2020年中考數(shù)學(xué)必考考點 專題31 軸對稱、 圖形的平移和旋轉(zhuǎn)（含解析）

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1、專題31 軸對稱、圖形的平移和旋轉(zhuǎn) 專題知識回顧 一、軸對稱 1．對稱軸：把一個圖形沿某條直線對折，如果它與另一個圖形重合，就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。 2．對稱軸圖形：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。 3．軸對稱的性質(zhì)： （1）關(guān)于某條直線成軸對稱的兩個圖形是全等形。 （2）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。 （3）兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。 （4）軸對稱圖形上對應(yīng)線段

2、相等、對應(yīng)角相等。 二、平移 1．平移：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。 2．對應(yīng)點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應(yīng)點。 3．平移的性質(zhì)： （1）平移前后兩個圖形的形狀、大小完全相同。 （2）平移前后兩個圖形的對應(yīng)點連接線段平行（或在同一直線上）且相等。 三、旋轉(zhuǎn) 1．旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。 2. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)： （1

3、）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等； （2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。 3．旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°，大于360°）。 4．中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。這個點就是它的對稱中心。 5．中心對稱的性質(zhì) （1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。 （2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。 （3）關(guān)于中心對稱的兩個圖

4、形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。 6．中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。這個點就是它的對稱中心。 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019山東東營）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（ ） 【答案】D 【解析】觀察圖形，選項D中圖形是軸對稱圖形，有3條對稱軸，其他圖形都不是軸對稱圖形．故選D． 【例題2】（2019?湖南邵陽）一次函數(shù)y1＝k1x+b1的圖象l1如圖所示，將直線l1向下平移若干個單位后得直線l2，l2的函數(shù)表達式為y2＝k2x+b2．下列說法中錯誤的是（　?。?/p>

5、 A．k1＝k2 B．b1＜b2 C．b1＞b2 D．當(dāng)x＝5時，y1＞y2 【答案】B． 【解析】本題考查圖形的平移變換和函數(shù)解析式之間的關(guān)系，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標左移加，右移減；縱坐標上移加，下移減．平移后解析式有這樣一個規(guī)律“左加右減，上加下減”．關(guān)鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關(guān)系． 根據(jù)兩函數(shù)圖象平行k相同，以及向下平移減即可判斷． ∵將直線l1向下平移若干個單位后得直線l2， ∴直線l1∥直線l2， ∴k1＝k2， ∵直線l1向下平移若干個單位后得直線l2， ∴b1＞b2， ∴當(dāng)x＝5時，

6、y1＞y2。 【例題3】(2019黑龍江綏化)下列圖形中,屬于中心對稱圖形的是( ) 【答案】C 【解析】繞某點旋轉(zhuǎn)180°能和原圖形重合,則這個圖形稱為中心對稱圖形,其中,A是軸對稱圖形,B旋轉(zhuǎn)120°的整數(shù)倍可以重合,D選項旋轉(zhuǎn)72°的整數(shù)倍可以重合,故選C. 【例題4】（2019遼寧本溪）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A B C D 【答案】B. 【解析】A選項，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，

7、故錯誤； B選項，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故正確； C選項，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故錯誤； D選項，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故錯誤， 故選B． 【例題5】（2019山東棗莊）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．若四邊形AECF的面積為20，DE＝2，則AE的長為（　?。? A．4 B．2 C．6 D．2 【答案】D． 【解析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進而可求出正方形的邊長，再利用勾股定理得出答案． ∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置．

8、 ∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于20， ∴AD＝DC＝2， ∵DE＝2， ∴Rt△ADE中，AE＝＝2 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.（2019?江蘇泰州）如圖圖形中的軸對稱圖形是（　?。? A．B．C．D． 【答案】B 【解析】本題考查的是軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可． A.不是軸對稱圖形；B.是軸對稱圖形；C.不是軸對稱圖形；D.不是軸對稱圖形。 2.（2019湖北宜昌）如下字體的四個漢字中，是軸對稱圖形的是（　　） A． B． C．

9、D． 【答案】D 【解析】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解． A.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； B.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C.不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D.是軸對稱圖形，故本選項正確． 3.（2019?湖南懷化）懷化是一個多民族聚居的地區(qū)，民俗文化豐富多彩．下面是幾幅具有濃厚民族特色的圖案，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解． A.是軸對稱圖形

10、，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； C.既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確； D.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤． 4.（2019山東棗莊）下列圖形，可以看作中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解． A.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意； B.是中心對稱圖形，故本選項符合題意； C.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意； D.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意． 5.（2019山東棗莊）在平面直角坐

11、標系中，將點A（1，﹣2）向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A′，則點A′的坐標是（　?。? A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】A 【解析】根據(jù)向左平移橫坐標減，向上平移縱坐標加求解即可． ∵將點A（1，﹣2）向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A′， ∴點A′的橫坐標為1﹣2＝﹣1，縱坐標為﹣2+3＝1， ∴A′的坐標為（﹣1，1）． 6.（2019山東棗莊）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9．若AA′＝1，則A′D等于（

12、　?。? A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B． 【解析】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點． 由S△ABC＝16.S△A′EF＝9且AD為BC邊的中線知S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，根據(jù)△DA′E∽△DAB知（）2＝，據(jù)此求解可得． ∵S△ABC＝16.S△A′EF＝9，且AD為BC邊的中線， ∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8， ∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB， 則（）2＝，即

13、（）2＝， 解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍）。 7.（2019?海南）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，1），點B（3，﹣1），平移線段AB，使點A落在點A1（﹣2，2）處，則點B的對應(yīng)點B1的坐標為（　?。? A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0） 【答案】C 【解析】由點A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐標的變化規(guī)律是：左移4個單位，上移1個單位， ∴點B的對應(yīng)點B1的坐標（﹣1，0）． 8.（2019?南京）如圖，△A'B'C'是由△ABC經(jīng)過平移得到的，△A'B'C還可以看作是△ABC經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①1次旋

14、轉(zhuǎn)；②1次旋轉(zhuǎn)和1次軸對稱；③2次旋轉(zhuǎn)；④2次軸對稱．其中所有正確結(jié)論的序號是（　?。? A． ①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D． 【解析】本題主要考查了幾何變換的類型，在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分．在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角． 依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換以及軸對稱變換，即可使△ABC與△A'B'C'重合． 先將△ABC繞著B'C的中點旋轉(zhuǎn)180°，再將所得的三角形繞著B'C'的中點旋轉(zhuǎn)180°，即可得到△A'B'C'； 先將△ABC沿著B'C的垂直平分線翻折，再將所得的三角形沿著B

15、'C'的垂直平分線翻折，即可得到△A'B'C'。 9.（2019?湖北孝感）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'，則P'的坐標為（　　） A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【答案】D． 【解析】本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 作PQ⊥y軸于Q，如圖，把點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'看作把△OPQ繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

16、得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，從而可確定P′點的坐標． 作PQ⊥y軸于Q，如圖， ∵P（2，3）， ∴PQ＝2，OQ＝3， ∵點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'相當(dāng)于把△OPQ繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′， ∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3， ∴點P′的坐標為（3，﹣2）． 10.（2019?山東省聊城市）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點C在邊AB上，且＝，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當(dāng)點P在OA上移動時，使四邊

17、形PDBC周長最小的點P的坐標為（　　） A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3） 【答案】C． 【解析】根據(jù)已知條件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（0，2），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），求得直線EC的解析式為y＝x+2，解方程組可得到結(jié)論． ∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4）， ∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°， ∵＝，點D為OB的中點， ∴BC＝3，OD＝BD＝2， ∴D（0，2），C（4，3）， 作D關(guān)于直線OA

18、的對稱點E，連接EC交OA于P， 則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2）， ∵直線OA 的解析式為y＝x， 設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直線EC的解析式為y＝x+2， 解得，， ∴P（，）， 故選：C． 11.（2019?河南）如圖，在△OAB中，頂點O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（　?。? A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10） 【答案】D． 【解析】先求出AB＝6，再利用正

19、方形的性質(zhì)確定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，此時旋轉(zhuǎn)前后的點D關(guān)于原點對稱，于是利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征可出旋轉(zhuǎn)后的點D的坐標． ∵A（﹣3，4），B（3，4）， ∴AB＝3+3＝6， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AD＝AB＝6， ∴D（﹣3，10）， ∵70＝4×17+2， ∴每4次一個循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°， ∴點D的坐標為（3，﹣10）． 二、填空題 12．（201

20、9?山東臨沂）在平面直角坐標系中，點P（4，2）關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標是　?。? 【答案】（﹣2，2）． 【解析】先求出點P到直線x＝1的距離，再根據(jù)對稱性求出對稱點P′到直線x＝1的距離，從而得到點P′的橫坐標，即可得解． ∵點P（4，2）， ∴點P到直線x＝1的距離為4﹣1＝3，∴點P關(guān)于直線x＝1的對稱點P′到直線x＝1的距離為3， ∴點P′的橫坐標為1﹣3＝﹣2， ∴對稱點P′的坐標為（﹣2，2）． 故答案為：（﹣2，2）． 13.（2019?海南?。┤鐖D，將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°

21、＜β＜90°）得到AF，連結(jié)EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，則EF＝　 ?。? 【答案】 【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的長． 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2， ∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B， ∴∠BAC+α+β＝90° ∴∠EAF＝90° ∴EF＝＝ 14.（2019?河南）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，點E在邊BC上，且BE＝a．連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點B的對應(yīng)點B′落在矩形ABCD的邊上，則a的 值為_______． 【答案】或． 【解析】本題考查了折

22、疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形 的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定 理，相似三角形的判定與性質(zhì)．進行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 分兩種情況：①點B′落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得AB＝BE，即可 求出a的值；②點B′落在CD邊上，證明△ADB′∽△B′CE，據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出a的值． 分兩種情況： ①當(dāng)點B′落在AD邊上時，如圖1． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應(yīng)點B′落在AD邊上， ∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，

23、 ∴AB＝BE， ∴a＝1，∴a＝； ②當(dāng)點B′落在CD邊上時，如圖2． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a． ∵將△ABE沿AE折疊，點B的對應(yīng)點B′落在CD邊上， ∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a， ∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a． 在△ADB′與△B′CE中， ， ∴△ADB′∽△B′CE， ∴，即， 解得a1＝，a2＝0（舍去）． 綜上，所求a的值為或． 15.（重點題）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點，連接AE，折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并

24、使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BF，點F在AD上，若DE=5，則GE的長為 . 【答案】 【解析】因為四邊形ABCD是正方形，易得△AFB≌△DEA，∴AF=DE=5，則BF=13. 又易知△AFH∽△BFA，所以，即AH=，∴AH=2AH=，∴由勾股定理得AE=13，∴GE=AE-AG= 16.（2019?湖南邵陽）如圖，將等邊△AOB放在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），點B在第一象限，將等邊△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′OB′，則點B′的坐標是　 ?。? 【答案】故答案為（﹣2，﹣2）． 【解析】作BH⊥y軸于H，如圖， ∵△OA

25、B為等邊三角形， ∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°， ∴BH＝OH＝2， ∴B點坐標為（2，2）， ∵等邊△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△A′OB′， ∴點B′的坐標是（﹣2，﹣2）． 故答案為（﹣2，﹣2）． 17.(2019山西）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為△ABC內(nèi)一點，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D的對應(yīng)點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為 cm. 【答案】 【解析】過點A作AG⊥DE于點G，由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AE，∠DAE=

26、90°，∠CAE=∠BAD=15° ∴∠AED=45°；在△AEF中：∠AFD=∠AED+∠CAE=60° 在Rt△ADG中：AG=DG= 在Rt△AFG中： ∴ 故答案為： 18.（2019山東淄博）如圖，在正方形網(wǎng)格中，格點△ABC繞某點順時針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜180°）得到格點△A1B1C1，點A與點A1，點B與點B1，點C與點C1是對應(yīng)點，則α＝　　度． 【答案】90 【解析】作CC1，AA1的垂直平分線交于點E，可得點E是旋轉(zhuǎn)中心，即∠AEA1＝α＝90°． 如圖，連接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分線交于點E，連接AE，A1E ∵CC1，A

27、A1的垂直平分線交于點E， ∴點E是旋轉(zhuǎn)中心， ∵∠AEA1＝90°∴旋轉(zhuǎn)角α＝90° 19.（2019?廣西池河）如圖，在平面直角坐標系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°而得，則AC所在直線的解析式是　 　． 【答案】 y＝2x﹣4． 【解析】過點C作CD⊥x軸于點D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），從而求得點C坐標，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將點A，點C坐標代入求得k和b，從而得解． ∵A（2，0），B（0，1） ∴OA＝2，OB＝1 過點C作CD⊥x軸于點D， 則易知△ACD≌△B

28、AO（AAS） ∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2 ∴C（3，2） 設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將點A，點C坐標代入得 ∴ ∴直線AC的解析式為y＝2x﹣4． 20.（2019?黑龍江哈爾濱）如圖，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，其中點A′與A是對應(yīng)點，點B′與B是對應(yīng)點，點B′落在邊AC上，連接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，則A′B的長為　 ?。? 【答案】 【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解． ∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C， ∴AC＝A'

29、C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45° ∴∠A'CB＝90° ∴A'B＝＝ 三、解答題 21.（2019?廣西北部灣）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（2，－1）、B（1，－2）、C（3，－3）. （1）將△ABC向上平移4個單位長度得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1; （2）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2; （3）請寫出A1、A2的坐標. 【答案】（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求； （2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求； （3）A1（2，3），A2（-2，-1）． 【解析】此題主要考查了軸對

30、稱變換以及平移變換，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵． （1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案； （2）直接利用軸對稱的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案； （3）利用所畫圖象得出對應(yīng)點坐標． 22.（2019北京市）已知，H為射線OA上一定點，，P為射線OB上一點，M為線段OH上一動點，連接PM，滿足為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段PN，連接ON． （1）依題意補全圖1； （2）求證：； （3）點M關(guān)于點H的對稱點為Q，連接QP．寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有ON=QP，并證明． 【答案】見解析。 【解析】本題考查的知識點有尺規(guī)作圖、旋

31、轉(zhuǎn)、三角形的內(nèi)角和、方程思想、30°銳角的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì). （1）見下圖。 （2）證明：∵ ∴在△OPM中， 又∵， ∴ ∴. （3）如下圖，過點P作PK⊥OA于K，過點N作NF⊥OB于F ∵∠OMP=∠OPN ∴∠PMK=∠NPF 在△NPF和△PMK中， ∴△NPF≌△PMK （AAS） ∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK 又∵ON=PQ 在Rt△NOF和Rt△PKQ中， ∴Rt△NOF≌Rt△PKQ （HL） ∴KQ=OF 設(shè) ∵∠POA=30°，PK⊥OQ ∴ ∴ ∴， ， . ∵M與Q關(guān)于H對稱 ∴M

32、H=HQ ∴KQ=KH+HQ = = 又∵KQ=OF ∴ ∴ ∴，即PK=1 又∵ ∴OP=2. 23.（2019?廣西貴港）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)90°＜α＜180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點E． （1）如圖1，當(dāng)∠CA′D＝15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC于點F． ①寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)； ②求證：EA′+EC＝EF； （2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線A′D上的一個動點，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結(jié)果

33、保留根號） 【答案】見解析。 【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解決問題． ②連接A′F，設(shè)EF交CA′于點O．在EF時截取EM＝EC，連接CM．首先證明△CFA′是等邊三角形，再證明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解決問題． （2）如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長線于M．證明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F(xiàn)關(guān)于A′E對稱，推出PF＝PB′，推出PA+PF＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解決問題． 【解答】（1）①解：旋轉(zhuǎn)角為105°． 理由：如圖1中， ∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°， ∵

34、∠CA′D＝15°， ∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°， ∴旋轉(zhuǎn)角為105°． ②證明：連接A′F，設(shè)EF交CA′于點O．在EF時截取EM＝EC，連接CM． ∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°， ∴∠CEA′＝120°， ∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°， ∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE， ∴△FOC∽△A′OE， ∴＝， ∴＝， ∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′， ∴∠FA′O＝∠OEC＝60°， ∴△A′OF是等邊三角形，∴CF＝

35、CA′＝A′F， ∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等邊三角形， ∠ECM＝60°，CM＝CE， ∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE， ∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E， ∴CE+A′E＝EM+FM＝EF． （2）解：如圖2中，連接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延長線于M． 由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′， ∴△A′EF≌△A′EB′， ∴EF＝EB′， ∴B′，F(xiàn)關(guān)于A′E對稱，∴PF＝PB′， ∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′， 在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°， ∴B′M＝CB′＝1，CM＝， ∴AB′＝＝＝． ∴PA+PF的最小值為． 22