2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題21 菱形（含解析）

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1、專題21 菱形 專題知識(shí)回顧 1．菱形的定義 ：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 2.菱形的性質(zhì)：（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 3.菱形的判定定理： （1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； （2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形； （3）四條邊相等的四邊形是菱形。 4．菱形的面積：S菱形=底邊長×高=兩條對(duì)角線乘積的一半 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019內(nèi)蒙古赤峰）如圖，菱形ABCD周長為20，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，則OE的長是（　?。? A

2、．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵四邊形ABCD為菱形， ∴CD＝BC=204=5，且O為BD的中點(diǎn)， ∵E為CD的中點(diǎn)， ∴OE為△BCD的中位線， ∴OE=12CB＝2.5 【例題2】（2019廣西梧州）如圖，在菱形中，，，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，則的長是　?。? 【答案】 【解析】連接交于，如圖所示： 四邊形是菱形， ，，，，， ， ， ， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，， ， 四邊形是菱形，， ， ，， ，， 。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.（2019四川瀘州）

3、一個(gè)菱形的邊長為6，面積為28，則該菱形的兩條對(duì)角線的長度之和為（　?。? A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】 【解析】如圖所示： ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AO＝CO=12AC，DO＝BO=12BD，AC⊥BD， ∵面積為28， ∴12AC?BD＝2OD?AO＝28 ① ∵菱形的邊長為6， ∴OD2+OA2＝36 ②， 由①②兩式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD?AO＝36+28＝64． ∴OD+AO＝8， ∴2（OD+AO）＝16，即該菱形的兩條對(duì)角線的長度之和為16． 2.(2019?四川省綿陽市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O

4、ABC為菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，則對(duì)角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F， ∵四邊形OABC為菱形，∠AOC=60°， ∴=30°，∠FAE=60°， ∵A（4，0）， ∴OA=4， ∴=2， ∴，EF===， ∴OF=AO-AF=4-1=3， ∴． 3.（2019?四川省廣安市）如圖，在邊長為的菱形中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，現(xiàn)將△ABE沿直線AE翻折至△AFE的位置，AF與CD交于點(diǎn)G則CG等于（ ） A. B.1 C. D. . 【

5、答案】A 【解析】因?yàn)椤螧=30°，AB=，AE⊥BC， 所以BE=，所以EC=-， 則CF=3-， 又因?yàn)镃G∥AB， 所以, 所以CG=. 4.（2019四川省雅安市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AC、BD是對(duì)角線 ，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE，則四邊形EFGH的形狀是（ ） A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【解析】由點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD

6、，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH時(shí)，四邊形EFGH是菱形． ∵點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH時(shí)，四邊形EFGH是菱形，故選C． 5. （2019·貴州安順）如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖： ①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)； ②作直線MN，且MN恰好經(jīng)過點(diǎn)A，與CD交于點(diǎn)E，連接BE． 則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。? A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若AB＝4，則BE＝4 D．sin

7、∠CBE＝ 【答案】C 【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD， ∵四邊形ABCD為菱形， ∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE， 在Rt△ADE中，cosD＝＝， ∴∠D＝60°， ∴∠ABC＝60°，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確； ∵S△ABE＝AB?AE，S△ADE＝DE?AE， 而AB＝2DE， ∴S△ABE＝2S△ADE，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確； 若AB＝4，則DE＝2， ∴AE＝2， 在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤； 作EH⊥BC交BC的延長線于H，如圖， 設(shè)AB＝4a，則CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a， 在△CHE中

8、，∠ECH＝∠D＝60°， ∴CH＝a，EH＝a， ∴sin∠CBE＝＝＝，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確． 故選：C． 6.（2019·貴州貴陽）如圖所示，菱形ABCD的周長是4cm，∠ABC＝60°，那么這個(gè)菱形的對(duì)角線AC的長是（　?。? A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm 【答案】A 【解析】由于四邊形ABCD是菱形，AC是對(duì)角線，根據(jù)∠ABC＝60°，而AB＝BC，易證△BAC是等邊三角形，從而可求AC的長． ∵四邊形ABCD是菱形，AC是對(duì)角線， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC＝AC，

9、∵菱形ABCD的周長是4cm， ∴AB＝BC＝AC＝1cm． 7.（2019?貴州省銅仁市）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，則S△CEF＝（　?。? A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】∵四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠DAB＝60° ∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60° ∵CE＝CD，CF＝CB ∴CE＝CF＝ ∴△CEF為等邊三角形 ∴S△CEF＝＝ 8.（2019?河北?。┤鐖D，菱形ABCD中，∠D＝150°，則∠1＝（　?。? A．30° B．25° C．20°

10、D．15° 【答案】D． 【解答】∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝150°， ∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°， ∴∠1＝15° 二、填空題 9.（2019廣西北部灣）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交與點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，則AH= . 【答案】. 【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式，根據(jù)菱形面積=對(duì)角線積的一半可求AC，再根據(jù)勾股定理求出BC，然后由菱形的面積即可得出結(jié)果． ∵四邊形ABCD是菱形， ∴B

11、O=DO=4，AO=CO，AC⊥BD， ∴BD=8. ∵S菱形ABCD=AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=AC=3， ∴BC==5， ∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=. 10．（2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM＝AD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長度的最小值是　 ?。? 【答案】﹣1 【解析】過點(diǎn)M作MH⊥CD交CD延長線于點(diǎn)H，連接CM， ∵AM＝AD，AD＝CD＝3 ∴AM＝1，MD＝2 ∵CD∥AB， ∴∠HDM＝∠A＝6

12、0° ∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝ ∴CH＝4 ∴MC＝＝ ∵將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN， ∴AM＝A'M＝1， ∴點(diǎn)A'在以M為圓心，AM為半徑的圓上， ∴當(dāng)點(diǎn)A'在線段MC上時(shí)，A'C長度有最小值 ∴A'C長度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1 11．（2019湖南常德）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四 邊形為廣義菱形．根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊 形是廣義菱形；③對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N 的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，﹣1），P是二次函數(shù)y＝x2的圖

13、象上在第一象限內(nèi)的任意一 點(diǎn)，PQ垂直直線y＝﹣1于點(diǎn)Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形．其中正確的是　 ?。ㄌ? 序號(hào)） 【答案】①②④． 【解析】①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，①正確； ②平行四邊形有一組對(duì)邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯(cuò)誤； ③由給出條件無法得到一組對(duì)邊平行，③錯(cuò)誤； ④設(shè)點(diǎn)P（m，m2），則Q（m，﹣1）， ∴MP＝＝，PQ＝+1， ∵點(diǎn)P在第一象限， ∴m＞0， ∴MP＝+1， ∴MP＝PQ， 又∵M(jìn)N∥PQ， ∴四邊形PMNQ是廣義菱形． ④正確； 故答案為①②④． 12.（2019湖北十堰）如

14、圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為BC的中點(diǎn)，若OE＝3，則菱形的周長為　 　 　． 【答案】24 【解析】∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， ∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)， ∴OE是△BCD的中位線， ∴CD＝2OE＝2×3＝6， ∴菱形ABCD的周長＝4×6＝24 13.（2019北京市） 把圖1中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為_______． 【答案】12 【解析】設(shè)圖1中小直角三角形的兩直角邊長分別為a，b （a>b）； 則由圖2和圖3

15、列得方程組，由加減消元法得， ∴菱形的面積.故填12. 14．（2019遼寧撫順）如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，∠A＝60°，BD是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的弧，CD是以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑的弧，則陰影部分的面積為　 　cm2． 【答案】4． 【解析】連接BD，判斷出△ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝60°，再求出∠CBD＝60°，然后求出陰影部分的面積＝S△ABD，計(jì)算即可得解． 如圖，連接BD， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等邊三角形， ∴∠ABD＝60°， 又∵菱形的對(duì)邊AD∥BC，

16、 ∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠CBD＝120°﹣60°＝60°， ∴S陰影＝S扇形BDC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）， ＝S△ABD， ＝×4×＝4cm2． 三、解答題 15．（2019湖南岳陽）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AD、CD邊上的點(diǎn)，DE＝DF， 求證：∠1＝∠2． 【答案】見解析． 【解析】證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2． 16. （2019?海南?。┤鐖D，在邊長為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（

17、與點(diǎn)A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點(diǎn)Q． （1）求證：△PDE≌△QCE； （2）過點(diǎn)E作EF∥BC交PB于點(diǎn)F，連結(jié)AF，當(dāng)PB＝PQ時(shí)， ①求證：四邊形AFEP是平行四邊形； ②請(qǐng)判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由． 【解析】（1）由四邊形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中點(diǎn)知DE＝CE，結(jié)合∠DEP＝∠CEQ即可得證； （2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，結(jié)合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根據(jù)Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，從而得∠

18、PAF＝∠EPD，據(jù)此即可證得PE∥AF，從而得證； ②設(shè)AP＝x，則PD＝1﹣x，若四邊形AFEP是菱形，則PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得關(guān)于x的方程，解之求得x的值，從而得出四邊形AFEP為菱形的情況． 【解答】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°， ∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE， 又∵∠DEP＝∠CEQ， ∴△PDE≌△QCE（ASA）； （2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD， ∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE， ∵EF∥BQ，∴PF＝BF， ∴在Rt△PAB中，AF＝PF

19、＝BF， ∴∠APF＝∠PAF， ∴∠PAF＝∠EPD， ∴PE∥AF， ∵EF∥BQ∥AD， ∴四邊形AFEP是平行四邊形； ②當(dāng)AP＝時(shí)，四邊形AFEP是菱形． 設(shè)AP＝x，則PD＝1﹣x， 若四邊形AFEP是菱形，則PE＝PA＝x， ∵CD＝1，E是CD中點(diǎn)，∴DE＝， 在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝， 即當(dāng)AP＝時(shí)，四邊形AFEP是菱形． 17. （2019北京市）如圖1，在菱形ABCD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，BE=DF，連接EF． （1）求證：AC⊥EF； （2）如圖2，延長EF交CD

20、的延長線于點(diǎn)G，連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD=4，tanG=，求AO的長． 圖1 圖2 【答案】見解析。 【解析】由四邊形ABCD為菱形易得AB=AD，AC平分∠BAD，結(jié)合BE=DF，根據(jù)等腰△AEF中的三線合一，證得AC⊥EF.；菱形ABCD中有AC⊥BD，結(jié)合AC⊥EF得BD∥EF.進(jìn)而有；得出OA的值. （1）證明：∵四邊形ABCD為菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD ∵BE=DF ∴ ∴AE=AF ∴△AEF是等腰三角形 ∵AC平分∠BAD ∴AC⊥EF （2）解：∵菱形ABCD中有AC⊥BD，結(jié)合AC⊥EF. ∴BD∥EF. 又∵BD=4，tanG= ∴ ∴AO==OC=1. 15