高考數(shù)學(xué)試題匯編：第15章 新增內(nèi)容和創(chuàng)新題目第2節(jié) 幾何證明

第十五章 新增內(nèi)容和創(chuàng)新題目二、幾何證明【考題分類】（一）填空題（共9題）1.（北京卷理12）如圖，的弦ED，CB的延長線交于點(diǎn)A。若BD AE，AB4, BC2, AD3,則DE ；CE ?！敬鸢浮?，解析：首先由割線定理不難知道，于是，又，故為直徑，因此，由勾股定理可知，故2.（廣東卷理14）如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點(diǎn)P，PD=，OAP=30°，則CP_.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，由垂徑定理知， .在中，.由相交線定理知，即，所以 3.（廣東卷文14）如圖3，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD=a，CD=，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF= .解：連結(jié)DE，可知為直角三角形。則EF是斜邊上的中線，等于斜邊的一半， EF=.4.（湖南卷理10）如圖1所示，過外一點(diǎn)P作一條直線與交于A，B兩點(diǎn)，已知PA2，點(diǎn)P到的切線長PT 4，則弦AB的長為_.【答案】6【解析】根據(jù)切線長定理所以【命題意圖】本題考察平面幾何的切線長定理，屬容易題。5. （湖北卷理15）設(shè)a>0,b>0,稱為a，b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC=a，CB=b，O為AB中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓。過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D。連結(jié)OD，AD，BD。過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E。則圖中線段OD的長度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長度是a,b的幾何平均數(shù)，線段 的長度是a,b的調(diào)和平均數(shù)?！敬鸢浮緾D CE【解析】在RtADB中DC為高，則由射影定理可得，故，即CD長度為a,b的幾何平均數(shù)，將OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的長度為a,b的調(diào)和平均數(shù).6.（陜西卷理15B）如圖，已知RtABC的兩條直角邊AC,BC的長分別為3cm,4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則 【解析】（方法一）易知，又由切割線定理得，.于是，.故所求.（方法二）連，易知是斜邊上的高，由射影定理得，.故所求.【試題評析】本題主要考查平面幾何中的直線與圓的綜合，要注意有關(guān)定理的靈活運(yùn)用.7.（陜西卷文15B）如圖，已知RtABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD cm.【答案】 cm【解析】易知，又由切割線定理得，.8.（天津卷理14）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P，若,則的值為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)锳BCD四點(diǎn)共圓，所以PCB，CDA=PBC，因?yàn)镻為公共角，所以，所以，設(shè)PC=x，PB=y，則有，即，所以=?！久}意圖】本題考查四點(diǎn)共圓與相似三角形的性質(zhì)。9.（天津卷文11）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P。若PB=1，PD=3，則的值為 。【答案】【解析】因?yàn)锳BCD四點(diǎn)共圓，所以PCB，CDA=PBC，因?yàn)镻為公共角，所以，所以，所以=?！久}意圖】本題考查四點(diǎn)共圓與相似三角形的性質(zhì)。（二）解答題（共3題）1.（江蘇卷21）AB是O的直徑，D為O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證：AB=2BC 解析 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結(jié)OD，則：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）證明：連結(jié)OD、BD。因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以ADB=900，AB=2 OB。因?yàn)镈C 是圓O的切線，所以CDO=900。又因?yàn)镈A=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。2.（遼寧卷理22）如圖，的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E（I）證明：（II）若的面積，求的大小。3.（全國新卷理22文22）如圖：已知圓上的弧，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于 E點(diǎn)，證明：（）=。（）=BE · CD。解：（I）因?yàn)?所以.又因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，故，所以.（II）因?yàn)?所以，故，即.