六年級(jí)奧數(shù). 數(shù)論.整除問(wèn)題 (ABC級(jí)).學(xué)生版

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1、 數(shù)的整除 知識(shí)框架 一、 整除的定義： 當(dāng)兩個(gè)整數(shù)a和b（b≠0），a被b除的余數(shù)為零時(shí)（商為整數(shù)），則稱a被b整除或b整除a，也把a(bǔ)叫做b的倍數(shù)，b叫a的約數(shù)，記作b|a，如果a被b除所得的余數(shù)不為零，則稱a不能被b整除，或b不整除a，記作b a. 二、 常見數(shù)字的整除判定方法 1. 一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除； 一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被4或25整除； 一個(gè)數(shù)的末三位能被8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除； 2. 一個(gè)位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除； 一個(gè)數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個(gè)數(shù)

2、就能被9整除； 3. 如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除； 4. 如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除； 5. 如果一個(gè)數(shù)從數(shù)的任何一個(gè)位置隨意切開所組成的所有數(shù)之和是9的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)能被9整除； 6. 如果一個(gè)數(shù)能被99整除，這個(gè)數(shù)從后兩位開始兩位一截所得的所有數(shù)（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個(gè)數(shù)字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個(gè)有兩個(gè)數(shù)字還有一個(gè)是一位數(shù)）的和是99的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是99的倍數(shù)。 7. 若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去

3、個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過(guò)程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過(guò)程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。 8. 若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加個(gè)位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。 9. 若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位

4、數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。 10. 若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果和是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。 11. 若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。 12. 若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除. 13

5、. 若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除。 【備注】（以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.） 三、整除性質(zhì) 性質(zhì)1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a， c︱b，那么c︱(a±b)． 性質(zhì)2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a， c∣b，那么c∣a． 用同樣的方法，我們還可以得出： 性質(zhì)3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a，c∣a． 性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一

6、定能被b 與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m為非0整數(shù)）； 性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c(diǎn) ，那么bd｜ac； 四、其他重要結(jié)論 1、 能被2和5，4和25，8和125整除的數(shù)的特征是分別在這個(gè)數(shù)的未一位、未兩位、未三位上。我們可以概括成一個(gè)性質(zhì)：未n位數(shù)能被(或)整除的數(shù)，本身必能被(或)整除；反過(guò)來(lái)

7、，末n位數(shù)不能被(或)整除的數(shù)，本身必不能被(或)整除。例如，判斷19973216、91688169能否能被16整除，只需考慮未四位數(shù)能否被16（因?yàn)?6=）整除便可，這樣便可以舉一反三，運(yùn)用自如。 2、 利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)： 任意兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之積必定是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之積，因此一定可被2整除； 任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。 這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意個(gè)整數(shù)連續(xù)之積。 3、 一個(gè)奇位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是99的倍數(shù)，一個(gè)偶位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是9的倍數(shù)。 4、 ；

8、，這樣的數(shù)一定能被7、11、13整除。 5、 等等。 重難點(diǎn) 數(shù)的整除概念、性質(zhì)及整除特征為解決一些整除問(wèn)題帶來(lái)了很大方便，在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛。要學(xué)好數(shù)的整除問(wèn)題，就必須找到規(guī)律，牢記上面的整除性質(zhì)，不可似是而非。 例題精講 【例 1】 ，要使這個(gè)連乘積的最后4個(gè)數(shù)字都是0，那么在方框內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？ 【鞏固】 從50到100的這51個(gè)自然數(shù)的乘積的末尾有多少個(gè)連續(xù)的0？ 【例 2】 把若干個(gè)自然數(shù)1、2、3、……連乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？

9、 【鞏固】 的結(jié)果除以，所得到的商再除以……重復(fù)這樣的操作，在第____次除以時(shí)，首次出現(xiàn)余數(shù). 【例 3】 11個(gè)連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？ 【鞏固】 用1～9這九個(gè)數(shù)字組成三個(gè)三位數(shù)(每個(gè)數(shù)字都要用)，每個(gè)數(shù)都是4的倍數(shù)。這三個(gè)三位數(shù)中最小的一個(gè)最大是 。 【例 4】 在方框中填上兩個(gè)數(shù)字，可以相同也可以不同，使432是9的倍數(shù). 請(qǐng)隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確。 【鞏固】 一個(gè)

10、六位數(shù)被3除余l(xiāng)，被9除余4，這個(gè)數(shù)最小是 。 【例 5】 連續(xù)寫出從1開始的自然數(shù)，寫到2008時(shí)停止，得到一個(gè)多位數(shù)：1234567891011……20072008，請(qǐng)說(shuō)明：這個(gè)多位數(shù)除以3，得到的余數(shù)是幾？為什么？ 【鞏固】 1234567891011121314…20082009除以9，商的個(gè)位數(shù)字是_________ 。 【例 6】 1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖所示的次序排成一個(gè)圓圈．請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)(例如，在1和7之間剪開，得到兩個(gè)數(shù)

11、是和)．如果要求剪開后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被整除，那么剪開處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少? 【鞏固】 ，，，等首位是，個(gè)位是，中間數(shù)字全部是的數(shù)字中，能被整除而不被整除的最小數(shù)是 。 三、7、11、13系列 【例 7】 一個(gè)4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)新的4位數(shù).已知這兩個(gè)4位數(shù)的和是以下5個(gè)數(shù)的一個(gè)：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.這兩個(gè)4位數(shù)的和到底是多少? 【鞏固】 是77的倍數(shù)，則最大為_________? 【例 8】 三位數(shù)的百位、十

12、位和個(gè)位的數(shù)字分別是5，a和b，將它連續(xù)重復(fù)寫2008次成為：.如果此數(shù)能被91整除，那么這個(gè)三位數(shù)是多少？ 【鞏固】 稱一個(gè)兩頭（首位與末尾）都是的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”。一個(gè)四位數(shù)的“兩頭蛇數(shù)”去掉兩頭，得到一個(gè)兩位數(shù)，它恰好是這個(gè)“兩頭蛇數(shù)”的約數(shù)。這個(gè)“兩頭蛇數(shù)”是 。（寫出所有可能） 【例 9】 學(xué)生問(wèn)數(shù)學(xué)老師的年齡老師說(shuō)：“由三個(gè)相同數(shù)字組成的三位數(shù)除以這三個(gè)數(shù)字的和，所得結(jié)果就是我的年齡?！崩蠋熃衲? 歲。

13、【鞏固】 已知兩個(gè)三位數(shù)與的和能被37整除，試說(shuō)明：六位數(shù)也能被37整除． 【例 10】 一個(gè)4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)新的4位數(shù).再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個(gè)數(shù)的一個(gè)：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.這兩個(gè)4位數(shù)的和到底是多少? 【鞏固】 一個(gè)六位數(shù)各個(gè)數(shù)字都不相同，且這個(gè)數(shù)字能被17整除，則這個(gè)數(shù)最小是________？ 【例 11】 在六位數(shù)1111中的兩個(gè)方框內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使此數(shù)能被17和

14、19整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少? 【鞏固】 將數(shù)字4，5，6，7，8，9各使用一次，組成一個(gè)被667整除的6位數(shù)，那么，這個(gè)6位數(shù)除以667的結(jié)果是多少？ 【例 12】 若，試問(wèn)能否被8整除?請(qǐng)說(shuō)明理由． 【鞏固】 證明能被6整除，那么也能被6整除． 【例 13】 甲、乙兩個(gè)三位數(shù)的乘積是一個(gè)五位數(shù)，這個(gè)五位數(shù)的后四位為1031．如果甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8，那么甲乙兩數(shù)之和是_________． 【鞏固】 有5個(gè)不同的正整數(shù)，它們中任

15、意兩數(shù)的乘積都是12的倍數(shù)，那么這5個(gè)數(shù)之和的最小值是________． 【例 14】 某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號(hào)分別是1，2，…，12．他們的電話號(hào)碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號(hào)碼都能被這家的門牌號(hào)整除，已知這些電話號(hào)碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號(hào)是9的這一家的電話號(hào)碼也能被13整除，問(wèn)：這一家的電話號(hào)碼是什么數(shù)？ 【鞏固】 用數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一個(gè)十位數(shù)。要求前1位數(shù)能被2整除，前2位數(shù)能被3整除，……，前9位數(shù)能被10整除．已知最高位數(shù)為8．這個(gè)十位數(shù)是

16、 【例 15】 在六位數(shù)中，不同的字母表示不同的數(shù)字，且滿足，，，，，依次能被2，3，5，7，11，13整除．則的最小值是 ；已知當(dāng)取得最大值時(shí)，，那么的最大值是________． 【鞏固】 有一個(gè)九位數(shù)的各位數(shù)字都不相同且全都不為0，并且二位數(shù)可被2整除，三位數(shù)可被3整除，四位數(shù)可被4整除，……依此類推，九位數(shù)可被9整除．請(qǐng)問(wèn)這個(gè)九位數(shù)是多少？ 【例 16】 N是一個(gè)各位數(shù)字互不相等的自然數(shù)，它能被它的每個(gè)數(shù)字整除．N的最大值是 ．

17、 【鞏固】 ，，，各代表一個(gè)不同的非零數(shù)字，如果是的倍數(shù)，是的倍數(shù)， 是的倍數(shù)，是的倍數(shù)，那么是 。 課堂檢測(cè) 【隨練1】 若9位數(shù)20082008能夠被3整除，則里的數(shù)是__________ 【隨練2】 六位數(shù)能被99整除，是多少？ 【隨練3】 應(yīng)當(dāng)在如下的問(wèn)號(hào)“？”的位置上填上哪一個(gè)數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)可被7整除？ 【隨練4】 王老師在黑板上寫了這樣的乘法算式:,然后說(shuō)道:“只要同學(xué)們告訴我你們喜歡1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪個(gè)數(shù)，我在括號(hào)里填

18、上適當(dāng)?shù)某藬?shù)，右邊的積一定全由你喜歡的數(shù)字組成。”小明搶著說(shuō)：“我喜歡3?！蓖趵蠋熖钌铣藬?shù)“27”結(jié)果積就出現(xiàn)九個(gè)3；小宇舉手說(shuō)：“我喜歡7?！敝灰娡趵蠋熖钌铣藬?shù)“63”，積久出現(xiàn)九個(gè)7：，小麗說(shuō)：“我喜歡8。”那么算式中應(yīng)填上的乘數(shù)是 . 【隨練5】 有四個(gè)非零自然數(shù)，其中， .如果能被2整除， 能被3整除， 能被5整除， 能被7整除，那么最小是 ． 家庭作業(yè) 【作業(yè)1】 一個(gè)收銀員下班前查賬時(shí)發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)金比賬面記錄少了153元，她知道實(shí)際收錢不會(huì)錯(cuò)，只能是記賬時(shí)有一個(gè)數(shù)點(diǎn)錯(cuò)了小數(shù)點(diǎn)，那么記錯(cuò)的那筆

19、帳實(shí)際收到的現(xiàn)金是__________元。 【作業(yè)2】 一個(gè)五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個(gè)五位數(shù)是 ． 【作業(yè)3】 一個(gè)19位數(shù)能被13整除，求О內(nèi)的數(shù)字． 【作業(yè)4】 已知四十一位數(shù)（其中5和9各有20個(gè)）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？ 【作業(yè)5】 一位后勤人員買了72本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個(gè)數(shù)字.帳本是這樣的：72本筆記本，共□□元(□為被燒掉的數(shù)字)，請(qǐng)把□處數(shù)字補(bǔ)上，并求筆記本

20、的單價(jià). 【作業(yè)6】 小紅為班里買了33個(gè)筆記本。班長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)購(gòu)物單上沒(méi)有表明單價(jià)，總金額的字跡模糊，只看到元，班長(zhǎng)問(wèn)小紅用了多少錢，小紅只記得不超過(guò)95元，她實(shí)際用了 元。 【作業(yè)7】 是2008的倍數(shù)．_________ 【作業(yè)8】 有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到15號(hào)，1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，其余各位同學(xué)都說(shuō)這個(gè)數(shù)能被自己的編號(hào)數(shù)整除．1號(hào)作了檢驗(yàn)：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)的不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問(wèn)：⑴說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？⑵如果告訴你1號(hào)寫的數(shù)

21、是五位數(shù)，請(qǐng)找出這個(gè)數(shù)． 【作業(yè)9】 若四位數(shù)能被15整除，則代表的數(shù)字是多少？ 【作業(yè)10】 0～6這7個(gè)數(shù)字能組成許多個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的7位數(shù)，其中有些是55的倍數(shù)，最大的一個(gè)是（ ）。 教學(xué)反饋 學(xué)生對(duì)本次課的評(píng)價(jià) ○特別滿意 ○滿意 ○一般 家長(zhǎng)意見及建議 家長(zhǎng)簽字： MSDC模塊化分級(jí)講義體系 六年級(jí)奧數(shù).數(shù)論. 整除問(wèn)題（ABC級(jí)）.學(xué)生版 Page 14 of 14