《橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教設(shè)計(jì)

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1、課題：§2.1.1橢圓的定義與其標(biāo)準(zhǔn)方程 鹿城中學(xué) 田光海 一、教案背景： 1.面向?qū)ο螅焊咧卸昙?jí)學(xué)生 2.學(xué)科：數(shù)學(xué) 3.課時(shí)：2課時(shí) 4.教學(xué)內(nèi)容：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書《數(shù)學(xué)》北師大版選修1-1第二章圓錐曲線與方程§2.1.1橢圓與其標(biāo)準(zhǔn)方程 二. 教材分析 本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時(shí),它是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程,對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解,對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線.橢圓的學(xué)習(xí)可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ).因此這節(jié)課有承前啟后的作用,是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一. 1. 教法分析 結(jié)合

2、生活經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、探究合作.在學(xué)生的生活體驗(yàn)、直觀感知、知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)概念,為學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成打下基礎(chǔ).利用多媒體課件,精心構(gòu)建學(xué)生自主探究的教學(xué)平臺(tái),啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察,想象,思考,實(shí)踐,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、突破學(xué)生認(rèn)知上的困難,讓學(xué)生體驗(yàn)問題解決的思維過程,獲得知識(shí),體驗(yàn)成功.主要采用探究實(shí)踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合. 2. 學(xué)法分析 從知識(shí)上看,學(xué)生已掌握了一些橢圓圖形的實(shí)物與實(shí)例,對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解,對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步的認(rèn)識(shí). 從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看,通過一年多的學(xué)習(xí),學(xué)生已具備了一定的觀察事物的能力,積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn),在一定

3、程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力. 從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看,學(xué)生頭腦中雖有一些橢圓的實(shí)物實(shí)例,但并沒有上升為"概念"的水平,如何給橢圓以數(shù)學(xué)描述?　如何"定性""定量"地描述橢圓是學(xué)生關(guān)注的問題,也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問題.他們渴望將感性認(rèn)識(shí)理性化,渴望通過自己動(dòng)手作圖、觀察來辨析和完善概念,通過對(duì)比產(chǎn)生頓悟,渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心向是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ). 3.教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 過程與方法：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程,逐步提高學(xué)生的觀察、分析、歸納、類比、概

4、括能力；通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法——坐標(biāo)法,并滲透數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過課堂活動(dòng)參與,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高學(xué)生審美情趣,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神. 4.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式 難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)教學(xué)方法 5.教學(xué)準(zhǔn)備 通過百度搜索與橢圓有關(guān)的圖片資料,利用百度搜索相關(guān)的教學(xué)資料制作多媒體課件,自制教具：繪圖板、圖釘、細(xì)繩. 三、教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng)設(shè)情景 引入新課

5、 情景1：用圓柱狀水杯盛半杯水,將水杯放在水平桌面上,截面為圓形．當(dāng)端起水杯喝水時(shí),水杯傾斜,再觀察水平面,此時(shí)截面為橢圓形．〔演示〕 問題1：聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形？ 情景2： 問題2：〔1〕圓是怎么畫出來的？ 〔2〕圓的定義是什么？ 〔3〕圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式的？ 猜想：1、橢圓是怎么畫出來的？2、橢圓的定義是什么？3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么形式？ 學(xué)生觀察 學(xué)生舉例 學(xué)生思考后回答.

6、 引入生活情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望,自然引入新課,同時(shí)與其實(shí)際相聯(lián)系,拓寬學(xué)生思維,發(fā)展他們聯(lián)想、類比能力. 使學(xué)生在感嘆祖國科技輝煌發(fā)展的氛圍中認(rèn)識(shí)橢圓. 用類比的思想,通過已經(jīng)學(xué)過的圓的知識(shí)猜想橢圓,開展后續(xù)教學(xué). 互動(dòng)探究 形成概念 探究1 將圓心從一點(diǎn)"分裂"成兩點(diǎn),給你兩個(gè)圖釘,一根無彈性的細(xì)繩,一張紙板,能畫出橢圓嗎？ 讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖,使其探究性學(xué)習(xí),再提出以下問題： 思考1：在紙板上作圖說明什么？ 思考2：在作圖過程中,有哪些物體的位置沒變？有哪些量沒有變？ 思考3：若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬?duì)位置,所得到的圖形有何變化？ 根據(jù)橢圓畫法,從中歸納

7、橢圓定義——與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長〔繩長〕的點(diǎn)的軌跡為橢圓〔繩長大于兩定點(diǎn)間距離〕． 動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)生成軌跡的全過程,印證猜想 同桌同學(xué)按照老師的要求合作畫圖,并思考軌跡上的點(diǎn)具備什么特點(diǎn). 展示學(xué)生成果.請(qǐng)學(xué)生代表本小組交流探究結(jié)論： 給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手操作,合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)；通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生去探究"滿足什么樣的條件下的點(diǎn)的集合為橢圓"；讓每個(gè)人都動(dòng)手畫圖,自己思考問題,由此培養(yǎng)學(xué)生的自信心.? ? 互動(dòng)探究 深化概念 探究2 在繩長不變的情況下,改變兩個(gè)圖釘之間的距離,畫出的橢圓有何變化？ 當(dāng)兩個(gè)圖釘重合在一起時(shí),畫出的圖形是什么？ 當(dāng)兩個(gè)圖

8、釘之間的距離等于繩長時(shí),畫出的圖形是什么？ 當(dāng)兩個(gè)圖釘之間固定,能使繩長小于兩個(gè)圖釘之間的距離嗎？ 定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和等于常數(shù)〔大于〕的點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 教師指出：這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距. 思考1：焦點(diǎn)為的橢圓上任一點(diǎn)M,有什么性質(zhì)？ 令橢圓上任一點(diǎn)M,則有 , 補(bǔ)充：若時(shí),軌跡是線段；若時(shí),無軌跡. 思考2：剛才在畫圖時(shí),大家的繩長是一樣的,但是畫出的橢圓一樣嗎？橢圓的圓扁程度與什么有關(guān)？ F1 F2 M F1 、F2位置越近橢圓愈圓,F1 、F2位置越遠(yuǎn)橢圓越扁 利用動(dòng)畫顯示結(jié)果

9、學(xué)生通過課件觀察變化情況 請(qǐng)學(xué)生給出經(jīng)過修改的橢圓定義 學(xué)生思考后回答 使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程,提高其歸納概括能力,加深對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí),并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng) 研討探究 推導(dǎo)方程 前面我們已經(jīng)得到橢圓的定義,那么由橢圓定義,我們能不能推導(dǎo)出橢圓的方程. 問題3：求曲線方程的一般步驟是什么？ ①建系、取點(diǎn)；②列式；③代換；④化簡(jiǎn)；⑤證明 下面由同學(xué)根據(jù)這兩個(gè)問題分組討論橢圓方程的求法.〔1〕要建立橢圓方程應(yīng)該如何建立坐標(biāo)系？ 〔2〕橢圓上動(dòng)點(diǎn)M滿足什么條件？ 尤

10、其在化簡(jiǎn)過程中,對(duì)于根式的處理,學(xué)生會(huì)感到困難,教師進(jìn)行提示. 〔把學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程的具有代表性的方法,在實(shí)物展臺(tái)上投影.〕 問題：通過對(duì)比學(xué)生求出橢圓各種形式的方程,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？哪一種方程最簡(jiǎn)潔？ 方程〔〕〔☆〕叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,其中． 〔〕,它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 此時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在軸上, 焦點(diǎn)坐標(biāo)為,其中 我們可以發(fā)現(xiàn),以上兩種方案是最好的. 問：觀察一下焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,如何根據(jù)方程判斷其焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上？<看分母大小,哪個(gè)分母大焦點(diǎn)就在哪一條軸上> 說明： <1>在兩個(gè)方程中,總有a

11、>b>0 <2>橢圓的三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足：即 ,a最大 <3>要分清焦點(diǎn)的位置,只要看和的分母的大小.例如橢圓〔,,〕當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓. 學(xué)生回答 學(xué)生先獨(dú)立思考,之后全班交流,確定最后的解決方案,然后分工合作,共同完成,之后再交流. 學(xué)生思考后主動(dòng)發(fā)言回答. 以上三條,盡量由學(xué)生總結(jié)出 充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性. 通過坐標(biāo)系的不同選擇,用不同的方法得到不同的方程,通過比較體會(huì)曲線的方程的不確定性,理解曲線與方程的關(guān)系,感受恰當(dāng)

12、選擇坐標(biāo)系的優(yōu)越性,感受標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、和諧之美,并在實(shí)踐中通過對(duì)比提高決策能力、計(jì)算能力、培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)約的思維能力. 培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析歸納能力. 例題研討 變式精析 例1.適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 <1> a =4,b=1,焦點(diǎn)在 x 軸 <2> a =4,c= ,焦點(diǎn)在 y 軸上 <3>兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是〔 0 ,-2〕和〔 0 ,2〕 并且經(jīng)過點(diǎn)〔 -1.5 ,2.5〕 解: <1>因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以設(shè)所求方程為 ∵ a=4, b=1 ∴ 所求方程為 (2) 因?yàn)榻?/p>

13、點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)所求方程為 ∵ a=4, b=1 ∴ 所求方程為 <3> 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知, 所以所求橢圓方程為 例2.我國發(fā)射的神舟八號(hào)飛船變軌前,是在以地心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行,已知它的近地點(diǎn)B距地面200公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)A距地面330公里,并且F2、A、B在同一直線上,地球半徑約為6371km,求軌道方程〔精確到1km〕. 學(xué)生獨(dú)立完成

14、學(xué)生討論 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題能力 解決情景設(shè)置中的問題 練習(xí)檢測(cè) 當(dāng)堂鞏固 1、如果橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1距離是6,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2距離是. 2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 〔1〕兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是〔0,2〕,〔0,-2〕,橢圓經(jīng)過點(diǎn)P <2>a+b=10,c= 學(xué)生練習(xí) 檢測(cè)學(xué)習(xí)成果 總結(jié)概括 課后提升 最后進(jìn)行課堂小結(jié),先由學(xué)生小組討論,再個(gè)別提問,然后集體補(bǔ)充,最后教師才引導(dǎo)和完善.師生應(yīng)共同歸納本節(jié)所學(xué)內(nèi)容、知識(shí)規(guī)律以與所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法. 這一節(jié)課你收獲到了什么？ 布置作業(yè) 層次

15、1 1.教材練習(xí)A 3.4題? 練習(xí)B? 第二題 2.你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點(diǎn)嗎？作圖的依據(jù)是什么？根據(jù)你的作圖方法,能找到與之相應(yīng)的方法求出橢圓方法嗎？ 層次2 課后利用[百度搜索]深入的對(duì)橢圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了解. 學(xué)生總結(jié)出在知識(shí)、數(shù)學(xué)思想等方面的收獲 擺脫傳統(tǒng)教學(xué)中教師小結(jié)的做法,以表格形式出現(xiàn),讓學(xué)生自己總結(jié),加深對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)識(shí)? ?層次1的目的是強(qiáng)化鞏固本節(jié)內(nèi)容 層次2的目的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,提高數(shù)學(xué)文化品位. 六、板書設(shè)計(jì) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1、橢圓的定義 2、橢圓的標(biāo)

16、準(zhǔn)方程 〔1〕、焦點(diǎn)在軸上 〔2〕、焦點(diǎn)在軸上 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程書寫 例1： 例2： 〔1〕詳寫 〔2〕寫關(guān)鍵步驟 七、教學(xué)反思 本節(jié)課整個(gè)教學(xué)過程為：提出問題——探索——解決問題——?dú)w納反思——提高.在問題的設(shè)計(jì)中,從多角度探究,縱向挖掘知識(shí)深度,橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系,這樣的設(shè)計(jì)不但突出了重點(diǎn),更使難點(diǎn)的突破水到渠成. 本節(jié)課以問題為紐帶,以探究活動(dòng)為載體,學(xué)生在自覺進(jìn)入問題情境后,在問題的指引下和老師的指導(dǎo)下,通過實(shí)踐、探索、體驗(yàn)、反思等活動(dòng)把探究活動(dòng)層層展開、步步深入,親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程.使學(xué)生在知識(shí)的形成過程中,獲得數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn),享受到成功的樂趣,同時(shí)在思想方法運(yùn)用、思維能力等方面得到提高和發(fā)展.課堂進(jìn)行中通過實(shí)際操作、多媒體課件演示等,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生讓學(xué)生在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)中把學(xué)生的學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程,希望對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)﹑數(shù)學(xué)思想的建立﹑心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用. 本節(jié)課學(xué)生活動(dòng)較多,知識(shí)拓展較深,運(yùn)算較困難,因此本節(jié)課不能按預(yù)計(jì)完成,剩余問題下節(jié)課解決. 12 / 12