2)。圖(3)像個(gè)寶鼎，豎行分割，從左至右分成五塊，每塊面積依次為2，5，3，5，2厘米2，總面積為2535217(厘米2)。例3中分割成正方形、長(zhǎng)方形的方法很多，因而具體計(jì)算面積的方法也很多。由于圖形內(nèi)所含方格數(shù)不多，所以也可以通過數(shù)圖中小方格的數(shù)目來(lái)求得面積。例4 一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是22厘米。如果它的長(zhǎng)和寬都是整數(shù)厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積(單位：厘米2)有多少種可能值？最大、最小各是多少？解：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是22厘米，所以它的長(zhǎng)、寬之和是22÷211(厘米)。考慮到長(zhǎng)、寬都是整數(shù)厘米，只有如下情形：所以，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積有五種可能值：10，18，24，28，30厘米2。最大是30厘米2，最小是10厘米2。 附送：2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 差倍應(yīng)用題與和倍應(yīng)用題相似的是差倍應(yīng)用題。它的“基本數(shù)學(xué)格式”是：已知大、小二數(shù)之“差”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。上面的問題中，有“差”、有“倍數(shù)”，所以叫做差倍應(yīng)用題。差倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系可以用下面的線段圖表示：從線段圖知，“差”是小數(shù)(即“1倍”數(shù))的(倍數(shù)-1)倍，所以，小數(shù)=差÷(倍數(shù)-1)。上式稱為差倍公式。由此得到大數(shù)=小數(shù)+差，或大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。例如，大、小數(shù)之差是152，大數(shù)是小數(shù)的5倍，則小數(shù)=152÷(5-1)=38，大數(shù)=38152=190或38×5190。例1 王師傅一天生產(chǎn)的零件比他的徒弟一天生產(chǎn)的零件多128個(gè)，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？分析：師徒二人一天生產(chǎn)的零件的“差”是128個(gè)。小數(shù)(即“1倍”數(shù))是徒弟一天生產(chǎn)的零件數(shù)，“倍數(shù)”為3。由差倍公式可以求解。解：徒弟一天生產(chǎn)零件128÷(3-1)=64(個(gè))，師傅一天生產(chǎn)零件12864192(個(gè))或64×3192(個(gè))。答：徒弟、師傅一天分別生產(chǎn)零件64個(gè)和192個(gè)。例2 兩根電線的長(zhǎng)相差30米，長(zhǎng)的那根的長(zhǎng)是短的那根的長(zhǎng)的4倍。這兩根電線各長(zhǎng)多少米？解：“差”30，倍數(shù)=4，由差倍公式得短的電線長(zhǎng)30÷(4-1)10(米)，長(zhǎng)的電線長(zhǎng)103040(米)或10×440(米)。答：短的電線長(zhǎng)10米，長(zhǎng)的電線長(zhǎng)40米。解差倍應(yīng)用題的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)是誰(shuí)，“差”是什么。上兩例中，“1倍”數(shù)及“差”都極明顯地直接給出。下面講兩個(gè)稍有變化，不直接給出“差”和“1倍”數(shù)的例子。例3 甲、乙二工程隊(duì)，甲隊(duì)有56人，乙隊(duì)有34人。兩隊(duì)調(diào)走同樣多人后，甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的3倍。問：調(diào)動(dòng)后兩隊(duì)各還有多少人？分析：畫線段圖如下：由上圖可知，“1倍”數(shù)是乙隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)。因甲、乙隊(duì)調(diào)走的人數(shù)相同(不影響他們二隊(duì)人數(shù)之差)，所以，甲、乙兩隊(duì)人數(shù)之差仍是56-34=22(人)。解：由差倍公式得調(diào)動(dòng)后乙隊(duì)有(56-34)÷(3-1)=11(人)。調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有11×3=33(人)或11(56-34)=33(人)。答：調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有33人，乙隊(duì)有11人。例4 甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，這時(shí)，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來(lái)各有多少千克？分析與解：畫線段圖如下：從上圖知，當(dāng)甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”數(shù)是甲桶里剩下的油?！安睢笔鞘裁茨?？從圖中可知，“1倍”與“3倍”之間的差261440(千克)就是我們要找的“差”。所以，由差倍公式知，“1倍”數(shù)=(2614)÷(3-1)20(千克)。故甲、乙桶原來(lái)各有油202646(千克)，或 20×3-1446(千克)。答：原來(lái)各有46千克。例5 小云比小雨少20本書，后來(lái)小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時(shí)小雨的書比小云的書多2倍。問：原來(lái)兩人各有多少本書？分析與解：“小雨的書比小云的書多2倍”，即小雨的書是小云的書的3倍。這個(gè)“倍數(shù)”是變化后的，所以“1倍”數(shù)應(yīng)是小云變化后的書(見下圖)?！安睢笔?051136(本)。根據(jù)和差公式得：小云現(xiàn)有書(20511)÷(3-1)18(本)。小云原來(lái)有書18523(本)，小雨原來(lái)有書232043(本)。答：原來(lái)小云有23本書，小雨有43本書。