2020年中考數(shù)學必考考點 專題11 一次函數(shù)（含解析）

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1、專題11 一次函數(shù) 專題知識回顧 1．一次函數(shù)的定義 一般地，形如（，是常數(shù)，且）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x是自變量。 2．一次函數(shù)的圖像：是不經(jīng)過原點的一條直線。 3．一次函數(shù)的性質： （1）當k>0時，圖象主要經(jīng)過第一、三象限；此時，y隨x的增大而增大； （2）當k<0時，圖象主要經(jīng)過第二、四象限，此時，y隨x的增大而減小； （3）當b>0時，直線交y軸于正半軸； （4）當b<0時，直線交y軸于負半軸。 4. 用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟： （1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關系式； （2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個

2、點的坐標代入上述函數(shù)關系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程； （3）解方程得出未知系數(shù)的值； （4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關系式中得出所求函數(shù)的解析式. 5．一正比例函數(shù)的定義 一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù)． 6.正比例函數(shù)的圖像：是經(jīng)過原點的一條直線。 7．正比例函數(shù)的性質 （1）當k>0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，y隨x的增大而增大； （2）當k<0時，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。? 8．正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關系 一次函數(shù)y=kx＋

3、b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移） 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019貴州省畢節(jié)市）已知一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則下列結論正確的是（　?。? A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0 【答案】B． 【解析】y＝kx+b的圖象經(jīng)過一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0；故選：B． 【例題2】（2019?江蘇無錫）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關于x的不等式3kx﹣b＞0的解集為　

4、 ?。? 【答案】x＜2． 【解析】直接利用圖象把（﹣6，0）代入，進而得出k，b之間的關系，再利用一元一次不等式解法得出答案． ∵圖象過（﹣6，0），則0＝﹣6k+b， 則b＝6k， 故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0， ∵k＜0， ∴x﹣2＜0， 解得：x＜2． 【例題3】（2019?上海）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知一次函數(shù)的圖象平行于直線y＝x，且經(jīng)過點A（2，3），與x軸交于點B． （1）求這個一次函數(shù)的解析式； （2）設點C在y軸上，當AC＝BC時，求點C的坐標． 【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為y＝x+2； （2）點C的坐標是（0，﹣）．

5、 【解析】設一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，解方程即可得到結論； 求得一次函數(shù)的圖形與x軸的解得為B（﹣4，0），根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結論． （1）設一次函數(shù)的解析式為：y＝kx+b， ∵一次函數(shù)的圖象平行于直線y＝x， ∴k＝， ∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（2，3）， ∴3＝+b， ∴b＝2， ∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+2； （2）由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0， ∴x＝﹣4， ∴一次函數(shù)的圖形與x軸的解得為B（﹣4，0）， ∵點C在y軸上， ∴設點C的坐標為（0，y）， ∵AC＝BC， ∴＝， ∴y＝﹣， 經(jīng)檢驗：y＝﹣是原方程的根， ∴點

6、C的坐標是（0，﹣）． 專題典型訓練題 一、選擇題 1.（2019?江蘇揚州）若點P在一次函數(shù)的圖像上，則點P一定不在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】坐標系中，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，所以不經(jīng)過第三象限。 2.（2019廣西河池）函數(shù)的圖象不經(jīng)過　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】． 【解析】一次函數(shù)，，函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限， ，函數(shù)圖象與軸負半軸相交， 函數(shù)圖象經(jīng)過第一三四象限，不經(jīng)過第二象限．故選：．

7、3.（2019年陜西?。τ谡壤瘮?shù)，當自變量x的值增加1時，函數(shù)y的值增加（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為正比例函數(shù)，所以當自變量x的值增加1時，函數(shù)y的值減少2，故，當自變量x的值增加1時，函數(shù)y的值增加． 4.（2019年陜西?。┮阎淮魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點、，且時 ，則k等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，所以，， 因為當時，，所以當時，，即，解得． 5.（2019

8、廣西桂林）如圖，四邊形的頂點坐標分別為，，，，當過點的直線將四邊形分成面積相等的兩部分時，直線所表示的函數(shù)表達式為　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，，， ，， 四邊形分成面積， 可求的直線解析式為， 設過的直線為， 將點代入解析式得， 直線與該直線的交點為，， 直線與軸的交點為，， ， 或， ， 直線解析式為 6.（2019廣西梧州）直線向下平移2個單位，所得直線的解析式是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直線向下平移2個單位，所得直線的解析式是：． 7.（2019湖南邵陽）一次函數(shù)的圖象如圖所示，將直線向下平移若

9、干個單位后得直線，的函數(shù)表達式為．下列說法中錯誤的是　　 A． B． C． D．當時， 【答案】B 【解析】將直線向下平移若干個單位后得直線， 直線直線， ， 直線向下平移若干個單位后得直線， ， 當時， 8.（2019?浙江杭州）已知一次函數(shù)y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函數(shù)y1和y2的圖象可能是（　　） A B C D 【答案】A 【解析】根據(jù)直線①判斷出a、b的符號，然后根據(jù)a、b的符號判斷出直線②經(jīng)過的象限即可，做出判斷． A

10、.由①可知：a＞0，b＞0． ∴直線②經(jīng)過一、二、三象限，故A正確； B.由①可知：a＜0，b＞0． ∴直線②經(jīng)過一、二、三象限，故B錯誤； C.由①可知：a＜0，b＞0． ∴直線②經(jīng)過一、二、四象限，交點不對，故C錯誤； D.由①可知：a＜0，b＜0， ∴直線②經(jīng)過二、三、四象限，故D錯誤． 二、填空題 9.（2019?貴陽）在平面直角坐標系內(nèi)，一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象如圖所示，則關于x，y的方程組的解是　 ?。? 【答案】． 【解析】利用方程組的解就是兩個相應的一次函數(shù)圖象的交點坐標求解． ∵一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b

11、2的圖象的交點坐標為（2，1）， ∴關于x，y的方程組的解是． 10.（2019貴州黔西南州）如圖所示，一次函數(shù)y＝ax+b（a、b為常數(shù)，且a＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，1），則不等式ax+b＜1的解集為　 ?。? 【答案】x＜4 【解析】函數(shù)y＝ax+b的圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點A（4，1），且函數(shù)值y隨x的增大而增大， 故不等式ax+b＜1的解集是x＜4． 11.（2019湖南郴州）某商店今年6月初銷售純凈水的數(shù)量如下表所示： 日期 1 2 3 4 數(shù)量（瓶） 120 125 130 135 觀察此表，利用所學函數(shù)知識預測今年6月7日該商店銷售純

12、凈水的數(shù)量約為　 　瓶． 【答案】150 【解析】這是一個一次函數(shù)模型，設y＝kx+b，則有k+b=1202k+b=125， 解得k=5b=115， ∴y＝5x+115， 當x＝7時，y＝150， ∴預測今年6月7日該商店銷售純凈水的數(shù)量約為150瓶。 12.（2019山東東營）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=x和y=－x的圖象分別為直線l1，l2，過l1上的點A1（1，）作x軸的垂線交l2于點A2，過點A2作y軸的垂線交l1于點A3，過點A3作x軸的垂線交l2于點A4，…依次進行下去，則點A2019的橫坐標為____________． 【答案】－31009

13、【解析】從簡單的入手，分別求出A2到A9的橫坐標，找出循環(huán)，依此規(guī)律結合2019=504×4+3即可找出點A2019的坐標． 當x=1時，y=－x=－，∴A2（1，－）；當y=x=－，x=－3，∴A3（－3，－）；當x=－3時，y=－x=3，∴A4（－3，3）；當y=x=3時，x=9，∴A5（9，3）；同理可得A6（9，－9），A7（－27，－9），A8（－27，27），A9（81，27），…，∴A4n+1（32n，32n×），A4n+2（32n，－32n×），A4n+3（－32n+1，－32n+1×），A4n+4（－32n+1，32n+1×），（n為自然數(shù)）．∵2019=504×4+3，∴

14、點A2019的橫坐標為－32×504+1=－31009． 13.（2019遼寧本溪）函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過的象限是 . 【答案】一、三. 【解析】函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過一三象限， 故答案為一、三. 14.（2019江蘇徐州）函數(shù)y＝x＋1的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C在x軸上，若△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C共有_________個. 【答案】4 【解析】本題解答時要分類討論.作AB的垂直平分線，交于坐標原點，△OAB為等腰三角形；以B為圓心BA長為半徑交x軸于C2，△C2AB為等腰三角形，以A為圓心，AB長

15、為半徑，交x軸于C3，C4，則△C3AB，△C4AB為等腰三角形，所以滿足條件的C點的有4個. 三、解答題 15.（2019?河北）長為300m的春游隊伍，以v（m/s）的速度向東行進，如圖1和圖2，當隊伍排尾行進到位置O時，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均為2v（m/s），當甲返回排尾后，他及隊伍均停止行進．設排尾從位置O開始行進的時間為t（s），排頭與O的距離為S頭（m）． （1）當v＝2時，解答： ①求S頭與t的函數(shù)關系式（不寫t的取值范圍）； ②當甲趕到排頭位置時，求S的值；在甲從排頭返回到排尾過程中，設甲與位置O的距離為S甲（m），

16、 求S甲與t的函數(shù)關系式（不寫t的取值范圍） （2）設甲這次往返隊伍的總時間為T（s），求T與v的函數(shù)關系式（不寫v的取值范圍），并寫出隊伍在此過程中行進的路程． 【答案】見解析。 【解析】（1）①排尾從位置O開始行進的時間為t（s），則排頭也離開原排頭t（s）， ∴S頭＝2t+300 ②甲從排尾趕到排頭的時間為300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s， 此時S頭＝2t+300＝600 m 甲返回時間為：（t﹣150）s ∴S甲＝S頭﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200； 因此，S頭與t的函數(shù)關系式為S頭＝2t+300，當甲趕到排

17、頭位置時，求S的值為600m，在甲從排頭返回到排尾過程中，S甲與t的函數(shù)關系式為S甲＝﹣4t+1200． （2）T＝t追及+t返回＝+＝， 在甲這次往返隊伍的過程中隊伍行進的路程為： v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v； 因此T與v的函數(shù)關系式為：T＝，此時隊伍在此過程中行進的路程為（400﹣150v）m． 16.（2019?河南）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元． （1）求A，B兩種獎品的單價； （2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B

18、獎品數(shù)量的．請設計出最省錢的購買方案，并說明理由． 【答案】見解析。 【解析】（1）設A的單價為x元，B的單價為y元， 根據(jù)題意，得 ， ∴， ∴A的單價30元，B的單價15元； （2）設購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費為W元， 由題意可知，z≥（30﹣z）， ∴z≥， W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z， 當z＝8時，W有最小值為570元， 即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少。 17.（2019?浙江湖州）某校的甲、乙兩位老師同住一小區(qū)，該小區(qū)與學校相距2400米．甲從小區(qū)步行去學校，出發(fā)10分鐘后乙再出發(fā)，乙從小區(qū)先

19、騎公共自行車，途經(jīng)學校又騎行若干米到達還車點后，立即步行走回學校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分鐘快5米．設甲步行的時間為x（分），圖1中線段OA和折線B﹣C﹣D分別表示甲、乙離開小區(qū)的路程y（米）與甲步行時間x（分）的函數(shù)關系的圖象；圖2表示甲、乙兩人之間的距離s（米）與甲步行時間x（分）的函數(shù)關系的圖象（不完整）． 根據(jù)圖1和圖2中所給信息，解答下列問題： （1）求甲步行的速度和乙出發(fā)時甲離開小區(qū)的路程； （2）求乙騎自行車的速度和乙到達還車點時甲、乙兩人之間的距離； （3）在圖2中，畫出當25≤x≤30時s關于x的函數(shù)的大致圖象．（溫馨提示：請畫在答題卷相對應的圖上）

20、【答案】見解析。 【解析】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質和數(shù)形結合的思想解答． （1）由圖可得， 甲步行的速度為：2400÷30＝80（米/分）， 乙出發(fā)時甲離開小區(qū)的路程是10×80＝800（米）， 答：甲步行的速度是80米/分，乙出發(fā)時甲離開小區(qū)的路程是800米； （2）設直線OA的解析式為y＝kx， 30k＝2800，得k＝80， ∴直線OA的解析式為y＝80x， 當x＝18時，y＝80×18＝1440， 則乙騎自行車的速度為：1440÷（18﹣10）＝180（米/分）， ∵乙騎自行車的時間為：25﹣10＝15（分鐘）， ∴乙

21、騎自行車的路程為：180×15＝2700（米）， 當x＝25時，甲走過的路程為：80×25＝2000（米）， ∴乙到達還車點時，甲乙兩人之間的距離為：2700﹣2000＝700（米）， 答：乙騎自行車的速度是180米/分，乙到達還車點時甲、乙兩人之間的距離是700米； （3）乙步行的速度為：80﹣5＝75（米/分）， 乙到達學校用的時間為：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分）， 當25≤x≤30時s關于x的函數(shù)的大致圖象如右圖所示． 18.（2019北京市） 在平面直角坐標系中，直線l：與直線，直線分別交于點A，B，直線與直線交于點． （1）求直線與軸的交點坐標；

22、 （2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．記線段圍成的區(qū)域（不含邊界）為． ①當時，結合函數(shù)圖象，求區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)； ②若區(qū)域內(nèi)沒有整點，直接寫出的取值范圍． 【答案】見解析。 【解析】（1）當時，由；∴直線與軸的交點坐標為. （2）①如下圖，當k=2時，直線：，把代入直線，則.∴； 把代入直線， ∴， ∴. . 畫出函數(shù)的圖象及直線 ，直線組成的區(qū)域， 顯然區(qū)域中整數(shù)點有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；顯然區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)有6個. ② 由類似①分析圖象知區(qū)域內(nèi)沒有整點時有或. 19. （2019黑龍江省龍東地

23、區(qū)）小明放學后從學?；丶遥霭l(fā)5分鐘時，同桌小強發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學作業(yè)卷忘記拿了，立即拿著數(shù)學作業(yè)卷按照同樣的路線去追趕小明．小強出發(fā)10分鐘時，小明才想起沒拿數(shù)學作業(yè)卷，馬上以原速原路返回，在途中與小強相遇．兩人離學校的路程y（米）與小強所用時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示． （1）求函數(shù)圖象中a的值； （2）求小強的速度； （3）求線段AB的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍． 【答案】見解析。 【解析】對于（1），結合圖象，全面、仔細分析運動對象和運動過程，（0,300）這個點的含義是：小明出發(fā)5分鐘時，離學校300米，此時小強出發(fā).由此可知小明離開學校后的速度.點A（10

24、，a）的含義是：小強出發(fā)10分鐘后，小明離學校a米，此時小明運動的時間為10+5=15分鐘，結合以上兩個條件，可以求出a的值；對于（2），小強出發(fā)12分鐘后與小明相遇，此時小明運動了15+2=17分鐘，其中最后兩分鐘是折返后的行程，由此可計算出兩人相遇地點與學校之間的距離，再根據(jù)小強運動到相遇地點所用的時間，即可計算出小強的速度；對于（3），先確定點B的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出線段AB的函數(shù)解析式. 【解題過程】（1）a==900 （2）小明的速度為300÷5=60（米/分） 小強的速度為（900-60×2）÷12=65（米/分） （3）由題意得B（12,780） 設AB所在直

25、線的解析式為y=kx+b(k≠0), 把A（10,900），B（12,780）代入得：，解得， ∴線段AB的解析式為y=-60x+1500，(10≤x≤12) 20.（2019?貴州省安順市）安順市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量y（千元）與每千元降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示： （1）求y與x之間的函數(shù)關系式； （2）商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元？ 【答案】見解析。 【解析】（1）設一次函數(shù)解析式為：y＝kx+b

26、 當x＝2，y＝120；當x＝4，y＝140； ∴， 解得：， ∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝10x+100； （2）由題意得： （60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090， 整理得：x2﹣10x+9＝0， 解得：x1＝1．x2＝9， ∵讓顧客得到更大的實惠， ∴x＝9， 答：商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價9元． 21．（2019?衢州）定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（a，b），B（c，d），若點T（x，y）滿足x＝，y＝那么稱點T是點A，B的融合點． 例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），當點T（x，y）滿足x＝＝1，y＝＝2時，

27、則點T（1，2）是點A，B的融合點． （1）已知點A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），請說明其中一個點是另外兩個點的融合點． （2）如圖，點D（3，0），點E（t，2t+3）是直線l上任意一點，點T（x，y）是點D，E的融合點． ①試確定y與x的關系式． ②若直線ET交x軸于點H．當△DTH為直角三角形時，求點E的坐標． 【答案】見解析。 【解析】x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解； ①由題意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三種情況，分別求解即可． （1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4， 故點C是點A、B的融合點； （2）①由題意得：x＝（t+3），y＝（2t+3）， 則t＝3x﹣3， 則y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1； ②當∠DHT＝90°時，如圖1所示， 設T（m，2m﹣1），則點E（m，2m+3）， 由點T是點D，E的融合點得：m＝， 解得：m＝，即點E（，6）； 當∠TDH＝90°時，如圖2所示， 則點T（3，5）， 由點T是點D，E的融合點得：點E（6，15）； 當∠HTD＝90°時，該情況不存在； 故點E（，6）或（6，15）． 17