2020年中考數(shù)學必考考點 專題25 圓的問題（含解析）

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1、專題25 圓的問題 專題知識回顧 一、與圓有關的概念與規(guī)律 1．圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。 2.圓的性質(zhì)：（1）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；（2）圓具有軸對稱性；（3）圓具有中心對稱性。 3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。 4．推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧． 5．圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。 6．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的

2、弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。 7.圓周角：頂點在圓周上，并且兩邊分別與圓相交的角叫做圓周角。 8.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 9．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 10. 點和圓的位置關系： ① 點在圓內(nèi)點到圓心的距離小于半徑 ② 點在圓上點到圓心的距離等于半徑 ③ 點在圓外點到圓心的距離大于半徑 11. 過三點的

3、圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。 12. 外接圓和外心：經(jīng)過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。 外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心是三角形三條邊垂直平分線的交點。外心到三角形三個頂點的距離相等。 13．若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。 14．圓內(nèi)接四邊形的特征： ①圓內(nèi)接四邊形的對角互補； ②圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)對角。 15.直線與圓有3種位置關系： 如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么 ① 直線和⊙O相交； ② 直線和⊙O相切； ③ 直線和⊙O相離。

4、16.和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。內(nèi)心是三角形三個角的角平分線的交點。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。 17.切線的性質(zhì) （1）經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 （2）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。 （3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。 18.切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 19.切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，并且圓心和這一點的連線平分兩條切 線的夾角。 20．設圓的半徑為，圓的半徑為，兩個圓的圓心距，則： 兩圓外離 ； 兩圓外切 ； 兩圓相交 ； 兩圓內(nèi)

5、切 ； 兩圓內(nèi)含 21.圓中幾個關鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化 弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到. 22.與圓有關的公式 設圓的周長為r，則： （1）求圓的直徑公式d=2r （2）求圓的周長公式 C=2πr （3）求圓的面積公式S=πr2 二、解題要領 1.判定切線的方法： （1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時可通過計算結(jié)合相似、勾股定理證垂直； （2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線； 總而言之，要完成

6、兩個層次的證明： ①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）； ②直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線. 2.與圓有關的計算： 計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結(jié)合，形式復雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學思想方法有： （1）構造思想：①構建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構建“射影定理”基本

7、圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；③構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函數(shù). （2）方程思想：設出未知數(shù)表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關系建立方程，解決問題。 （3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關系。 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019?山東省濱州市）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，若∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為（　?。? A．

8、60° B．50° C．40° D．20° 【答案】B 【解析】考點是圓周角定理。本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出圓周角是解答此題的關鍵．連接AD，先根據(jù)圓周角定理得出∠A及∠ADB的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 連接AD， ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°． ∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°， ∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°． 【例題2】（2019?南京）如圖，PA.PB是⊙O的切線，A.B為切點，點C.D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A+∠C＝　 ?。? 【答案】219°． 【解析】連接AB，根據(jù)切線

9、的性質(zhì)得到PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到結(jié)論． 連接AB， ∵PA.PB是⊙O的切線，∴PA＝PB， ∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°， ∵∠DAB+∠C＝180°， ∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219° 【例題3】（2019?甘肅武威）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在BC邊上，⊙D經(jīng)過點A和點B且與BC邊相交于點E． （1）求證：AC是⊙D的切線； （2）若CE

10、＝2，求⊙D的半徑． 【答案】見解析。 【解析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵． （1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切線； 證明：連接AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AC是⊙D的切線； （2）連接AE，

11、推出△ADE是等邊三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到結(jié)論． 連接AE， ∵AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等邊三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°， ∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半徑AD＝2． 【例題4】（2019?江蘇蘇州）如圖，AE為的直徑，D是弧BC的中點BC與AD，OD分別交于點E，F(xiàn). （1）求證：； （2）求證：; （3）若，求的值. 【答案】見解析。 【解析】（1）證明：∵D為弧BC的中點，OD為的半徑 ∴

12、 又∵AB為的直徑 ∴∴ （2）證明：∵D為弧BC的中點 ∴∴∴ ∴,即 （3）解：∵， ∴ 設CD=，則DE=， 又∵∴ ∴,所以 又,∴ 即 專題典型訓練題 一、選擇題 1．(2019甘肅隴南)如圖，點A，B，S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的倍，則∠ASB的度數(shù)是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C． 【解析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 設圓心為0，連接OA.OB，如圖，先證明△OAB為等腰直角三角形得到∠AOB＝9

13、0°，然后根據(jù)圓周角定理確定∠ASB的度數(shù)． 設圓心為O，連接OA.OB，如圖， ∵弦AB的長度等于圓半徑的倍， 即AB＝OA， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB為等腰直角三角形，∠AOB＝90°， ∴∠ASB＝∠AOB＝45°． 2.（2019?山東省聊城市）如圖，BC是半圓O的直徑，D，E是上兩點，連接BD，CE并延長交于點A，連接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度數(shù)為（　?。? A．35° B．38° C．40° D．42° 【答案】C． 【解析】考點是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)。連接CD，由圓周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90

14、°﹣∠A＝20°，再由圓周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可， 連接CD，如圖所示： ∵BC是半圓O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40° 3.（2019?廣西貴港）如圖，AD是⊙O的直徑，＝，若∠AOB＝40°，則圓周角∠BPC的度數(shù)是（　?。? A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B． 【解析】根據(jù)圓周角定理即可求出答案． ∵＝，∠AOB＝40°， ∴∠COD＝∠AOB＝40°， ∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°， ∴∠BOC＝100°， ∴∠BPC

15、＝∠BOC＝50° 4.（2019?湖北天門）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E，連接BD．下列結(jié)論：①CD是⊙O的切線；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【答案】A 【解析】本題主要考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用是解答此題的關鍵． 連結(jié)DO． ∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，∴∠CBO＝90°， ∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO

16、＝∠COD． 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB． 在△COD和△COB中，， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． 又∵點D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切線；故①正確， ∵△COD≌△COB，∴CD＝CB， ∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB， 即CO⊥DB，故②正確； ∵AB為⊙O的直徑，DC為⊙O的切線，∴∠EDO＝∠ADB＝90°， ∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO， ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE， ∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正確；

17、 ∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴， ∵OD＝OB， ∴ED?BC＝BO?BE，故④正確. 5.（2019?山東省德州市 ）如圖，點O為線段BC的中點，點A，C，D到點O的距離相等，若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（　?。? A．130° B．140° C．150° D．160° 【答案】B． 【解析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求出所求角的度數(shù)．由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示， ∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝40°

18、，∴∠ADC＝140° 6.（2019湖南益陽）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點分別為A、B，PO交AB于點C，PO的延長線交圓O于點D，下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 【答案】D． 【解析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了切線長定理、垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)． 先根據(jù)切線長定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OP⊥AB，根據(jù)菱形的性質(zhì)，只有當AD∥PB，BD∥PA時，AB平分PD，由此可判斷D不一定成立． ∵PA，PB是⊙O的切線， ∴P

19、A＝PB，所以A成立； ∠BPD＝∠APD，所以B成立； ∴AB⊥PD，所以C成立； ∵PA，PB是⊙O的切線， ∴AB⊥PD，且AC＝BC， 只有當AD∥PB，BD∥PA時，AB平分PD，所以D不一定成立． 7.（2019?廣東廣州）平面內(nèi)，⊙O的半徑為1，點P到O的距離為2，過點P可作⊙O的切線條數(shù)為（　　） A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條 【答案】C． 【解析】此題主要考查了對點與圓的位置關系，切線的定義，切線就是與圓有且只有1個公共點的直線，理解定義是關鍵． 先確定點與圓的位置關系，再根據(jù)切線的定義即可直接得出答案． ∵⊙O的半徑為1，點P到圓心O的距離

20、為2， ∴d＞r， ∴點P與⊙O的位置關系是：P在⊙O外， ∵過圓外一點可以作圓的2條切線。 8．（2019?山東泰安）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝119°，過點C的圓的切線交BO于點P，則∠P的度數(shù)為（　?。? A．32° B．31° C．29° D．61° 【答案】A． 【解析】連接OC、CD，由切線的性質(zhì)得出∠OCP＝90°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果． 如圖所示：連接OC、CD， ∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥OC，∴∠OC

21、P＝90°， ∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°， ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°， ∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°， ∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32° 9．(2019?湖南益陽)如圖，PA、PB為圓O的切線，切點分別為A、B，PO交AB于點C，PO的延長線交圓O于點D，下列結(jié)論不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 【答案】D 【解析】先根據(jù)切線長定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OP⊥AB，根據(jù)菱形的性質(zhì)，只有當AD∥PB，BD∥PA時，

22、AB平分PD，由此可判斷D不一定成立． ∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，所以A成立； ∠BPD＝∠APD，所以B成立； ∴AB⊥PD，所以C成立； ∵PA，PB是⊙O的切線，∴AB⊥PD，且AC＝BC， 只有當AD∥PB，BD∥PA時，AB平分PD，所以D不一定成立．故選D． 10. (2019湖北荊門)如圖，△ABC內(nèi)心為I，連接AI并延長交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關系是（　?。? A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不確定 【答案】A． 【解析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角

23、形頂點的連線平分這個內(nèi)角．也考查了三角形的外接圓和圓周角定理． 連接BI，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根據(jù)圓周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性質(zhì)和角度的代換證明∠4＝∠DBI，從而可判斷DI＝DB． 連接BI，如圖， ∵△ABC內(nèi)心為I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6， ∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2， ∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5， 即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB． 二、填空題 11.（2019廣西北部灣）《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉.在《九章算術》中記載有一問題：“今

24、有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為 寸. 【答案】26. 【解析】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，設⊙O的半徑為r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，則有r2=52+(r-1)2，解方程即可． 設⊙O的半徑為r． 在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r， 則有r2=52+(r-1)2， 解得r=13， ∴⊙O的直徑為26寸。 12. (2019黑龍江綏化)半徑為5的¤O是銳角三角形A

25、BC的外接圓,AB＝AC,連接OB,OC,延長CO交弦AB于點D.若△OBD是直角三角形,則弦BC的長為______. 【答案】 【解析】∵△OBD為直角三角形,∴分類討論:如圖,當∠BOD＝90°時,∠BOC＝90°,在Rt△BOC中,BO＝OC＝5,∴BC＝;當∠ODB＝90°時,∵OB＝OC,設∠OBC＝∠OCB＝x,∴∠BOD＝2x,∠BOC＝180°－2x,∴∠ABO＝90°－2x,∠ABC＝∠ACB＝90°－x,∴∠A＝2x,∵∠BOC＝2∠A,即180－2x＝2×2x,∴x＝30°,∴∠BOC＝120°,∵OB＝OC＝5,∴BC＝.綜上所述,BC的長度為 13. （20

26、19山東東營）如圖，AC是⊙O的弦，AC=5，點B是⊙O 上的一個動點，且∠ABC=45°，若點M、N分別是 AC、BC的中點，則 MN的最大值是____________． 【答案】 【解析】∵MN是△ABC的中位線，∴MN=AB． 當AB為⊙O的直徑時，AB有最大值，則MN有最大值． 當AB為直徑時，∠ACB=90°， ∵∠ABC=45°，AC=5，∴AB=， ∴MN=． 14.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，點D在圓上，且∠ADC＝30°，則∠AOB的度數(shù)為________． 【答案】60°. 【解析】∵OA⊥BC，∴ ，∴∠AO

27、B＝2∠ADC, ∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°. 15.（2019江蘇常州）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，∠AOC＝120°，則∠CDB＝　 　°． 【答案】30 【解析】∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CDB=12∠BOC＝30°． 16.（2019四川省雅安市）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，∠CBD=21°，則 ∠A的度數(shù)為_______. 【答案】69° 【解析】∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=21°，∴∠D=69°，∴∠A=∠D=69°． 17.(2019安徽)

28、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點D，若⊙O的半徑為2， 則CD的長為　 ?。? 【答案】． 【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵． 連接CO并延長交⊙O于E，連接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論． 連接CO并延長交⊙O于E，連接BE， 則∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°， ∵⊙O的半徑為2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2， ∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝ 18.（2019?江蘇泰州）如圖，⊙O的半

29、徑為5，點P在⊙O上，點A在⊙O內(nèi)，且AP＝3，過點A作AP的垂線交⊙O于點B.C．設PB＝x，PC＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)表達式為　 ?。? 【答案】y＝x． 【解析】連接PO并延長交⊙O于D，連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 連接PO并延長交⊙O于D，連接BD， 則∠C＝∠D，∠PBD＝90°， ∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD， ∴△PAC∽△PBD，∴， ∵⊙O的半徑為5，AP＝3，PB＝x，PC＝y(tǒng)， ∴＝，∴y＝x 19.（2019?山東省濟寧市 ）如圖

30、，O 為Rt△ ABC 直角邊 AC 上一點，以 OC 為半徑的⊙O 與斜邊 AB 相切于點 D，交 OA 于點 E，已知 BC＝，AC＝3．則圖中陰影部分的面積是 ． 【答案】 ． 【解析】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長定理以及勾股定理的運用，熟記和圓有關的各種性質(zhì)定理是解題的關鍵． 在Rt△ ABC 中，∵BC＝，AC＝3． ∴AB＝ ＝2 ， ∵BC⊥OC，∴BC 是圓的切線， ∵⊙O 與斜邊 AB 相切于點 D，∴BD＝BC， ∴AD＝AB﹣BD＝2 ﹣ ＝ ； 在 Rt△ ABC 中，∵sinA＝＝ ＝ ，∴∠A＝30°， ∵⊙O 與斜邊 AB 相切

31、于點 D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°， ∵ ＝tanA＝tan30°，∴ ＝ ，∴OD＝1， ∴S 陰影＝＝ ． 20.（2019?湖北省鄂州市）如圖，在平面直角坐標系中，已知C（3，4），以點C為圓心的圓與y軸相切．點A、B在x軸上，且OA＝OB．點P為⊙C上的動點，∠APB＝90°，則AB長度的最大值為　 　． 【答案】16． 【解析】連接OC并延長，交⊙C上一點P，以O為圓心，以OP為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時AB的長度最大， ∵C（3，4），∴OC＝＝5， ∵以點C為圓心的圓與y軸相切．∴⊙C的半徑為3，∴OP＝OA＝OB＝8， ∵AB是

32、直徑，∴∠APB＝90°，∴AB長度的最大值為16。 三、解答題 21.（2019?南京）如圖，⊙O的弦AB.CD的延長線相交于點P，且AB＝CD．求證：PA＝PC． 【答案】見解析。 【解析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵． 連接AC，由圓心角、弧、弦的關系得出＝，進而得出＝，根據(jù)等弧所對的圓周角相等得出∠C＝∠A，根據(jù)等角對等邊證得結(jié)論． 證明：連接AC， ∵AB＝CD，∴＝， ∴+＝+，即＝， ∴∠C＝∠A，∴PA＝PC． 22.（2019?湖南株洲）四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形，線段AB是⊙

33、O的直徑，連結(jié)AC.BD．點H是線段BD上的一點，連結(jié)AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延長線與CD的延長線相交與點P． （1）求證：四邊形ADCH是平行四邊形； （2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1） ①求證：△DHC為等腰直角三角形； ②求CH的長度． 【答案】見解析。 【解析】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，求CD的長度是本題的關鍵． （1）由圓周角的定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠ACH，可證AD∥CH，由一組對邊平行且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形ADCH是平行四邊形；

34、 （2）①由平行線的性質(zhì)可證∠ADH＝∠CHD＝90°，由∠CDB＝∠CAB＝45°，可證△DH 為等腰直角三角形； ②通過證明△ADP∽△CBP，可得，可得，通過證明△CHD∽△ACB，可得，可得AB＝CD，可求CD＝2，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CH的長度． 證明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD ∴∠DAC＝∠ACH,∴AD∥CH，且AD＝CH ∴四邊形ADCH是平行四邊形 （2）①∵AB是直徑 ∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC ∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45° ∵AD∥CH ∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB

35、＝45° ∴∠CDB＝∠DCH＝45°,∴CH＝DH，且∠CHD＝90° ∴△DHC為等腰直角三角形； ②∵四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P,∴△ADP∽△CBP ∴，且PB＝PD， ∴，AD＝CH，∴ ∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB ∴,∴AB＝CD ∵AB+CD＝2（+1）,∴CD+CD＝2（+1） ∴CD＝2，且△DHC為等腰直角三角形,∴CH＝ 23.（2019?廣西池河）如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，CF與⊙O相切于點C，交AB延長線于點F． （1）若AE＝DC，∠E＝∠

36、BCD，求證：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的長． 【答案】見解析。 【解析】（1）由圓心角、弧、弦之間的關系得出，由圓周角定理得出∠ADE＝∠DBC，證明△ADE≌△DBC，即可得出結(jié)論； 證明：∵AE＝DC，∴，∴∠ADE＝∠DBC， 在△ADE和△DBC中，， ∴△ADE≌△DBC（AAS），∴DE＝BC； （2）連接CO并延長交AB于G，作OH⊥AB于H，則∠OHG＝∠OHB＝90°，由切線的性質(zhì)得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝OH，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠OBH＝30°，由直角三

37、角形的性質(zhì)得出OH＝OB＝1，OG＝，即可得出答案． 連接CO并延長交AB于G，作OH⊥AB于H，如圖所示： 則∠OHG＝∠OHB＝90°， ∵CF與⊙O相切于點C，∴∠FCG＝90°， ∵∠F＝45°，∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，∴CF＝CG，OG＝OH， ∵AB＝BD＝DA，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠OBH＝30°， ∴OH＝OB＝1，∴OG＝，∴CF＝CG＝OC+OG＝2+． 24.（2019?甘肅）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，切線DE交AC于點E． （1）求證：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8

38、，DE＝5，求BC的長． 【答案】見解析。 【解析】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型． （1）只要證明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解決問題。 證明：連接OD， ∵DE是切線，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°， ∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A． （2）首先證明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，設BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102

39、，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解決問題．連接CD． ∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE， ∵BC是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切線，∴ED＝EC，∴AE＝EC， ∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10， 在Rt△ADC中，DC＝6， 設BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102， ∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝， ∴BC＝＝． 25.（2019?湖北省咸寧市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點E，F(xiàn)兩點，過點F作FG⊥AB

40、于點G． （1）試判斷FG與⊙O的位置關系，并說明理由． （2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的長． 【答案】見解析。 【解析】（1）如圖，連接OF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到結(jié)論。FG與⊙O相切， 理由：如圖，連接OF， ∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB， ∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°， ∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG與⊙O相切。 （2）連接DF，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝4，根據(jù)圓周角定理得到∠DFC＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．連接DF， ∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4， ∵CD為⊙O的直徑，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC， ∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2， ∵sin∠ABC＝， 即＝，∴FG＝． 24