高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第4章 拓展資料：定積分問題的常見題型解析

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1、 有關(guān)定積分問題的常見題型解析 定積分是高中課程中新增加的內(nèi)容，對函數(shù)進行積分運算這類題目占有非常重要的地位，它能解決很多實際應(yīng)用問題。在解題時也會出現(xiàn)很多問題，下面研究一下有關(guān)定積分的問題的常見題型及注意的一些問題。 題型一 用定義求定積分 例1、用定義求。 分析：利用定義求定積分可分為四步：分割，近似代替，求和，取極限，按步驟求解 。 解：（1）分割[0，1]：。 （2）作和　。（因為x連續(xù)，所以可隨意取而不影響極限，故我們此處將取為[x，x]的右端點也無妨。） （3）取極限 。（此處用到了求和公式 。） 因此＝。 評注：求定積分四個步驟：分割、近似代替、求和、取

2、極限，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是求和。體現(xiàn)的基本思想就是先分后合，化曲為直，通過取極限，形成整體圖形的面積。 題型二 利用微積分基本定理求積分 例2、求下列定積分： （1） （2） 分析：根據(jù)求導(dǎo)數(shù)與求原函數(shù)互為逆運算，找到被積函數(shù)得一個原函數(shù)，利用微積分基本公式代入求值。 解：（1）因為， 所以==。 （2）因為，， 所以 =。 評注：利用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找出的函數(shù)。通常我們可以運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則從反方向上求出，即正確運用求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算互為逆運算的關(guān)系。 題型三 利用定積分求平面圖形的面積 例3　如圖　，求直線y=2x+3

3、與拋物線y=x所圍成的圖形面積。 分析：從圖形可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個梯形與一個曲邊梯形面積的差，進而可以用定積分求出面積。為了確定出被積函數(shù)和積分和上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點的橫坐標(biāo)。 解：由方程組，可得。故所求圖形面積為： S＝－＝（x＋3x）。 評注：求平面圖形的面積的一般步驟：⑴畫圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形；⑵對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上、下限；⑶確定被積函數(shù)；⑷求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值之和。 關(guān)鍵環(huán)節(jié)：①認(rèn)定曲邊梯形，選定積分變量；②確定被積函數(shù)和積分上下限。 知識小結(jié)：幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法：

4、 （1）由三條直線x=a、x=b（a＜b）、x軸，一條曲線y=（≥0）圍成的曲邊梯形的面積： S＝，如圖1。 （2）由三條直線x=a、x=b（a＜b）、x軸，一條曲線y=（≤0）圍成的曲邊梯形的面積： S＝，如圖2。 （3）由兩條直線x=a、x=b（a＜b）、兩條曲線y=、y=（）圍成的平面圖形的面積：S＝，如圖3。 題型四 解決綜合性問題 例4、在曲線（x≥0）上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為。試求：（1）切點A的坐標(biāo)；（2）過切點A的切線方程。 分析：設(shè)出切點A的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出切線方程，然后利用定積分求出所圍成平面圖形的面積，從而確定切點A的坐標(biāo)，使問題解決。 解：如圖， 設(shè)切點A（），由＝2x，過A點的切線方程為 y－y＝2x（x－x）,即y＝2xx－x。 令y＝0,得x=。即C（，0）。 設(shè)由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S，S＝S－S。 S＝，　 S＝｜BC｜·｜AB｜＝（x－）·x＝x， 即：S＝x－x＝x＝。 所以x=1，從而切點A（1,1）,切線方程為y=2x－1。 評注：本題將導(dǎo)數(shù)與定積分聯(lián)系起來，解題的關(guān)鍵是求出曲線三角形AOC的面積。