數(shù)列極限和函數(shù)極限

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1、 數(shù)列極限和函數(shù)極限 極限概念是數(shù)學(xué)分析中最重要的概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等都要用極限來(lái)定義，而且由極限出發(fā)產(chǎn)生的極限方法，是數(shù)學(xué)分析的最基本的方法.更好的理解極限思想，掌握極限理論，應(yīng)用極限方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質(zhì)、判別方法等問(wèn)題. 1.極限定義 1．1 數(shù)列極限定義 設(shè)有數(shù)列與常數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它有多么?。?，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式 都成立，那么就稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于，記作. 讀作“當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，的極限等于或趨于”.數(shù)列極限存在，稱數(shù)列 為收斂數(shù)列，否則稱為發(fā)散數(shù)列. 關(guān)于數(shù)列極限的定義，著

2、重注意以下幾點(diǎn)： （1）的任意性: 定義中正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng)與定數(shù)的接近程度越小，表示接近的越好.而正數(shù)可以任意的小,說(shuō)明與可以接近到任何程度，然而，盡管有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)的被確定下來(lái)，以便依靠它來(lái)求出. （2）的相應(yīng)性: 一般說(shuō)，隨的變小而變大，由此常把寫作，來(lái)強(qiáng)調(diào)是依賴與的，但這并不意味著是由所唯一決定的，重要的是的存在性，而不在于它值得大小.另外,定義中的也可以改寫成. （3）幾何意義:對(duì)于任何一個(gè)以為中心，為半徑的開區(qū)間，總可以在數(shù)列中找到某一項(xiàng)，使得其后的所有項(xiàng)都位于這個(gè)開區(qū)間內(nèi)，而在該區(qū)間之外，最多只有的有限項(xiàng)（項(xiàng)）. 數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),當(dāng)

3、自變量從小到大依次取自然數(shù)時(shí),便得到相應(yīng)的一系列函數(shù)值,其解析表達(dá)式為;我們把數(shù)列中的用來(lái)替換后就得到了一個(gè)函數(shù),數(shù)列和函數(shù)的區(qū)別在于數(shù)列中的點(diǎn)是離散的,而函數(shù)是連續(xù)的,那么類似的我們也有函數(shù)極限的定義. 1．2　函數(shù)極限定義 1 / 6 1.2.1 時(shí)函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)為上的函數(shù)，為定數(shù)，若對(duì)任給的，總存在著正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作. 即有有. 對(duì)應(yīng)的,我們也有的相應(yīng)的語(yǔ)言成立. 對(duì)于函數(shù)極限的定義著重注意以下幾點(diǎn): （1）在定義中正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中的類似,表明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實(shí)數(shù),而不僅僅是正整數(shù). （2）當(dāng)時(shí),

4、函數(shù)以為極限意味著: 的任意小鄰域內(nèi)必含有在的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值. （3）幾何意義是:對(duì)任給的,在坐標(biāo)平面上,平行于軸的兩條直線與,圍成以直線為中心線,寬為的帶形區(qū)域；定義中的“當(dāng)時(shí),有”表示:在直線的右方,曲線全部落在這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi). 1.2.2 時(shí)函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)（無(wú)論它多么小），總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則常數(shù)為函數(shù)在時(shí)的極限，記作. 即有. 對(duì)應(yīng)的,我們也有的相應(yīng)的語(yǔ)言成立. 對(duì)于函數(shù)極限的定義著重注意以下幾點(diǎn): （1）定義中的正數(shù),相當(dāng)于數(shù)列極限定義中的,它依賴于,但也不是由所唯一確定的,一般來(lái)說(shuō),

5、 愈小, 也相應(yīng)地要小一些,而且把取得更小些也無(wú)妨. （2）定義中只要求函數(shù)在的某一空心鄰域內(nèi)有定義,而一般不考慮在點(diǎn)處的函數(shù)值是否有意義,這是因?yàn)?對(duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)趨于過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì). （3）定義中的不等式等價(jià)于，而不等式等價(jià)于.于是，定義又可寫成： 任給,存在,使得一切有.或更簡(jiǎn)單的表為: 任給,存在,使得. （4）幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語(yǔ)言表述為 對(duì)任給的,在坐標(biāo)平面上畫一條以直線為中心線,寬為的橫帶,則必存在以直線為中心線、寬為的數(shù)帶，使函數(shù)的圖像在該數(shù)帶中的部分全部落在橫帶內(nèi)，但點(diǎn)可能例外（或無(wú)意義）. 　 2.極限性質(zhì)

6、 2．1 數(shù)列極限的性質(zhì) 收斂數(shù)列有如下性質(zhì)： （1）極限唯一性:若數(shù)列收斂,則它只有一個(gè)極限. （2）若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列. （3）若數(shù)列有極限，則其任一子列也有極限. （4）保號(hào)性，即若，則對(duì)任何,存在正整數(shù)，時(shí),. （5）保不等式性:即若與均為收斂數(shù)列, 若存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則.　　 （6）數(shù)列極限的基本公式（四則運(yùn)算） 設(shè)存在,則 2．2函數(shù)極限性質(zhì) （1）極限唯一性；若極限存在，則此極限是唯一的. （2）局部有界性 若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)是有界的，當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，亦成立. （3）局部保號(hào)性 若，則對(duì)任何正數(shù),存在使得對(duì)一切有

7、，當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，亦成立. （4）保不等式性 若，，且在某鄰域內(nèi)有，則 . （5）函數(shù)極限的基本公式（四則運(yùn)算） 設(shè)存在,則 通過(guò)以上對(duì)數(shù)列極限與函數(shù)極限的介紹,可以知道數(shù)列極限與函數(shù)極限的本質(zhì)相同,性質(zhì)一致. 3.極限的判別法 　　　 3.1 數(shù)列極限的判別法 （1）單調(diào)有界定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限. 證明:不妨設(shè)為有上界的遞增數(shù)列.由確界原理,數(shù)列有上確界,記.下面證明就是的極限.事實(shí)上,任給,按上確界的定義,存在數(shù)列中某一項(xiàng),使得.又由的遞增性，當(dāng)時(shí)有 。 另一方面，由于是的一個(gè)上界，故對(duì)一切都有 所以當(dāng)時(shí)有

8、 這樣就證得, . 同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且極限即為它的下確界. (2) 數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則: 數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)，存在著這樣的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有. (3) 數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則 如果收斂數(shù)列，都以為極限，數(shù)列滿足下列條件： 存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有 　 則數(shù)列收斂,且 . 3.2 函數(shù)極限的判別法： （1）函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則: 設(shè)且在某內(nèi)有 則. （2）函數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則： 存在的充要條件是:任給, ，存在正數(shù),使得對(duì)任何，有 . 友情提示：方案范本是經(jīng)驗(yàn)性極強(qiáng)的領(lǐng)域，本范文無(wú)法思考和涵蓋全面，供參考!最好找專業(yè)人士起草或?qū)徍撕笫褂谩?