北京市西城區(qū)中考復(fù)習(xí)《圖形變換》建議講義及練習(xí).doc

北京市西城區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2015-2016學(xué)年度第二學(xué)期初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)圖形變換復(fù)習(xí)建議平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的基本變換. 通過平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換可以使復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化、一般圖形特殊化, 分散條件集中化. 從圖形變換的角度思考問題, 可以整體把握?qǐng)D形的性質(zhì), 解決問題的思路更加簡(jiǎn)明、清晰. 當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)變化的時(shí)候, 從運(yùn)動(dòng)變換的角度分析圖形, 更容易發(fā)現(xiàn)不變量和特殊圖形.一、2016年考試說明的要求 考試內(nèi)容考試要求ABC圖形的變化圖形的平移了解平移的概念; 理解平移的基本性質(zhì). 能畫出簡(jiǎn)單平面圖形平移后的圖形; 能利用平移的性質(zhì)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題. 運(yùn)用平移的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 圖形的軸對(duì)稱了解軸對(duì)稱的概念; 理解軸對(duì)稱的基本性質(zhì); 了解軸對(duì)稱圖形的概念. 能畫出簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形; 探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對(duì)稱性質(zhì); 能利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題. 運(yùn)用軸對(duì)稱的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題圖形的旋轉(zhuǎn)認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn); 理解旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì); 了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念; 理解中心對(duì)稱的基本性質(zhì). 能畫出簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于給定旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)圖形; 探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性質(zhì); 能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題. 運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題二、圖形變換在近年中考中的呈現(xiàn)方式 顯性: 題目以圖形變換的語言敘述或圖形本身具有變換的特征.隱性: 解決問題時(shí)需利用圖形變換的觀點(diǎn)分析和思考, 并能適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造所需圖形.三、對(duì)圖形變換的認(rèn)識(shí)過程 1. 掌握?qǐng)D形變換的概念和性質(zhì); 2. 對(duì)已學(xué)圖形和常用輔助線的再認(rèn)識(shí): (1) 從圖形的構(gòu)成和圖形特點(diǎn)分析圖形的軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性. (2) 從圖形變換的角度分析添加輔助線后構(gòu)造出的圖形性質(zhì). 3. 掌握基本輔助線: (1) 中點(diǎn)、中線中心對(duì)稱倍長(zhǎng)中線中位線(2) 等腰三角形、角平分線、垂直平分線軸對(duì)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短; (3) 平行四邊形、梯形平移; (4) 正多邊形、共端點(diǎn)的等線段旋轉(zhuǎn); 4. 利用圖形變換的觀點(diǎn)分析和思考問題并能適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造特殊圖形. 5. 用變換的性質(zhì)解決坐標(biāo)系中的圖形變換問題, 用變換的觀點(diǎn)研究函數(shù)的平移和對(duì)稱. 四、復(fù)習(xí)建議 1. 基本概念明晰平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)都是全等變換, 只改變圖形的位置, 不改變圖形的形狀和大小. 由于變換方式的不同, 故變換前后具有各自的性質(zhì).(1) 平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)平移軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)相同點(diǎn)都是全等變換, 即變換前后的圖形全等.不同點(diǎn)定義把一個(gè)圖形沿某一方向移動(dòng)一定距離的圖形變換, 叫.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換叫.把一個(gè)圖形繞著某一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫.圖形要素平移方向平移距離對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度性質(zhì)連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行(或共線)且相等.任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等; 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角. 即: 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等. (2) 旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱中心對(duì)稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)180), 滿足旋轉(zhuǎn)的性質(zhì), 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到中心對(duì)稱性質(zhì).旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱圖形性質(zhì)1對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心. 2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱中心所平分.3旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形2. 三種變換之間的一些聯(lián)系.連續(xù)兩次對(duì)稱軸平行的軸對(duì)稱變換可實(shí)現(xiàn)一次平移.以兩垂直直線為對(duì)稱軸, 連續(xù)做軸對(duì)稱變換可實(shí)現(xiàn)中心對(duì)稱變換. 以兩相交直線為對(duì)稱軸, 連續(xù)做軸對(duì)稱變換可實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換. 例: 已知ABC, 直線PQ、PR, 作ABC關(guān)于PQ的對(duì)稱圖形ABC, 再作ABC關(guān)于PR的對(duì)稱圖形ABC, 則ABC與ABC的關(guān)系是以P為中心將ABC旋轉(zhuǎn)2QPR得到ABC . 由此可知, 將一個(gè)圖形關(guān)于兩條相交直線軸對(duì)稱兩次, 則可得到原圖形關(guān)于兩直線交點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)兩倍夾角后的圖形.3. (1) 常見的平移有: 平移梯形的腰、對(duì)角線、高、平行四邊形等. (2) 涉及到“對(duì)稱”均可考慮對(duì)稱變換. 如沿等腰三角形的底邊上的高翻折, 沿角的平分線翻折等. (3) 常用到旋轉(zhuǎn)的有繞等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60, 繞正方形的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90、繞等腰三角形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn), 旋轉(zhuǎn)角等于等腰三角形的頂角等.五、專題復(fù)習(xí)ABCOyx平移變換1. (2011湖北黃岡) 如圖, 把RtABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi), 其中CAB=90, BC=5, 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1, 0) 、(4, 0) , 將ABC沿x軸向右平移, 當(dāng)點(diǎn)C落在直線y=2x-6上時(shí), 線段BC掃過的面積為( C ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 82. 如圖, 在梯形ABCD中, ADBC, B=90, C=45, AD=1, BC=4, E 為AB中點(diǎn), EF /DC交BC于點(diǎn)F, 求EF的長(zhǎng)3. (2007北京) 如圖, 已知ABC. (1) 請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D, E(BC的中點(diǎn)除外) , 連結(jié)AD, AE, 寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件, 并表示出面積相等的三角形; CBDEAABC(2) 請(qǐng)你根據(jù)使(1) 成立的相應(yīng)條件, 證明AB+AC > AD+AE. 4. 如圖, 在RtABC中, AD=BC, CD=BE. 求BOE的度數(shù)? 45BOADCE軸對(duì)稱變換 軸對(duì)稱計(jì)算5. (2014懷柔二模) 如圖(a) , 有一張矩形紙片ABCD, 其中AD=6cm, 以AD為直徑的半圓, 正好與對(duì)邊BC相切,將矩形紙片ABCD沿DE折疊, 使點(diǎn)A落在BC上, 如圖(b), 則半圓被覆蓋部分(陰影部分) 的面積為_.(a)CBFEAADD6. (2012江蘇南京) 如圖, 菱形紙片ABCD中, A=60, 將紙片折疊, 點(diǎn)A、D分別落在A、D 處, 且AD 經(jīng)過B, EF為折痕, 當(dāng)D FCD時(shí), 的值為( A )A. B. C. D. 7. (1) 如圖, 在直角坐標(biāo)系中, 將矩形OABC沿OB對(duì)折, 使點(diǎn)A落在點(diǎn)處, 若OA =, , 則點(diǎn)A 的坐標(biāo)是多少? (,)(2) 如圖, 把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中, 使OA、OC分別落在x軸、y軸上, 連結(jié)OB, 將紙片OABC沿OB折疊, 使點(diǎn)A落在A 的位置, 若OB =, 則點(diǎn)A 的坐標(biāo)是多少? 最短路徑問題 基本圖形已經(jīng)歸納總結(jié)在總復(fù)習(xí)書中8.(2010天津)在平面直角坐標(biāo)系中, 矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn), 頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上, , , D為邊OB的中點(diǎn).ABCODDEyxxyCBDOA() 若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí), 求點(diǎn)的坐標(biāo); (1, 0)() 若、為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), 且, 當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí), 求點(diǎn)、的坐標(biāo). (, 0), (, 0) 9. 如圖1, 已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為1, D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點(diǎn)(均不與點(diǎn)A、B、C重合) , 記DEF的周長(zhǎng)為.(1) 若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點(diǎn), 則=_; (2) 若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點(diǎn), 則的取值范圍是 . p < 3小亮和小明對(duì)第(2) 問中的最小值進(jìn)行了討論, 小亮先提出了自己的想法: 將ABC以AC邊為軸翻折一次得, 再將以為軸翻折一次得, 如圖2所示. 則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知, , 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短, 可得. 老師聽了后說: “你的想法很好, 但的長(zhǎng)度會(huì)因點(diǎn)D的位置變化而變化, 所以還得不出我們想要的結(jié)果.”小明接過老師的話說: “那我們繼續(xù)再翻折3次就可以了”.請(qǐng)參考他們的想法, 寫出你的答案.軸對(duì)稱證明題10. (2012西城)已知: 在如圖1所示的銳角三角形ABC中, CHAB于點(diǎn)H, 點(diǎn)B關(guān)于直線CH的對(duì)稱點(diǎn)為D, AC邊上一點(diǎn)E滿足EDA=A, 直線DE交直線CH于點(diǎn)F(1) 求證: BFAC; (2) 若AC邊的中點(diǎn)為M, 求證: ; (3) 當(dāng)AB=BC時(shí)(如圖2) , 在未添加輔助線和其它字母的條件下, 找出圖2中所有與BE相等的線段, 并證明你的結(jié)論圖2圖1旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換的常見應(yīng)用(一) 以等邊三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題11.如圖, C為BD上一點(diǎn),分別以BC, CD為邊向同側(cè)作等邊ABC與ECD, AD, BE相交于點(diǎn)M.探究線段BE和AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 在圖中你還發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?當(dāng)ECD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí), 線段BE和AD有何關(guān)系. 在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中, 特別是在一些特殊的位置, 你還會(huì)發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論? 有哪些結(jié)論是不隨圖形位置的變化而改變的呢? 如圖, A、D、E在一直線上, ABC、CDE是等邊三角形, 若BE=15cm, AE=6cm, 求CD的長(zhǎng)度及AEB的度數(shù). 9cm, 60ABCDEMABEDCABCDEM12. 如圖, D是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn), 將ADC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn), 使得A、D兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B、E, 則旋轉(zhuǎn)角為_60_, 圖中除ABC外, 還有等邊三角形是_DEC _. 13. 已知E為正ABC內(nèi)任意一點(diǎn). 求證: 以AE、BE、CE為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形. 若BEC=113, AEC=123, 求構(gòu)成三角形的各角度數(shù). 63, 53, 64第13題圖第12題圖14. 如圖, ABC是等邊三角形, BM = 2, CM = 3, 求AM的最大值、最小值. 5, 1MCABMMCBA(二) 以正方形或等腰直角三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題15. 如圖, B,C,E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn), 四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形. 連接BG,DE. (1) 探究BG與DE之間的大小關(guān)系, 并證明你的結(jié)論; (2) 當(dāng)正方形CEFG繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí), 線段BG和ED有何關(guān)系? 在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中, 特別是在一些特殊的位置, 你還會(huì)發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論? 有哪些結(jié)論是不隨圖形位置的變化而改變的呢? ABCDEFGABCDEFG圖圖16. 如圖1, 已知點(diǎn)D在AC上, ABC和ADE都是等腰直角三角形, 點(diǎn)M為EC的中點(diǎn). (1) 求證: BMD為等腰直角三角形. (2) 將ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn), 如圖2, (1)中的“BMD為等腰直角三角形”成立嗎?. (3) 我們是否可以猜想, 將ADE繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度, 如圖3, (1)中的“BMD為等腰直角三角形”均成立？(不用說明理由) . 圖3圖2圖1(三) 以一般等腰三角形為背景的旋轉(zhuǎn)問題ABCPQ17. (1)如圖, 已知在ABC中, AB=AC, P是ABC內(nèi)部任意一點(diǎn), 將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ, 使QAP =BAC, 連接BQ、CP. 求證: BQ = CP. ABCPQ(2) 如圖,將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外, (1)中的條件不變, “BQ=CP” 還成立嗎? 圖圖18. 在等腰ABC中, AB=AC, D是ABC內(nèi)一點(diǎn), ADB =ADC. 求證: DBC =DCB. 小結(jié): (1) 只要圖形中存在公共端點(diǎn)的等線段, 就可能形成旋轉(zhuǎn)型問題.(2) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是60時(shí), 作一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形的存在等邊三角形; 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是90時(shí), 存在等腰直角三角形. 反之, 如果圖形中存在兩個(gè)等邊三角形或等腰直角三角形, 可以從圖形旋轉(zhuǎn)的角度分析圖形關(guān)系.旋轉(zhuǎn)變換在綜合題中的應(yīng)用19. 在RtABC中, ACB=90, tanBAC = , 點(diǎn)D在邊AC上(不與A, C重合) , 連結(jié)BD, F為BD中點(diǎn).(1) 若過點(diǎn)D作DEAB于E, 連結(jié)CF、EF、CE, 如圖1 設(shè), 則k = ; 1(2) 若將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn), 使得D、E、B三點(diǎn)共線, 點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn), 如圖2所示. 求證: BE - DE = 2CF; (3) 若BC=6, 點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處, 將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn), 點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn), 求線段CF長(zhǎng)度的最大值. 4 20. ABC和DBE是繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)相似三角形, 其中ABC與DBE、A與D為對(duì)應(yīng)角. (1) 如圖1, 若ABC和DBE分別是以ABC與DBE為頂角的等腰直角三角形, 且兩三角形旋轉(zhuǎn)到使點(diǎn)B、C、D在同一直線上的位置時(shí), 請(qǐng)直接寫出線段AD與線段EC的關(guān)系; 垂直相等ABCDE(2) 若ABC和DBE為含有30角的兩直角三角形, 且兩個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí), 試確定線段AD與EC線段的關(guān)系, 并說明理由; ADEC, 圖2圖3圖1ABCDE3030ABEDC(3) 若ABC和DBE為如圖3的兩個(gè)三角形, 且ACB = a, BDE = b, 在繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中, 直線AD與EC夾角的度數(shù)是否改變? 若不改變, 直接寫出用含a、b 的式子表示夾角的度數(shù); 若改變, 請(qǐng)說明理由. 180 21. (2008北京) 請(qǐng)閱讀下列材料: 問題: 如圖1, 在菱形ABCD和菱形BEFG中, 點(diǎn)A, B, E在同一條直線上, P是線段DF的中點(diǎn), 連結(jié)PG, PC. 若ABC = BEF = 60, 探究PG與PC的位置關(guān)系及的值. 小聰同學(xué)的思路是: 延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H, 構(gòu)造全等三角形, 經(jīng)過推理使問題得到解決. 請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路, 探究并解決下列問題: (1) 寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及的值; (2) 將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn), 使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上, 原問題中的其他條件不變(如圖2) . 你在(1) 中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化? 寫出你的猜想并加以證明. (3) 若圖1中ABC =BEF = 2 (0 < < 90), 將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度, CBGFAPDE原問題中的其他條件不變, 請(qǐng)你直接寫出的值(用含的式子表示) . CBFEAPDG圖2圖1函數(shù)與變換1 xy -1 O1234-2-4-1-32 34 -2 -3 -4 22. (2014房山二模) 已知關(guān)于x的一元二次方程x2 3x + k 1 = 0有實(shí)數(shù)根, k為正整數(shù).(1) 求k的值; (2) 當(dāng)此方程有兩個(gè)不為0的整數(shù)根時(shí), 將關(guān)于x的二次函數(shù)y = x2 3x + k 1的圖象向下平移2個(gè)單位, 求平移后的函數(shù)圖象的解析式; (3) 在(2) 的條件下, 將平移后的二次函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)的部分沿x軸翻折, 圖象的其余部分保持不變, 得到一個(gè)新的圖象G. 當(dāng)直線 y = 5x + b與圖象G有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí), 請(qǐng)你直接寫出b的取值范圍.23. (2012北京)已知二次函數(shù)在與的函數(shù)值相等. (1) 求二次函數(shù)的解析式; (2) 若一次函數(shù)y = kx + 6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(, ) , 求m與k的值; (3) 設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B, C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè) ) , 將二次函數(shù)的圖象B, C間的部分(含點(diǎn)B和點(diǎn)C) 向左平移n () 個(gè)單位后得到的圖象記為G, 同時(shí)將(2) 中得到的直線y = kx + b向上平移n個(gè)單位. 請(qǐng)結(jié)合圖象回答: 平移后的直線與圖象G有公共點(diǎn)時(shí), n的取值范圍. 24. (2014豐臺(tái)二模) 如圖, 經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線 y = -x2 + bx (b > 2) 與x軸的另一交點(diǎn)為A, 過點(diǎn)P(1, ) 作直線PNx軸于點(diǎn)N, 交拋物線于點(diǎn)B. 點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C. 連結(jié)CB, CP.(1) 當(dāng)b = 4時(shí), 求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng); (2) 連結(jié)CA, 求b的適當(dāng)?shù)闹? 使得CACP; (3) 當(dāng)b = 6時(shí), 如圖2, 將CBP繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn), 得到CBP, CP與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E, 點(diǎn)M為線段BP (包含端點(diǎn)) 上任意一點(diǎn), 請(qǐng)直接寫出線段EM長(zhǎng)度的取值范圍.圖2圖1