初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 幾何內(nèi)容為主的綜合題

初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)幾何內(nèi)容為主的綜合題北京八中 劉穎幾何綜合題大多采用“問題探究問題解決”的模式展開問題，立意新穎，構(gòu)思巧妙，各小題之間承接性強(qiáng)，層層深入，從而出現(xiàn)更多的思維層次，體現(xiàn)試題的甄別和選拔功能。一. 考試說明要求（與幾何內(nèi)容有關(guān)的“C”級(jí)要求）“C”級(jí)要求：通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等思維活動(dòng)，理解或提出問題，尋求解決問題的思路；綜合使用已掌握的對(duì)象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒?，?shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題的分析與解決。1. 圖形的性質(zhì)（1）推理與證明 C：運(yùn)用歸納和類比發(fā)現(xiàn)結(jié)論（2）直線、射線和線段C：運(yùn)用兩點(diǎn)間距離的有關(guān)內(nèi)容（3）角平分線C：運(yùn)用角平分線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（4）線段垂直平分線C：運(yùn)用線段垂直平分線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（5）三角形C：運(yùn)用三角形三邊關(guān)系的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題；運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（6）三角形中位線C：運(yùn)用三角形中位線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（7）全等三角形C：運(yùn)用全等三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（8）等腰三角形和等邊三角形C：運(yùn)用等腰三角形和等邊三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（9）直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)及解直角三角形C：運(yùn)用直角三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（10）平行四邊形C：運(yùn)用平行四邊形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（11）特殊的平行四邊形C：運(yùn)用矩形、菱形、正方形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（12）圓的有關(guān)性質(zhì)C：運(yùn)用圓的性質(zhì)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（13）直線和圓的位置關(guān)系C：運(yùn)用圓的切線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題2. 圖形的變化（1）圖形的平移C：運(yùn)用平移的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（2）圖形的軸對(duì)稱C：運(yùn)用軸對(duì)稱的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題（3）圖形的旋轉(zhuǎn)C：運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題3. 圖形與坐標(biāo)坐標(biāo)與圖形運(yùn)動(dòng)C：運(yùn)用坐標(biāo)與圖形運(yùn)動(dòng)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題二. 復(fù)習(xí)建議1. 對(duì)于綜合題的復(fù)習(xí)，是要通過數(shù)量有限的題目的練習(xí)、分析、講解和總結(jié)，來提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，適宜“以點(diǎn)帶面”、“以問題帶方法”的方法. 即在選擇典型問題加以分析的基礎(chǔ)上，將題目講深、講透，也可將問題適當(dāng)進(jìn)行變化、類比，力求充分讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法在解決問題中的靈活、綜合的應(yīng)用. 2. 可以將一道綜合題拆分成若干個(gè)小問題，將一個(gè)復(fù)雜圖形拆分成若干個(gè)基本圖形，這樣做，一方面幫助學(xué)生提高分析問題的能力，另一方面也可以提高學(xué)生處理綜合題的自信. 3. 軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)變換在“考試說明中”均有“C”級(jí)的要求，要引起注意. 4. 針對(duì)“有關(guān)運(yùn)動(dòng)變換”、“有關(guān)閱讀、探究、操作”等問題，重點(diǎn)要教給學(xué)生分析和解決這類問題的通用的、簡(jiǎn)單易行的方法. 例如：“運(yùn)動(dòng)變換型”問題一定要多畫圖形來幫助尋找變化規(guī)律，注意一般位置和特殊位置的關(guān)系，并關(guān)注在變化過程中的一些不變的量或不變的關(guān)系；“閱讀、探究、操作”問題通常有定義新概念和定義新方法兩類，要認(rèn)真審題，既要“照貓畫虎”，又要體現(xiàn)虎與貓的“根本區(qū)別”，等等. 舉例：（1）如圖，在ABC中，C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是( )A. B. C. D. 6（2） （學(xué)探診第33頁第6題）已知等腰ABC中，ADBC于D，且AD=AB，則ABC底角的度數(shù)為_（3）（2014門頭溝一模）已知：在ABC中，ABC=ACB=，_點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，_將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與過點(diǎn)A且平行于BC邊的直線交于點(diǎn)E._ 如圖1，當(dāng)=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系；_ _ 如圖2，當(dāng)=45°時(shí)，判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；_ 如圖3，當(dāng)為任意銳角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：_（用含的式子表示,其中）_圖2圖1圖3三. 對(duì)于進(jìn)一步培養(yǎng)和提高解決幾何綜合問題的能力的幾點(diǎn)想法1. 準(zhǔn)確理解和使用定義、定理，重視基本圖形、基本方法及常添輔助線的總結(jié)和歸納，加強(qiáng)基本圖形的識(shí)別（1）部分常用輔助線的作法舉例 與角平分線有關(guān)的輔助線的作法 向角兩邊作垂線段； 作平行線，構(gòu)造等腰三角形； 在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。 與線段長度相關(guān)的輔助線的作法 截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可； 補(bǔ)短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可； 倍長中線：如果出現(xiàn)了三角形的中線，將中線延長一倍，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形； 遇到中點(diǎn)，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。 與等腰、等邊三角形相關(guān)的輔助線的作法 考慮底邊上的三線合一； 旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全等三角形（等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60度）。 與菱形有關(guān)的輔助線的作法 作菱形的高； 連結(jié)菱形的對(duì)角線。 與矩形有關(guān)的輔助線作法 計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理解決問題； 證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線，借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題。 與正方形有關(guān)的輔助線的作法 正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，作正方形對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔助線； 旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等形。 與圓有關(guān)的輔助線的作法 遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問題時(shí)），常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑），或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑（利用垂徑定理；利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量）。 遇到有直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角（利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形）。 遇到90度的圓周角時(shí)，常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)（利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑）。 遇到弦時(shí)，常常連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形；還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)（可得等腰三角形；據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角）。 遇到有切線時(shí)，常常添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）（利用切線的性質(zhì)定理可得直角或直角三角形）。 遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)，若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過圓心作直線的垂線段；若直線過圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑）。 遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)，連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段（利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線；內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等）。 遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)（外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等）。 遇到四邊形對(duì)角互補(bǔ)或兩個(gè)三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí)，常常添加輔助圓（以便利用圓的性質(zhì)）。（2）常添輔助線習(xí)題舉例：【截長補(bǔ)短】（2013朝陽二模）在ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，AE=AB，過點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G，使得EGB=EAB，連接AG. 如圖1，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若EAB=60°，求證：EG =AG+BG； 如圖2，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若EAB= （0º90º），請(qǐng)你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）； 如圖3，當(dāng)EF與CD相交時(shí)，且EAB=90°，請(qǐng)你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3圖2圖1【中位線】（2013順義一模）如圖1，在四邊形中，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長，分別與的延長線交于點(diǎn)，則（不需證明）小明的思路是：在圖1中，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)三角形中位線定理和平行線性質(zhì)，可證得問題：如圖2，在中，點(diǎn)在上，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長，與的延長線交于點(diǎn)，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明【倍長中線】（2013門頭溝二模）已知：在AOB與COD中，OAOB，OCOD， 如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ； 如圖2，將圖1中的COD繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 ()連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由； 如圖3，將圖1中的 COD繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使 COD的一邊OD恰好與AOB的邊OA在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)請(qǐng)你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明【“弦圖”】（2013朝陽一模）閱讀下面材料：圖1圖2小雨遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，直線l1l2l3 ，l1與l2之間的距離是1，l2與l3之間的距離是2，試畫出一個(gè)等腰直角三角形ABC，使三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l1、l2、l3上，并求出所畫等腰直角三角形ABC的面積小雨是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法利用平行線之間的距離，根據(jù)所求圖形的性質(zhì)嘗試用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解決問題具體作法如圖2所示：在直線l1任取一點(diǎn)A，作ADl2于點(diǎn)D，作DAH=90°，在AH上截取AE=AD，過點(diǎn)E作EBAE交l3于點(diǎn)B，連接AB，作BAC=90°，交直線l2于點(diǎn)C，連接BC，即可得到等腰直角三角形ABC請(qǐng)你回答：圖2中等腰直角三角形ABC的面積等于 圖3參考小雨同學(xué)的方法，解決下列問題：如圖3，直線l1l2l3, l1與l2之間的距離是2，l2與l3之間的距離是1,試畫出一個(gè)等邊三角形ABC，使三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l1、l2、l3上，并直接寫出所畫等邊三角形ABC的面積（保留畫圖痕跡）（3）部分常見基本圖形舉例 與相似及圓有關(guān)的基本圖形 正方形中的基本圖形 2. 幾種幾何綜合題中的常見類型【有關(guān)“特殊”與“一般”問題】重視在“變化”中尋找“不變”，在“特殊”與“一般”間進(jìn)行類比（2014門頭溝一模）已知：在ABC中，ABC=ACB=，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與過點(diǎn)A且平行于BC邊的直線交于點(diǎn)E. 如圖1，當(dāng)=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系；_ 如圖2，當(dāng)=45°時(shí)，判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明； 如圖3，當(dāng)為任意銳角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：_（用含的式子表示,其中）圖3圖2圖1解答： BD=AE； BD=AE；理由如下：過點(diǎn)D作DFAC，交BC于FDFAC， ACB=DFC圖2ABC=ACB=，=45°， ABC=ACB=DFB=45°DFB是等腰直角三角形 BD =DF=BF AEBC， ABC+BAE=180°DFB +DFC=180° BAE=DFCABC+BCD=ADC，ABC=CDE=， ADE =BCDADEFCD DFAC， 圖3 BD=AE(3) 補(bǔ)全圖形如圖3，【有關(guān)幾何變換問題】重視變換思想、軌跡思想在解決幾何綜合題中的應(yīng)用 (2014西城一模) 四邊形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF=90°，BE=EFG為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG ，EC 如圖1，若點(diǎn)E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關(guān)系及的值； 將圖1中的BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，在（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由； 將圖1中的BEF，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°<<90°），若BE=1，AB=，備用圖當(dāng)E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線時(shí)，求DF的長及的值.解答: ，； 中的結(jié)論仍然成立證明：取線段BF的中點(diǎn)M，連接EM，MG，BEF是等腰直角三角形，且FME=90° 連接BD，取線段BD的中點(diǎn)N，連接GN，CN，ABCD是正方形， ，且CND=90° G是DF的中點(diǎn)， ，GNFB 1=2同理，MGBD 2=3 ，GNFB1=3 EMG=EMF+1=CND+2=GNC EMGGNC EG=GC EGM=GCN在CNG中，GNC+GCN+CGN=180°3+GCN+CGN=90° 2+EGM+CGN=90°即EGGC, 當(dāng)E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線時(shí)，連接BD. BE=1，AB=， ，BD=在RtBED中， 【有關(guān)作圖問題】重視基本作圖，認(rèn)真審題，準(zhǔn)確作圖，注意作圖過程中的分類討論(2014順義一模) 已知：如圖，中， 請(qǐng)你以MN為一邊，在MN的同側(cè)構(gòu)造一個(gè)與全等的三角形，畫出圖形，并簡(jiǎn)要說明構(gòu)造的方法； 參考中構(gòu)造全等三角形的方法解決下面問題： 如圖，在四邊形ABCD中， 求證：CD=AB解：（1）過點(diǎn)N在MN的同側(cè)作MNR =QMN，在NR上截取NP=MQ，連結(jié)MP即為所求（2）證明：延長BC到點(diǎn)E，使CE=AD，連結(jié)AE，又AD = CE，AC = CA， D=E，CD=AEB=D ， B=E AE =AB CD=AB【有關(guān)閱讀、探究、操作問題】重視仔細(xì)審題，注意提取題目中的關(guān)鍵信息( 2014年河南中考)（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE填空：AEB的度數(shù)為 ；線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 。（2）拓展探究如圖2，ACB和DCE均為等邊三角形，ACB=DCE=900, 點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE。請(qǐng)判斷AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=。若點(diǎn)P滿足PD=1,且BPD=900，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離。解答：解：（1）如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90° ACD=BCE在ACD和BCE中，ACDBCE ADC=BECDCE為等邊三角形， CDE=CED=60°點(diǎn)A，D，E在同一直線上， ADC=120° BEC=120°AEB=BECCED=60° 故答案為：60°ACDBCE， AD=BE 故答案為：AD=BE（2）AEB=90°，AE=BE+2CM 理由：如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形， CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90°ACD=BCE在ACD和BCE中，ACDBCE AD=BE，ADC=BECDCE為等腰直角三角形， CDE=CED=45°點(diǎn)A，D，E在同一直線上， ADC=135° BEC=135°AEB=BECCED=90°CD=CE，CMDE， DM=MEDCE=90°， DM=ME=CM AE=AD+DE=BE+2CM（3）PD=1， 點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上BPD=90°， 點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上 點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在如圖3所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AHBP，垂足為H，過點(diǎn)A作AEAP，交BP于點(diǎn)E，如圖3四邊形ABCD是正方形， ADB=45°AB=AD=DC=BC=，BAD=90°BD=2DP=1， BP=A、P、D、B四點(diǎn)共圓， APB=ADB=45°PAE是等腰直角三角形又BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AHBP，由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD=2AH+1 AH=當(dāng)點(diǎn)P在如圖3所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AHBP，垂足為H，過點(diǎn)A作AEAP，交PB的延長線于點(diǎn)E，如圖3同理可得：BP=2AHPD =2AH1AH=綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或