2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題26 與弧長、扇形面積有關(guān)的問題（含解析）

專題26 與弧長、扇形面積有關(guān)的問題 專題知識回顧 1.扇形弧長面積公式（1）弧長的計算公式（2）扇形面積計算公式2.弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長弦長弧長（3）弓形的面積當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，  當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，3圓柱側(cè)面積體積公式（1）圓柱的側(cè)面積公式S側(cè)=2rh（2）圓柱的表面積公式：S表=S底×2+S側(cè)=2r2+2r h4.圓錐側(cè)面積體積公式 （1）圓錐側(cè)面積計算公式從右圖中可以看出，圓錐的母線即為扇形的半徑，而圓錐底面的周長是扇形的弧長，這樣，圓錐側(cè)面積計算公式:S圓錐側(cè)=S扇形= = rl（2）圓錐全面積計算公式:S圓錐全=S圓錐側(cè)S圓錐底面= r l r 2=r（l r）專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖北武漢）如圖，AB是O的直徑，M、N是（異于A.B）上兩點(diǎn)，C是上一動點(diǎn)，ACB的角平分線交O于點(diǎn)D，BAC的平分線交CD于點(diǎn)E當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時，則C.E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是（）A B C D【答案】A【解析】如圖，連接EB設(shè)OAr易知點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運(yùn)動軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是，由題意MON2GDF，設(shè)GDF，則MON2，利用弧長公式計算即可解決問題如圖，連接EB設(shè)OArAB是直徑，ACB90°，E是ACB的內(nèi)心，AEB135°，ACDBCD，ADDBr，ADB90°，易知點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運(yùn)動軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是，MON2GDF，設(shè)GDF，則MON2【例題2】(2019山西）如圖，在RtABC中，ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點(diǎn)為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】作DEAB于點(diǎn)E，連接OD，在RtABC中：tanCAB=，CAB=30°，BOD=2CAB=60°.在RtODE中：OE=OD=，DE=OE=.S陰影=SABC-SAOD-S扇形BOD=，故選A【例題3】（2019·貴州安順）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r2，扇形的圓心角120°，則該圓錐母線l的長為 【答案】6 【解析】根據(jù)題意得2×2，解德l6，即該圓錐母線l的長為6 專題典型訓(xùn)練題 一.選擇題1.（2019四川省廣安市）如圖，在RtABC中，ACB90°，A30°，BC4，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）ABCD【答案】A【解析】本題考查扇形面積公式、直角三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是學(xué)會分割法求面積，中考常考題型根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到B60°，根據(jù)圓周角定理得到COD120°，CDB90°，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論在RtABC中，ACB90°，A30°，B60°，COD120°，BC4，BC為半圓O的直徑，CDB90°，OCOD2，CDBC2，圖中陰影部分的面積S扇形CODSCOD2×1。2（2019山東青島）如圖，線段AB經(jīng)過O的圓心，AC，BD分別與O相切于點(diǎn)C，D若ACBD4，A45°，則的長度為（）AB2C2D4【答案】B【解析】連接OC、OD，根據(jù)切線性質(zhì)和A45°，易證得AOC和BOD是等腰直角三角形，進(jìn)而求得OCOD4，COD90°，根據(jù)弧長公式求得即可連接OC、OD，AC，BD分別與O相切于點(diǎn)C，DOCAC，ODBD，A45°，AOC45°，ACOC4，ACBD4，OCOD4，ODBD，BOD45°，COD180°45°45°90°，的長度為：2。3.（2019四川省涼山州）如圖，在AOC中，OA3cm，OC1cm，將AOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到BOD，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形的面積為（）cm2AB2CD【答案】B 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到陰影部分的面積扇形OAB的面積扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式即可求解AOCBOD，陰影部分的面積扇形OAB的面積扇形OCD的面積2，故選：B4（2019浙江紹興）如圖，ABC內(nèi)接于O，B65°，C70°若BC2，則的長為（）ABC2D2【答案】A 【解析】本題考查圓周角定理，弧長公式，等腰直角三角形的性質(zhì)的等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型連接OB，OC首先證明OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解決問題連接OB，OCA180°ABCACB180°65°70°45°，BOC90°，BC2，OBOC2，的長為5（2019山東泰安）如圖所示，將O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若O的半徑為3，則的長為（）ABC2D3【答案】C 【解析】連接OA、OB，作OCAB于C，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OCOA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出AOB，根據(jù)弧長公式計算即可連接OA、OB，作OCAB于C，由題意得，OCOA，OAC30°，OAOB，OBAOAC30°，AOB120°，的長26（2019浙江寧波）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為（）A3.5cmB4cmC4.5cmD5cm【答案】B 【解析】本題考查了圓錐的計算，矩形的性質(zhì)，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長設(shè)ABxcm，則DE（6x）cm，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長列出方程，求解即可根據(jù)題意，得（6x），解得x47.(2019云南)如圖，ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB5，BC13，CA12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是( )A4 B6.25 C7.5 D9【答案】A 【解析】此題主要考查了已知直角三角形三邊的長，如何求其內(nèi)切圓的半徑由切線長定理可知RtABC(a、b為直角邊，c為斜邊)的內(nèi)切圓半徑r=，也可根據(jù)面積公式求直角三角形內(nèi)切圓的半徑AB=5，BC=13，CA=12，AB2+AC2=BC2，ABC為直角三角形，且A=90°，O為ABC內(nèi)切圓，AFO=AEO=90°，且AE=AF，四邊形AEOF為正方形，設(shè)O的半徑為r，則OE=OF=AE=AF=r，BD=BF=ABr，CD=CE=ACr，BC=BD+CD= ABr+ ACr，r=2，S四邊形AEOF=r²=4，故選A8.（2019山東棗莊）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧，交對角線BD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留）（）A8B162C82D8【答案】C 【解析】本題考查扇形的面積的計算，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分割法求陰影部分面積根據(jù)S陰SABDS扇形BAE計算即可S陰SABDS扇形BAE×4×4829.（2019四川巴中）如圖，圓錐的底面半徑r6，高h(yuǎn)8，則圓錐的側(cè)面積是（）A15B30C45D60【答案】D 【解析】圓錐的側(cè)面積：S側(cè)2rlrl，求出圓錐的母線l即可解決問題圓錐的母線l10，圓錐的側(cè)面積10660。二.填空題10.（2019湖北省鄂州市）一個圓錐的底面半徑r5，高h(yuǎn)10，則這個圓錐的側(cè)面積是【答案】【解析】利用勾股定理易得圓錐的母線長，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積×底面半徑×母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解圓錐的底面半徑r5，高h(yuǎn)10，圓錐的母線長為5，圓錐的側(cè)面積為×5×5。11.（2019湖北省荊門市）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，以A為圓心，1為半徑作圓分別交AB，AC邊于D，E，再以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑作圓交BC邊于F，連接E，F(xiàn)，那么圖中陰影部分的面積為 【答案】+【解答】過A作AMBC于M，ENBC于N，等邊三角形ABC的邊長為2，BACBACB60°，AMBC×2，ADAE1，ADBD，AECE，ENAM，圖中陰影部分的面積SABCS扇形ADESCEF（SBCDS扇形DCF）×2××（×）+12.（2019湖北十堰）如圖，AB為半圓的直徑，且AB6，將半圓繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，則圖中陰影部分的面積為 【答案】6【解析】根據(jù)圖形可知，陰影部分的面積是半圓的面積與扇形ABC的面積之和減去半圓的面積由圖可得，圖中陰影部分的面積為：613.（2019湖北天門）75°的圓心角所對的弧長是2.5cm，則此弧所在圓的半徑是6cm【答案】6【解析】由弧長公式：l計算由題意得：圓的半徑R180×2.5÷（75）6cm14.（2019湖北省咸寧市）如圖，半圓的直徑AB6，點(diǎn)C在半圓上，BAC30°，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）【答案】3【解析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得CD和COB的度數(shù)，即可得到陰影部分的面積是半圓的面積減去AOC和扇形BOC的面積連接OC.BC，作CDAB于點(diǎn)D，直徑AB6，點(diǎn)C在半圓上，BAC30°，ACB90°，COB60°，AC3，CDA90°，CD，陰影部分的面積是：3，15.（2019廣東廣州）如圖放置的一個圓錐，它的主視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長為 （結(jié)果保留）【答案】2【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開扇形的弧長底面圓的周長即可解決問題某圓錐的主視圖是一個腰長為2的等腰直角三角形，斜邊長為2，則底面圓的周長為2，該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長為2。16.（2019江蘇泰州）如圖，分別以正三角形的3個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形若正三角形邊長為6cm，則該萊洛三角形的周長為 cm【答案】6【解析】本題考查了弧長公式：l（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）也考查了等邊三角形的性質(zhì)直接利用弧長公式計算即可該萊洛三角形的周長3×6（cm）17.（2019山東省聊城市）如圖是一個圓錐的主視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)（單位：cm），計算這個圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為 【答案】120°【解析】根據(jù)圓錐的底面半徑得到圓錐的底面周長，也就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，根據(jù)勾股定理得到圓錐的母線長，利用弧長公式可求得圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角圓錐的底面半徑為1，圓錐的底面周長為2，圓錐的高是2，圓錐的母線長為3，設(shè)扇形的圓心角為n°，2，解得n120即圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°18. （2019黑龍江省齊齊哈爾市）將圓心角為216°，半徑為5cm的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，那么圍成的這個圓錐的高為 cm【答案】4 【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2r，解得r3，所以圓錐的高4（cm）三、解答題19.（2019湖南邵陽）如圖，在等腰ABC中，BAC120°，AD是BAC的角平分線，且AD6，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F（1）求由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無重疊，求這個圓錐的高h(yuǎn)【答案】見解析?！窘馕觥浚?）利用等腰三角形的性質(zhì)得到ADBC，BDCD，則可計算出BD6，然后利用扇形的面積公式，利用由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積SABCS扇形EAF進(jìn)行計算；在等腰ABC中，BAC120°，B30°，AD是BAC的角平分線，ADBC，BDCD，BDAD6，BC2BD12，由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積SSABCS扇形EAF×6×123612；（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2r，解得r2，然后利用勾股定理計算這個圓錐的高h(yuǎn)根據(jù)題意得2r，解得r2，這個圓錐的高h(yuǎn)420.（2019山東省德州市 ）如圖，BPD120°，點(diǎn)A.C分別在射線PB.PD上，PAC30°，AC2（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A.C兩點(diǎn)分別與射線PB和PD相切要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；（2）根據(jù)（1）的作法，結(jié)合已有條件，請寫出已知和求證，并證明；（3）求所得的劣弧與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積【答案】見解析?！窘獯稹浚?）過A.C分別作PB.PD的垂線，它們相交于O，然后以O(shè)A為半徑作O即可。如圖所示。（2）寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明；連接OP，先證明RtPAORtPCO，然后根據(jù)切線的判定方法判斷PB.PC為O的切線。已知：如圖，BPD120°，點(diǎn)A.C分別在射線PB.PD上，PAC30°，AC2，過A.C分別作PB.PD的垂線，它們相交于O，以O(shè)A為半徑作O，OAPB，求證：PB.PC為O的切線；證明：BPD120°，PAC30°，PCA30°，PAPC，連接OP，OAPA，PCOC，PAOPCO90°，OPOP，RtPAORtPCO（HL）OAOC，PB.PC為O的切線；（3）先證明OAC為等邊三角形得到OAAC2，AOC60°，再計算出AP2，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用劣弧AC與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積進(jìn)行計算OAPOCP90°30°60°，OAC為等邊三角形，OAAC2，AOC60°，OP平分APC，APO60°，AP×22，劣弧AC與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積SS四邊形APCOS扇形AOC2××2×24221.（2019黑龍江省齊齊哈爾市）如圖，以ABC的邊BC為直徑作O，點(diǎn)A在O上，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，ADAB，D30°（1）求證：直線AD是O的切線；（2）若直徑BC4，求圖中陰影部分的面積【答案】見解析?！窘馕觥浚?）證明：連接OA，則COA2B，ADAB，BD30°，COA60°，OAD180°60°30°90°，OAAD，即CD是O的切線；（2）解：BC4，OAOC2，在RtOAD中，OA2，D30°，OD2OA4，AD2，所以SOADOAAD×2×22，因?yàn)镃OA60°，所以S扇形COA，所以S陰影SOADS扇形COA217