2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.9.3 圓錐曲線的范圍問(wèn)題練習(xí) 理 北師大版

10.9.3 圓錐曲線的范圍問(wèn)題核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一幾何法求范圍 1.直線l1:mx-y+m=0與直線l2:x+my-1=0的交點(diǎn)為Q,橢圓+y2=1的焦點(diǎn)為F1,F2,那么|QF1|+|QF2|的取值范圍是()A.2,+)B.2,+)C.2,4D.2,42.橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為 F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于 A,B兩點(diǎn).假設(shè)|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于,那么橢圓E的離心率的取值范圍是() A. 0,B.0,C. ,1D.,13.過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn),那么此雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi). 【解析】1.選D.橢圓+y2=1的焦點(diǎn)為:F1(-,0),F2(,0),由l1與l2方程可知l1l2,直線l1:mx-y+m=0與直線l2:x+my-1=0的交點(diǎn)為Q,且兩條直線分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-1,0),(1,0),所以它們的交點(diǎn)Q滿足:x2+y2=1(x-1),當(dāng)Q與(1,0)重合時(shí),|QF1|+|QF2|取最小值為|F1F2|=2,當(dāng)Q與短軸端點(diǎn)重合時(shí),|QF1|+|QF2|取最大值為2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范圍是2,4.2.選A.不妨設(shè)M(0,b),點(diǎn)M到直線l的距離d=,即b1,所以e2=1-1-=,所以0<e,即e的取值范圍是0,.【一題多解】選A.記橢圓的左焦點(diǎn)為F1,M為上頂點(diǎn),連接AF1,BF1,過(guò)M作l的垂線,垂足為N,由4a=|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4+4=8,所以a=2,直線l的斜率k=tanAOF=,所以cos AOF= ,又OMN=AOF,所以cosOMN=,|MN|=b,所以b1,e2=1-1-=,所以0<e,即e的取值范圍是0,.3.由過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn),可得<2.所以e=<=,因?yàn)閑>1,所以1<e<,所以此雙曲線離心率的取值范圍為(1,).答案:(1,)1.當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯表達(dá)幾何特征和意義,那么考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決.2.利用圓錐曲線的定義、幾何意義等轉(zhuǎn)化為平面圖形中的范圍問(wèn)題,然后利用平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解.考點(diǎn)二代數(shù)法求范圍問(wèn)題 命題精解讀1.考什么:(1)范圍問(wèn)題主要有:涉及距離、面積的范圍以及與之相關(guān)的一些范圍問(wèn)題;求直線或圓錐曲線中幾何元素的范圍;求目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍.(2)考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想等.2.怎么考:以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為背景,考查參數(shù)取值范圍或目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題.3.新趨勢(shì):范圍問(wèn)題與不等式、函數(shù)值域等問(wèn)題相結(jié)合.學(xué)霸好方法1.解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題的5種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.2.交匯問(wèn)題: 與不等式、函數(shù)問(wèn)題交匯時(shí),要注意參數(shù)取值范圍的限制對(duì)解不等式、求函數(shù)值域的影響.構(gòu)造不等式求范圍【典例】(2021·宜昌模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的方程為+=1(a>b>0),左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,R為短軸的一個(gè)端點(diǎn),且RF1F2的面積為.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓C上異于A,B的一點(diǎn),且直線PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=-.(1)求a,b的值.(2)設(shè)Q為橢圓C上位于x軸上方的一點(diǎn),且QF1x軸,M,N為橢圓C上不同于Q的兩點(diǎn),且MQF1=NQF1,設(shè)直線MN與y軸交于點(diǎn)D(0,d),求d的取值范圍.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)求參數(shù)a,b點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化kPAkPB=-,結(jié)合RF1F2的面積列出方程組求解(2)設(shè)直線QM的方程將兩角相等轉(zhuǎn)化為兩直線QM,QN斜率之間的關(guān)系求直線MN的斜率將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,分別求出M、N點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線MN的斜率.求d所滿足的不等式將直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立,由位置關(guān)系列出不等關(guān)系解不等式求范圍解所得不等式即可求得d的取值范圍【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),P(x2,y2),那么B(-x1,-y1),進(jìn)一步得,+=1,+=1,兩個(gè)等式相減得,+=0,所以·=-,所以kPA·kPB=-,因?yàn)閗PA·kPB=-,所以-=-,即=,設(shè)b=t,a=2t(t>0),因?yàn)閍2=b2+c2,所以c=t,由RF1F2的面積為得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.(2)設(shè)直線QM的斜率為k,因?yàn)镸QF1=NQF1,所以QM,QN關(guān)于直線QF1對(duì)稱,所以直線QN的斜率為-k,算得F1(-1,0),Q,所以直線QM的方程是y-=k(x+1),設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4)由 消去y得,(3+4k2)x2+(12+8k)kx+(4k2+12k-3)=0,所以-1·x3=,所以x3=,將上式中的k換成-k得,x4=,所以kMN=-,所以直線MN的方程是y=-x+d,代入橢圓方程+=1得,x2-dx+d2-3=0,所以=(-d)2-4(d2-3)>0,所以-2<d<2,又因?yàn)镸N在Q點(diǎn)下方,所以>-×(-1)+d,所以-2<d<1.構(gòu)造函數(shù)法求范圍【典例】(2021·日照模擬)點(diǎn)E,F分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),假設(shè)EF與圓x2+y2=相切于點(diǎn)T,且點(diǎn)T是線段EF靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線l:y=kx+m與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)P在第二象限,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與l垂直的直線l與圓x2+y2=8相交于A,B兩點(diǎn),求PAB面積的取值范圍.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)求參數(shù)a,b根據(jù)分別求出a,b的值.(2)建立k,m的關(guān)系式直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用方程只有一解即可建立兩者的關(guān)系式求P到直線l的距離求P點(diǎn)坐標(biāo),代入距離公式求解表示PAB面積利用三角形面積公式建立目標(biāo)函數(shù)求取值范圍根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,利用根本不等式求解最值,從而確定其取值范圍【解析】(1) OT2=ET·TF=a·a=,a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)由得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2-6=0,因?yàn)橹本€l:y=kx+m與橢圓C相切于點(diǎn)P, 所以=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-6)=12(6k2+2-m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=,y=,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為,因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限,所以k>0,m>0,所以m=,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為,設(shè)直線l與l垂直交于點(diǎn)Q,那么|PQ|是點(diǎn)P到直線l的距離,設(shè)直線l的方程為y=-x,那么|PQ|=,所以SPAB=×4×|PQ|=4-4,當(dāng)且僅當(dāng)3k2=,即k2=時(shí),取得最大值4-4,所以PAB面積的取值范圍為(0,4-4.1.橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2,且C與y軸交于A(0,-1),B(0,1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)P點(diǎn)是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在y軸的右側(cè),直線PA,PB與直線x=3交于M,N兩點(diǎn).假設(shè)以MN為直徑的圓與x軸交于E,F兩點(diǎn),求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【解析】(1)由題意可得,b=1,c=,所以a=2, 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)方法一:設(shè)P(x0,y0)(0<x02),A(0,-1),B(0,1), 所以kPA=,直線PA的方程為y=x-1,同理得直線PB的方程為y=x+1,直線PA與直線x=3的交點(diǎn)為M,直線PB與直線x=3的交點(diǎn)為N,線段MN的中點(diǎn),所以圓的方程為(x-3)2+=.令y=0,那么(x-3)2+=, 因?yàn)?=1,所以(x-3)2=-,因?yàn)檫@個(gè)圓與x軸相交,所以該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,那么->0,又0<x02,解得x0.方法二:由題意設(shè)直線AP的方程為y=k1x-1(k1>0),與橢圓x2+4y2=4聯(lián)立得:(1+4)x2-8k1x=0,xP=,同理設(shè)直線BP的方程為y=k2x+1,可得xP=,由=,可得4k1k2=-1,所以M(3,3k1-1),N(3,3k2+1),MN的中點(diǎn)為,所以以MN為直徑的圓為(x-3)2+=.當(dāng)y=0時(shí),(x-3)2+=,所以(x-3)2=,因?yàn)镸N為直徑的圓與x軸交于E,F兩點(diǎn),所以>0,代入4k1k2=-1得:<0,所以<k1<, 所以xP=在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以xP.2.(2021·焦作模擬)橢圓C:+=1與直線l1交于A,B兩點(diǎn),l1不與x軸垂直,圓M:x2+y2-6y+8=0.(1)假設(shè)點(diǎn)P在橢圓C上,點(diǎn)Q在圓M上,求|PQ|的最大值.(2)假設(shè)過(guò)線段AB的中點(diǎn)E且垂直于AB的直線l2過(guò)點(diǎn),求直線l1的斜率的取值范圍.【解析】(1)依題意,圓M:x2+y2-6y+8=0,即圓M:x2+(y-3)2=1,圓心為M(0,3).所以|PQ|PM|+1.設(shè)P(x,y),那么|PM|2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9.(*)而+=1,所以x2=4-.代入(*)中,可得|PM|2=4-+y2-6y+9=-6y+13,y-,.所以|PM=12+6,即|PM|max=3+,所以|PQ|max=4+.(2)依題意,設(shè)直線l1:y=kx+m.由 消去y整理得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0.因?yàn)橹本€與橢圓交于不同的兩點(diǎn),所以=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,整理得m2<4k2+3.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=-,x1x2=.設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x0,y0),那么x0=-,所以y0=kx0+m=-+m=,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為.所以直線l2的斜率為k=.又直線l1和直線l2垂直,那么·k=-1,所以m=-.將m=-代入式,可得<4k2+3.解得k>或k<-.所以直線l1的斜率的取值范圍為.1.(2021·南昌模擬)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),假設(shè)kOM·kON=,求原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍.【解析】(1)由題知e=,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,依題意,=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化簡(jiǎn)得m2<4k2+1,x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.假設(shè)kOM·kON=,那么=,即4y1y2=5x1x2,所以(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,所以(4k2-5)·+4km·+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化簡(jiǎn)得m2+k2=,由得0m2<,<k2.因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離d=,所以d2=-1+,又<k2,所以0d2<,所以原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍是.2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓C上一點(diǎn),且PF2垂直于x軸,連接PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q,設(shè)PQ=F1Q.(1)假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,求橢圓C的方程及的值.(2)假設(shè)45,求橢圓C的離心率的取值范圍.【解題指南】(1)把P的坐標(biāo)代入方程得到+=1,結(jié)合a2-b2=4解出a,b后可得標(biāo)準(zhǔn)方程.求出直線PF1的方程,聯(lián)立橢圓方程和直線方程后可求Q的坐標(biāo),故可得的值.(2)因?yàn)镻,故可用a,b,c,表示Q的坐標(biāo),利用它在橢圓上可得與a,b,c的關(guān)系,化簡(jiǎn)后可得與離心率e的關(guān)系,由的范圍可得e的范圍.【解析】(1)因?yàn)镻F2垂直于x軸,且點(diǎn)P的坐標(biāo)為,所以a2-b2=c2=4,+=1,解得a2=16,b2=12,所以橢圓的方程為+=1.所以F1,直線PF1的方程為y=,將y=代入橢圓C的方程,解得xQ=-,所以=.(2)因?yàn)镻F2x軸,不妨設(shè)P在x軸上方,P,y0>0,設(shè)Q,因?yàn)镻在橢圓上,所以+=1,解得y0=,即P.因?yàn)镕1,由PQ=F1Q得,c-x1=,-y1=-y1,解得x1=-c,y1=-,所以Q.因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,所以e2+=1,即e2+=,所以(+2)e2=-2,從而e2=.因?yàn)?5,所以e2.解得e,所以橢圓C的離心率的取值范圍為.- 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