數(shù)學(xué)第三篇 攻堅克難 壓軸大題多得分 第30練 圓錐曲線的熱點問題 文

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1、第30練圓錐曲線的熱點問題第三篇攻堅克難壓軸大題多得分明考情圓錐曲線的熱點問題作為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的延伸與深化，是高考的必考點，高考中常選取其中一個熱點問題作為圓錐曲線的壓軸題目.知考向1.范圍與最值問題.2.定值、定點問題.3.探索性問題.研透考點核心考點突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點核心考點突破練考點一范圍與最值問題方法技巧方法技巧圓錐曲線的最值和范圍問題解題常見思路(1)利用判別式來構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立相關(guān)關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范

2、圍.(4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.1234所以點E的軌跡是以點C，A為焦點的橢圓，1.已知點A(1，0)，點M是圓C：(x1)2y28上的任意一點，線段MA的垂直平分線與直線CM交于點E.(1)求點E的軌跡方程；解答(2)若直線ykxm與點E的軌跡有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)m的取值范圍.1234解答消去y，得(2k21)x24kmx2m220，0，m22k21.因為點O在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，12341234(1)求實數(shù)m的取值范圍；1234解答解解由題意知m0，12341234

3、(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點).1234解答1234解答(1)若x軸與以AB為直徑的圓相切，求該圓的方程；由6432b0，解得b2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b.12341234解答(2)若直線l與y軸負(fù)半軸相交，求AOB(O為坐標(biāo)原點)面積的最大值.解解因為直線與y軸負(fù)半軸相交，所以b0.又直線與拋物線交于兩點，由(1)知b2，所以2b0，1234當(dāng)b變化時，g(b)，g(b)的變化情況如下表：12341234解答(1)求橢圓E的方程；1234解答解解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知0，1234123412341234考點二定值、

4、定點問題方法技巧方法技巧(1)定點問題的常見解法假設(shè)定點坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求定點；從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意.(2)定值問題的常見解法從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.5.(2017全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)為(0，1).當(dāng)m變化時，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；解解不能出現(xiàn)ACBC的情況.理由如下：設(shè)A(x1，0)

5、，B(x2，0)，則x1，x2滿足x2mx20，所以x1x22.又點C的坐標(biāo)為(0，1)，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.5678解答5678證明(2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.由(1)可得x1x2m，56785678即過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.56786.已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點O，其圖象關(guān)于y軸對稱且經(jīng)過點M(2，1).(1)求拋物線C的方程；解解設(shè)拋物線C的方程為x22py(p0)，由點M(2，1)在拋物線C上，得42p，則p2，拋物線C的方程為x24y.解答(2)若一個等邊三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另兩個頂點在拋物線上，求該等邊三角形的面

6、積；5678解答解解設(shè)該等邊三角形OPQ的頂點P，Q在拋物線上，且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP0，yQ0，則yPyQ，|xP|xQ|，即線段PQ關(guān)于y軸對稱.5678(3)過點M作拋物線C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k22時，試證明直線AB的斜率為定值，并求出該定值.解解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x212，5678解答5678解答(1)求C的方程；解解由于P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點.所以點P2在橢圓C上.56785678(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交

7、于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.證明證明證明設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，5678當(dāng)且僅當(dāng)m1時，0，所以l過定點(2，1).5678(1)求橢圓E的方程；因為拋物線y24x的焦點是(1，0)，所以c1.5678解答5678證明證明證明設(shè)切點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l上一點M的坐標(biāo)為(4，t)，又兩點確定唯一的一條直線，顯然對任意實數(shù)t，點(1，0)都適合這個方程

8、，故直線AB恒過定點C(1，0).5678考點三探索性問題方法技巧方法技巧探索性問題的求解方法(1)處理這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若推出與已知、定理或公理相符的結(jié)論，則存在性得到肯定；若導(dǎo)致矛盾，則否定存在性.若證明某結(jié)論不存在，也可以采用反證法.(2)采用特殊化思想求解，即根據(jù)題目中的一些特殊關(guān)系，歸納出一般結(jié)論，然后進(jìn)行證明，得出結(jié)論.(1)求橢圓E的方程；9101112解答又a2b2c24，abc0，91011129101112解答解解當(dāng)直線l與x軸垂直時不滿足條件.故可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為yk(x

9、2)1，代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，91011124(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，910111210.(2016全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.9101112解答又N為M關(guān)于點P的對稱點，代入y22px，整理得px22t2x0，9101112(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由.解解直線MH與C除H以外沒有其他公共點，理由如下：9

10、101112代入y22px，得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點.解答9101112(1)當(dāng)k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；解答9101112(2)y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有OPMOPN？說明理由.解解存在符合題意的點，理由如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.當(dāng)ba時，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點P(0，

11、a)符合題意.解答9101112(1)求橢圓C的方程；9101112解答所以a22，c1.9101112(2)已知直線xym0與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的中點不在圓x2y21內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.9101112解答設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，9101112因為MN的中點不在圓x2y21內(nèi)，91011129101112解答解解假設(shè)存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過該定點.當(dāng)ABx軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2y21；當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時，9101112設(shè)A(x3，y3)，B(x4，y4)，綜上，存在定點Q(0，1)，使以AB為直徑的圓恒過這個定點.91011

12、12規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；模板體驗審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)評分標(biāo)準(zhǔn)(1)證明證明設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).2分將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.6分(2)解解四邊形OAPB能為平行四邊形.7分所以l不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k0，k3.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為xP

13、，四邊形OAPB為平行四邊形， 當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分， 即xP2xM.因為ki0，ki3，i1，2，構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步先假定先假定：假設(shè)結(jié)論成立.第二步再推理再推理：以假設(shè)結(jié)論成立為條件，進(jìn)行推理求解.第三步下結(jié)論下結(jié)論：若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立則肯定假設(shè)；若推出矛盾則否定假設(shè).第四步再回顧再回顧：查看關(guān)鍵點，易錯點(特殊情況、隱含條件等)，審視解題規(guī)范性.(1)求橢圓C1的方程；規(guī)范演練2DEFS2DEFS12345解答(2)在橢圓C1落在第一象限的圖象上任取一點作C1的切線l，求l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值.12345解答解解l與橢圓C1相切于第一象限內(nèi)

14、的一點，直線l的斜率必存在且為負(fù).設(shè)直線l的方程為ykxm(k0)，根據(jù)題意可得方程有兩相等實根，1234512345l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為2.(1)求點P的軌跡方程；解解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，因此點P的軌跡方程為x2y22.12345解答12345證明又由(1)知m2n22，故33mtn0，證明證明由題意知F(1，0).設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.12345(1)求橢圓C的方程；12345解答(2)設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|BM|為

15、定值.12345證明證明證明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).1234512345當(dāng)x00時，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值.(1)求橢圓M的方程；12345解答解解由已知，得a2b252，由點A(0，a)，B(b，0)知，12345所以a216，b29，c21697.(2)證明：直線l與x軸交于定點，并求出定點的坐標(biāo).12345解答解解由(1)知P(3，0)，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，整理，得(16m29)y232mny16n21440，因為以CD為直徑的圓過橢圓的右頂點P，所以(x13)(x23)y1y20.又x1my1n，x2my2n，12345所以(my1n3)(my2n3)y1y20，整理，得(m21)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20，易知n3，所以16(m21)(n3)32m2n(16m29)(n3)0，1234512345解答(1)求橢圓E的方程；解解由已知，得點C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)，1234512345解答解解當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，其判別式(4k)28(2k21)0，1234512345當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，