人教高中數(shù)學(xué)選修 曲邊梯形的面積教學(xué)

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1人教高中數(shù)學(xué)選修人教高中數(shù)學(xué)選修 曲邊梯形的面積教學(xué)曲邊梯形的面積教學(xué) 第1頁/共35頁第2頁/共35頁第3頁/共35頁問題二：如何求出下列圖形的面積？xyoBA 從中你有何從中你有何啟示？啟示？“分割分割”得到熟悉得到熟悉 的圖形的圖形第4頁/共35頁將圓分成將圓分成16等份等份第5頁/共35頁長長(a)(b)寬寬平分平分16等份等份平分平分32等份等份第6頁/共35頁rC2 2r r因?yàn)橐驗(yàn)? 長方形面積長方形面積 = 長長 寬寬所以所以: 圓圓 的的 面面 積積 = r r 22r2 2=r r第7頁/共35頁三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可

2、割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽當(dāng)邊數(shù)n無限增大時(shí)，正n邊形面積無限逼近圓的面積第8頁/共35頁三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽當(dāng)邊數(shù)n無限增大時(shí)，正n邊形面積無限逼近圓的面積第9頁/共35頁“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：劉徽在九章算術(shù)注中講到劉徽當(dāng)邊數(shù)n無限增大時(shí)，正n邊形面積無限逼近圓的面積第10頁/共35頁ABC曲邊梯形曲邊梯形第11頁/共35頁 1.曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線，直線x=a、x=b及及x x軸所

3、圍成的圖形叫做曲邊軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x=ax=b第12頁/共35頁 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線L來代替點(diǎn)來代替點(diǎn)P附附近的曲線，也就是說：在點(diǎn)近的曲線，也就是說：在點(diǎn)P附近，曲線可以附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）P放大放大再放大再放大PP第13頁/共35頁 y = f(x)bax yO A1A A1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A A，得得第14頁/共35頁A A1+ A

4、2用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A，得 y = f(x)bax yOA1A2第15頁/共35頁A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4第16頁/共35頁 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊于是曲邊梯形的面積梯形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 第17頁/共35頁?0, 1:2Sx

5、yxxy積面軸所圍成的平面圖形的，與直線如何求拋物線形下面先研究一個(gè)特殊情ox1y2xy S?問題面積直邊圖形題轉(zhuǎn)化為求的問這個(gè)曲邊多邊形面積能否將求主要區(qū)別是什么的直邊圖形與我們熟悉的左圖中的曲邊多邊形思考S第18頁/共35頁ox1y2xy S影部分面積求圖中陰曲邊形的方法逼近比如矩形用直邊形,)(的思想以直代曲啟發(fā)啟發(fā)第19頁/共35頁為了計(jì)算曲邊三角形的面積為了計(jì)算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲，將它分割成許多小曲邊梯形邊梯形方案方案1方案方案2方案方案3ox1y2xy n1ini對任意一個(gè)小曲邊梯形，用對任意一個(gè)小曲邊梯形，用“直邊直邊”代替代替“曲邊曲邊”（即（即在很小范圍內(nèi)

6、以直代曲），有以下三種方案在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下三種方案“以直代以直代曲曲” 。第20頁/共35頁 oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo根據(jù)方案一，分割越細(xì)，面積的近似值根據(jù)方案一，分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S。第一種方案第一種方案“以直代曲以直代曲”的具體操作過程的具體操作過程第21頁/共35頁（1 1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等分成n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1

7、inix 每個(gè)區(qū)間的長度為過各區(qū)間端點(diǎn)作過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個(gè)小個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作曲邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 第22頁/共35頁35.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1圖圖n1i nix12xy yo 軸的直線段近似用平行于就是從圖形上看值處的函數(shù)等于左端點(diǎn)不妨認(rèn)為它近似地個(gè)常數(shù)近似等于一的值變化很小可以認(rèn)為函數(shù)上在區(qū)間很小時(shí)即很大當(dāng)如圖記近似代替x,.n1ifn1i,xxf,ni,n1i,x,n,35.1.xxf222 第23頁/共35頁35.1圖圖ox1y2xy n1ini45.1

8、圖圖n1i nix12xy yo.n, 2 , 1in1n1ixn1ifSS, ,SS,ni,n1i,.45.12iiii 則有以直代曲即在局部小范圍內(nèi)近似地代替的面積用小矩形上間在區(qū)這樣圖邊地代替小曲邊梯形的曲第24頁/共35頁 n1n1ixn1ifSSS45.1,232n1in1in1iinn 為中陰影部分的面積圖由求和n1n1n102n1n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值從而可得 .61n2n1n1n21222 可以證明可以證明第25頁/共35頁 .31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn21

9、1n1131S,0 x,n,55.1,20,8 , 41 , 04nn1innnn 從而有趨向于時(shí)于趨向即趨向于無窮大當(dāng)可以看到圖等份等分成分別將區(qū)間取極限 55.1圖圖oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo第26頁/共35頁.勢數(shù)值上看出這一變化趨我們通過下表還可以從n1 , 0的等分?jǐn)?shù)的等分?jǐn)?shù)區(qū)間區(qū)間nSS的近似值的近似值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0第27頁/共35頁 ?,f

10、ni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情況又怎樣情況又怎樣作為近似值作為近似值的函數(shù)值的函數(shù)值處處取任意取任意嗎嗎這個(gè)值也是這個(gè)值也是若能求出若能求出的值嗎的值嗎用這種方法能求出用這種方法能求出處的函數(shù)值處的函數(shù)值點(diǎn)點(diǎn)上的值近似地等于右端上的值近似地等于右端區(qū)間區(qū)間在在如果認(rèn)為函數(shù)如果認(rèn)為函數(shù)中中近似代替近似代替在在探究探究 第28頁/共35頁 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin(過剩近似值)第29頁/共35頁 n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)

11、n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(過剩近似值)第30頁/共35頁1, iinn在區(qū)間上的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)的函數(shù)值來計(jì)算有和區(qū)別從小于曲邊梯形的面積從小于曲邊梯形的面積來無限逼近來無限逼近從大于曲邊梯形的面積從大于曲邊梯形的面積來無限逼近來無限逼近第31頁/共35頁 .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值處的值點(diǎn)上任意一在區(qū)間取可以證明.,15.1,值的方法求出其面積值的方法求出其面積似代替、求和、取極似代替、求和、取極也可以采用分割、近也可以采用分割、近我們我們所示的曲邊梯形所示的曲邊梯形對如圖對如圖一般地一般地ab

12、xy xfy o af bf15.1 圖圖端點(diǎn)右一般用左為了便于計(jì)算)(,第32頁/共35頁1. 當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)很大時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f練 習(xí)第33頁/共35頁2、在、在“近似代替近似代替”中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值 C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值D.以上答案均不正確以上答案均不正確)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC1,iixx練 習(xí)第34頁/共35頁