2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題9 一元二次方程及其應(yīng)用（含解析）

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1、專題09 一元二次方程及其應(yīng)用 專題知識(shí)回顧 1．定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。 3. 一元二次方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法 有直接開方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接開方法。 適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。

2、（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是： ①化簡(jiǎn)——把方程化為一般形式，并把二次項(xiàng)系數(shù)化為1； ②移項(xiàng)——把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)到等號(hào)的右邊； ③配方——兩邊同時(shí)加上b2，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式； ④開方，即降次； ⑤解一次方程。 （3）公式法。 當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根可寫為：的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 ， ②b2

3、-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。 ③b2-4ac＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。 定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 （4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。 6.解有關(guān)一元二次方程的實(shí)際

4、問題的一般步驟 第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系。 第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。 第3步：列方程。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程。 第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。 第5步：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)所求得的根是否滿足題意。 第6步：答。 專題典型題考法及解析 【例題1】 (2019安徽)解方程：（x﹣1）2＝4． 【答案】x1＝3，x2＝﹣1． 【解析】此題主要考查了直接開平方法，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（1）用直接

5、開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”． （2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 利用直接開平方法，方程兩邊直接開平方即可． 兩邊直接開平方得：x﹣1＝±2， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1． 【例題2】(2019山西）一元二次方程配方后可化為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析

6、】，故選D。 【例題3】（2019年山東省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　 ?。? 【答案】x1＝，x2＝． 【解析】直接利用公式法解方程得出答案． 3x2＝4﹣2x 3x2+2x﹣4＝0， 則b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0， 故x＝， 解得：x1＝，x2＝． 【例題4】（2019年江蘇省揚(yáng)州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是　 ?。? 【答案】1或2． 【解析】移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可． x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0，

7、x﹣2＝0，x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1 【例題5】（2019北京市） 關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根． 【答案】m=1，此方程的根為 【解析】先由原一元二次方程有實(shí)數(shù)根得判別式進(jìn)而求出m的范圍；結(jié)合m的值為正整數(shù)，求出m的值，進(jìn)而得到一元二次方程求解即可. ∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根， ∴ ∴ 又∵m為正整數(shù)，∴m=1， 此時(shí)方程為解得根為， ∴m=1，此方程的根為 【例題6】（2019四川瀘州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實(shí)根，則（x1+4）（x2+4）的值是　 ?。? 【答案】16 【解析】考查一元二次方程

8、根與系數(shù)的關(guān)系 ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實(shí)根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4， ∴（x1+4）（x2+4） ＝x1x2+4x1+4x2+16 ＝x1x2+4（x1+x2）+16 ＝﹣4+4×1+16 ＝﹣4+4+16 ＝16 【例題7】 (2019安徽)據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，2018年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為90.3萬(wàn)億，比2017年增長(zhǎng)6.6%．假設(shè)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率保持不變，則國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬(wàn)億的年份是（　?。? A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年 【答案】B． 【解析】根據(jù)題意分別求出2019年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)

9、總值、2020年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，得到答案．2019年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（萬(wàn)億）， 2020年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（萬(wàn)億）， ∴國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬(wàn)億的年份是2020年。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.( 2019甘肅省蘭州市) x＝1是關(guān)于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則2a+4b＝（ ） A. －2 B. －3 C. 4 D. －6 【答案】A． 【解析】將x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b

10、＝－1， 2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2. 2.（2019?湖南懷化）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　?。? A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2 【答案】C． 【解析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵． 利用完全平方公式變形，從而得出方程的解． ∵x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0， 則x+1＝0， 解得x1＝x2＝﹣1， 3.（2019?浙江金華）用配方法解方

11、程x2-6x-8=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（??? ） A.?(x-3)2=17?? ??B.?(x-3)2=14???? ?C.?（x-6)2=44?? ??D.?(x-3）2=1 【答案】 A 【解析】配方法解一元二次方程 ∵x2-6x-8=0， ∴x2-6x+9=8+9， ∴（x-3）2=17. 4. （2019湖北咸寧）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。? A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【答案】 【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有實(shí)數(shù)根，

12、∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0， 解得：m≤1． 5.(2019內(nèi)蒙古包頭市)已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，4，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0 的兩根，則m的值是（ ） A. 34 B.30 C.30或34 D.30或36 【答案】A. 【解析】分兩種情況討論： ① 若4為等腰三角形底邊長(zhǎng)，則a，b是兩腰， ∴方程x2-12x+m+2=0有兩個(gè)相等實(shí)根， ∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0, ∴m=34. 此時(shí)方程為x2-12x+36=0，解得x1=x2=6. ∴三邊為6，6，4，滿足三邊關(guān)系，符合題意. ②

13、 若4為等腰三角形腰長(zhǎng)，則a，b中有一條邊也為4， ∴方程x2-12x+m+2=0有一根為4. ∴42-12×4+m+2=0， 解得，m=30. 此時(shí)方程為x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8. ∴三邊為4，4，8，不滿足三邊關(guān)系，故舍去. 綜上，m的值為34. 6.（2019?山東省聊城市）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（　?。? A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2 【答案】D． 【解析】考點(diǎn)是一元二次方程的定義以及根的判別式。根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△

14、≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍． （k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0， ∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實(shí)數(shù)根， ∴， 解得：k≥且k≠2． 7. （2019湖北仙桃）若方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，則α2+β2的值為（　　） A．12 B．10 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解析】∵方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣4， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12 8. （2019?江蘇泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的兩根為x1 、x2 則x1+x2等于（　

15、　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【答案】C． 【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案． 由于△＞0， ∴x1+x2＝﹣3， 9.（2019山東淄博）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，則以x1，x2為根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0 【答案】A． 【解析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．利用完全平方公式計(jì)算出x1x2＝2，然后根據(jù)根與系數(shù)

16、的關(guān)系寫出以x1，x2為根的一元二次方程． ∵x12+x22＝5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5， 而x1+x2＝3， ∴9﹣2x1x2＝5， ∴x1x2＝2， ∴以x1，x2為根的一元二次方程為x2﹣3x+2＝0． 10. （2019?廣東）已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A．x1≠x2?? B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2? ? D．x1·x2=2 【答案】D 【解析】因式分解x（x-2）=0，解得兩個(gè)根分別為0和2，代入選項(xiàng)排除法. 11.（2019?廣西貴港）若α，β

17、是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的兩實(shí)根，且+＝﹣， 則m等于（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 【答案】B． 【解析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝2，αβ＝m，再化簡(jiǎn)+＝，代入可求解； α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的兩實(shí)根， ∴α+β＝2，αβ＝m， ∵+＝＝＝﹣， ∴m＝﹣3 12．（2019?浙江寧波）能說明命題“關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例為（　?。? A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝4 D．m＝5 【答案】D

18、． 【解析】利用m＝5使方程x2﹣4x+m＝0沒有實(shí)數(shù)解，從而可把m＝5作為說明命題“關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例． 當(dāng)m＝5時(shí)，方程變形為x2﹣4x+m＝5＝0， 因?yàn)椤鳎剑ī?）2﹣4×5＜0， 所以方程沒有實(shí)數(shù)解， 所以m＝5可作為說明命題“關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例． 13.（2019?黑龍江哈爾濱）某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，售價(jià)由原來的每件25元降到每件16元，則平均每次降價(jià)的百分率為（　　） A．20% B．40% C．18% D．36% 【答案】A． 【解析】本題考查了一元二次方程實(shí)

19、際應(yīng)用問題關(guān)于增長(zhǎng)率的類型問題，按照公式 a（1﹣x）2＝b對(duì)照參數(shù)位置代入值即可，公式的記憶與運(yùn)用是本題的解題關(guān)鍵． 設(shè)降價(jià)的百分率為x 根據(jù)題意可列方程為25（1﹣x）2＝16 解方程得，（舍） ∴每次降價(jià)得百分率為20% 14. （2019?湖南衡陽(yáng)）國(guó)家實(shí)施”精準(zhǔn)扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬(wàn)人，通過社會(huì)各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬(wàn)人．設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意列方程得（　?。? A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2

20、＝1 【答案】B． 【解析】等量關(guān)系為：2016年貧困人口×（1﹣下降率）2＝2018年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可． 設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意得： 二、填空題 15. （2019湖北十堰）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，則m＝　　 　． 【答案】﹣3或4　 【解析】根據(jù)題意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24， （2m﹣1）2﹣49＝0， （2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0， 2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0， 所以m1＝﹣3，m2＝

21、4． 16. （2019吉林長(zhǎng)春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判別式的值為 . 【答案】5． 【解析】∵a=1，b=-3，c=1， ∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5 17.（2019吉林?。┤絷P(guān)于x的一元二次方程（x+3)2=c有實(shí)數(shù)根，則c的值可以為 （寫出一個(gè)即可） 【答案】答案不唯一，例如5，（c≥0時(shí)方程都有實(shí)數(shù)根） 【解析】c≥0時(shí)方程都有實(shí)數(shù)根 18.（2019年湖北省荊門市）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，且滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，則k的值為　

22、 　． 【答案】1 【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＞0，可得出關(guān)于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范圍，進(jìn)而即可確定k值，此題得解． ∵x1，x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1． ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2， ∴2k2+1+3k+1+1＝8k2， 整理，得：2k2﹣k﹣1＝0， 解得：k1＝﹣，k2＝1． ∵關(guān)于x的方程

23、x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根， ∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0， 解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2， ∴k＝1． 19. （2019廣西桂林）一元二次方程的根是　　　　． 【答案】， 【解析】解一元二次方程因式分解法 或，所以，． 故答案為，． 20.（2019年四川省遂寧市）若關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為　 ?。? 【答案】k＜1． 【解析】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）△＝0?方程有兩個(gè)相等的

24、實(shí)數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根． 利用根的判別式進(jìn)行計(jì)算，令△＞0即可得到關(guān)于k的不等式，解答即可． ∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴△＞0， 即4﹣4k＞0， k＜1． 21.（2019年江西?。┰O(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩根，則x1+x2+x1x2＝　?。? 【答案】0 【解析】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解． ∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的兩根， ∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1， ∴

25、x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0． 22.（2019年四川省攀枝花市）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根，則x12+x22＝　 ?。? 【答案】6 【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系變形后求解． ∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根， ∴x1+x2＝2，x1×x2＝﹣1， ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣1）＝6． 23.（2019年四川省成都市）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2＝13，則k的值為　 　． 【答案】-2 【解析】根據(jù)“x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程

26、x2+2x+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，列出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可． 根據(jù)題意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1， +﹣x1x2 ＝﹣3x1x2 ＝4﹣3（k﹣1）＝13 24.（2019年甘肅省天水市）中國(guó)“一帶一路”給沿線國(guó)家和地區(qū)帶來很大的經(jīng)濟(jì)效益，沿線某地區(qū)居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入達(dá)到39200元．則該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為　 ?。ㄓ冒俜?jǐn)?shù)表示） 【答案】40%． 【解析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率，本題得以解決．

27、 設(shè)該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為x， 20000（1+x）2＝39200， 解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去）， ∴該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為40% 25.（2019年四川省宜賓市）某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價(jià)65元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，從現(xiàn)在開始的第一季度銷售價(jià)格將下降10%，第二季度又將回升5%．若要使半年以后的銷售利潤(rùn)不變，設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，根據(jù)題意可列方程是　 　． 【答案】65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50． 【解析】設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，根據(jù)利潤(rùn)＝售價(jià)﹣成本價(jià)結(jié)合半年以后的銷售利

28、潤(rùn)為（65﹣50）元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解． 設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x， 依題意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50． 26.（2019年江蘇省連云港市）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則+c的值等于　 　． 【答案】2 【解析】根據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)合根的判別式公式，得到關(guān)于a和c的等式，整理后即可得到的答案． 根據(jù)題意得： △＝4﹣4a（2﹣c）＝0， 整理得：4ac﹣8a＝﹣4， 4a（c﹣2）＝﹣4， ∵方程ax2

29、+2x+2﹣c＝0是一元二次方程， ∴a≠0， 等式兩邊同時(shí)除以4a得：c﹣2＝﹣， 則+c＝2 27.（2019年浙江省嘉興市）在x2+　　+4＝0的括號(hào)中添加一個(gè)關(guān)于x的一次項(xiàng)，使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． 【答案】±4x 【解析】此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）可以判斷方程的根的情況：一元二次方程的根與根的判別式 有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0 時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，但有2個(gè)共軛復(fù)根．上述結(jié)論反過來也成立． 要使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即△＝0，則利用根的

30、判別式即可求得一次項(xiàng)的系數(shù)即可． 要使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0 得b＝±4 故一次項(xiàng)為±4x 28.（2019年山東省棗莊市）已知關(guān)于x的方程ax2+2x﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是　 ?。? 【答案】a＞且a≠0 【分析】由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則運(yùn)用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式是b2﹣4ac＞0即可進(jìn)行解答 【解答】解：由關(guān)于x的方程ax2+2x﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0， 解得a＞ 則a＞且a≠0 三、解答題 29.（2019年浙江省

31、紹興市）x為何值時(shí)，兩個(gè)代數(shù)式x2+1，4x+1的值相等？ 【答案】x1＝0，x2＝4． 【解析】考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）． 利用題意得到x2+1＝4x+1，利用因式分解法解方程即可． x2+1＝4x+1， x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， x1＝0，x2＝4． 30. (2019黑龍江綏化)已知關(guān)于x的方程kx2－3x

32、+1＝0有實(shí)數(shù)根. (1)求k的取值范圍; (2)若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,分別為x1和x2,當(dāng)x1+x2+x1x2＝4時(shí),求k的值. 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)根的判別式列出不等式,即可求得k的范圍;由根與系數(shù)的關(guān)系,得到方程,即可解得k的值. (1)當(dāng)k＝0時(shí),方程是一元一次方程,有實(shí)數(shù)根,符合題意;當(dāng)k≠0時(shí),方程是一元二次方程,由題意得＝9－4k≥0,∴k≤,綜上所述,k的取值范圍是k≤. (2)∵x1和x2是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴x1+x2＝,x1x2＝,∵x1+x2+x1x2＝4,∴+＝4,解得k＝1,經(jīng)檢驗(yàn),k＝1是原分式方程的解,且1≤,∴k的值為1. 31. （

33、 2019湖北十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2． （1）求a的取值范圍； （2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a為整數(shù)，求a的值． 【答案】（1）a＜2 （2）a的值為﹣1，0，1． 【解析】根據(jù)根的判別式，可得到關(guān)于a的不等式，則可求得a的取值范圍； 由根與系數(shù)的關(guān)系，用a表示出兩根積、兩根和，由已知條件可得到關(guān)于a的不等式，則可求得a的取值范圍，再求其值即可． （1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0， 解得a＜2； （2）由根與系

34、數(shù)的關(guān)系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2≤30， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30， ∴a≥-32，∵a為整數(shù)， ∴a的值為﹣1，0，1． 32. （2019湖北孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2． （1）若a為正整數(shù)，求a的值； （2）若x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值． 【答案】（1）a＝1，2 （2）a＝﹣1． 【解析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

35、根，得到 △＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到結(jié)論； 根據(jù)x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到結(jié)論． （1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0， 解得：a＜3， ∵a為正整數(shù)， ∴a＝1，2； （2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2， ∵x12+x22﹣x1x2＝16， ∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16， ∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16， 解得：a1

36、＝﹣1，a2＝6， ∵a＜3， ∴a＝﹣1． 33.（2019江蘇徐州）如圖所示，有一塊矩形硬紙板，長(zhǎng)30cm,寬20cm.在其四角各剪去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無蓋長(zhǎng)方體盒子。當(dāng)剪去正方形的邊長(zhǎng)取何值時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為200cm2？ 【答案】5 【解析】根據(jù)題目給定的相等關(guān)系，列出一元二次方程，解這個(gè)方程取舍后得出實(shí)際問題的解. 設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm， 則根據(jù)題意有：(30-2x)(20-2x)=200，解得x1=5，x2=20， 當(dāng)x=20時(shí)，20-2x<0，所以x=5. 所以，當(dāng)剪去小正方形的邊長(zhǎng)為5cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子

37、的底面積為200cm2. 34.（2019?湖南衡陽(yáng)）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有實(shí)數(shù)根． （1）求k的取值范圍； （2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0與方程x2﹣3x+k＝0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值． 【答案】見解析。 【解析】（1）根據(jù)題意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0， 解得k≤； （2）k的最大整數(shù)為2， 方程x2﹣3x+k＝0變形為x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2， ∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0與方程x2﹣3x+k＝0有一個(gè)相同的根， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；

38、 當(dāng)x＝2時(shí)，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1， 而m﹣1≠0， ∴m的值為． 35. （2019?廣西貴港）為了滿足師生的閱讀需求，某校圖書館的藏書從2016年底到2018年底兩年內(nèi)由5萬(wàn)冊(cè)增加到7.2萬(wàn)冊(cè)． （1）求這兩年藏書的年均增長(zhǎng)率； （2）經(jīng)統(tǒng)計(jì)知：中外古典名著的冊(cè)數(shù)在2016年底僅占當(dāng)時(shí)藏書總量的5.6%，在這兩年新增加的圖書中，中外古典名著所占的百分率恰好等于這兩年藏書的年均增長(zhǎng)率，那么到2018年底中外古典名著的冊(cè)數(shù)占藏書總量的百分之幾？ 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的一元二次方程，從而可以得到這兩年藏書的年均增長(zhǎng)率； 根據(jù)題意可以求

39、出這兩年新增加的中外古典名著，從而可以求得到2018年底中外古典名著的冊(cè)數(shù)占藏書總量的百分之幾． （1）設(shè)這兩年藏書的年均增長(zhǎng)率是x， 5（1+x）2＝7.2， 解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：這兩年藏書的年均增長(zhǎng)率是20%； （2）在這兩年新增加的圖書中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（萬(wàn)冊(cè)）， 到2018年底中外古典名著的冊(cè)數(shù)占藏書總量的百分比是：×100%＝10%， 答：到2018年底中外古典名著的冊(cè)數(shù)占藏書總量的10%． 36. （2019?湖南長(zhǎng)沙）近日，長(zhǎng)沙市教育局出臺(tái)《長(zhǎng)沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實(shí)施意見》，鼓勵(lì)教師參與志愿輔導(dǎo)，

40、某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬(wàn)人次． （1）如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率； （2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬(wàn)人次？ 【答案】見解析。 【解析】設(shè)增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬(wàn)人次”可列方程求解；用2.42×（1+增長(zhǎng)率），計(jì)算即可求解． （1）設(shè)增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，得 2（1+x）2＝2.42， 解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%． 答：增長(zhǎng)率為10%．

41、（2）2.42（1+0.1）＝2.662（萬(wàn)人）． 答：第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到2.662萬(wàn)人次． 37. （2019?湖南邵陽(yáng)）2019年1月14日，國(guó)新辦舉行新聞發(fā)布會(huì)，海關(guān)總署新聞發(fā)言人李魁文在會(huì)上指出：在2018年，我國(guó)進(jìn)出口規(guī)模創(chuàng)歷史新高，全年外貿(mào)進(jìn)出口總值為30萬(wàn)億元人民幣．有望繼續(xù)保持全球貨物貿(mào)易第一大國(guó)地位．預(yù)計(jì)2020年我國(guó)外貿(mào)進(jìn)出口總值將達(dá)36.3萬(wàn)億元人民幣．求這兩年我國(guó)外貿(mào)進(jìn)出口總值的年平均增長(zhǎng)率． 【答案】10%． 【解析】根據(jù)a（1﹣x）2＝b增長(zhǎng)率公式建立方程30（1+x）2＝36.3，解方程即可． 設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得 30（1+x）

42、2＝36.3 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍） 答：我國(guó)外貿(mào)進(jìn)出口總值得年平均增長(zhǎng)率為10%． 38.（2019?湖北黃石）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有實(shí)數(shù)根． （1）求m的取值范圍； （2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值． 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，結(jié)合|x1﹣x2|＝4可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． （1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+（

43、4m+1）＝0有實(shí)數(shù)根， ∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0， 解得：m≤2． （2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1.x2， ∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16， 解得：m＝1． 39. （2019?南京）某地計(jì)劃對(duì)矩形廣場(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)建改造．如圖，原廣場(chǎng)長(zhǎng)50m，寬40m，要求擴(kuò)充后的矩形廣場(chǎng)長(zhǎng)與寬的比為3：2．?dāng)U充區(qū)域的擴(kuò)建費(fèi)用每平方米30元，擴(kuò)建后在原廣場(chǎng)和擴(kuò)充區(qū)域都鋪設(shè)地磚，鋪設(shè)地磚費(fèi)用每平方米100元．如果計(jì)劃總費(fèi)用642000元，擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別是多少米？

44、 【答案】擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為90m，寬為60m． 【解析】設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為3xm，寬為2xm，根據(jù)矩形的面積公式和總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量列出方程并解答．設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為3xm，寬為2xm， 依題意得：3x?2x?100+30（3x?2x﹣50×40）＝642000 解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）． 所以3x＝90，2x＝60 40. （2019?山東省德州市 ）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館60

45、8人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同． （1）求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率； （2）因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不超過500人次，在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率 不變的條件下，校圖書館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，并說明理由． 【答案】見解析。 【解析】一元二次方程應(yīng)用。先分別表示出第二個(gè)月和第三個(gè)月的進(jìn)館人次，再根據(jù)第一個(gè)月的進(jìn)館人次加第二和第三個(gè)月的進(jìn)館人次等于608，列方程求解；根據(jù)所計(jì)算出的月平均增長(zhǎng)率，計(jì)算出第四個(gè)月的進(jìn)館人次，再與500比較大小即可． （1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，則由題意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2＝608 化簡(jiǎn)得：4x2+12x﹣7＝0 ∴（2x﹣1）（2x+7）＝0， ∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍） 答：進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%． （2）∵進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%， ∴第四個(gè)月的進(jìn)館人次為：128（1+50%）3＝128×＝432＜500 答：校圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次． 19