初中數(shù)學(xué)專題：折疊問題

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第 專題八 折疊問題 學(xué)習(xí)要點與方法點撥： 出題位置：選擇、填空壓軸題或壓軸題倒數(shù)第二題 折疊問題中，常出現(xiàn)的知識時軸對稱。折疊對象有三角形、矩形、正方形、梯形等； 考查問題有求折點位置、求折線長、折紙邊長周長、求重疊面積、求角度、判斷線段之間關(guān)系等；軸對稱性質(zhì)-----折線，是對稱軸、折線兩邊圖形全等、對應(yīng)點連線垂直對稱軸、對應(yīng)邊平行或交點在對稱軸上。 壓軸題是由一道道小題綜合而成，常常伴有折疊；解壓軸題時，要學(xué)會將大題分解成一道道小題；那么多作折疊的選擇題填空題，很有必要。 基本圖形： 在矩形ABCD中，將△ABF沿BE折疊至△FBE,可得何結(jié)論？ 結(jié)論：（1）全等；（2）垂直。 （1） 基本圖形練習(xí)： 如圖，將三角形紙片ABC沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB上，折痕為AD，展開紙片；再次折疊，使得A和D點重合，折痕為EF,展開紙片后得到△AEF,則△AEF是等腰三角形，對嗎？ （2） 折疊中角的考法與做法： 將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使得A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（圖1）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE邊上的點D’，折痕為EG（圖2）,再展開紙片，求圖（3）中角a的大小。 （3） 折疊中邊的考法與做法： 如圖，將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊中點E處， 折痕為FH，點C落在Q處，EQ與BC交于點G，則△EBG的周長是多少？ ★解題步驟： 第一步：將已知條件標(biāo)在圖上； 第二步：設(shè)未知數(shù)，將未知數(shù)標(biāo)在圖上； 第三步：列方程，多數(shù)情況可通過勾股定理解決。 模塊精講 例1.（2014?揚州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處． （1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA． ①求證：△OCP∽△PDA； ②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長； （2）若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求∠OAB的度數(shù)； （3）如圖2，，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度． 例2.（2013?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長交邊BC于點G．若=，則=　　　　　　用含k的代數(shù)式表示）． 例3、（2013?蘇州）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E、F、G分別從A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當(dāng)點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設(shè)點E、F、G運動的時間為t（單位：s）． （1）當(dāng)t=　　　　　　s時，四邊形EBFB′為正方形； （2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值； （3）是否存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由． 例4、如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O． （1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形； （2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點； （3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長． 例5、已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關(guān)于AC對稱，點E與點F關(guān)于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（　?。? A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22=∠DEF D．4cos∠AGB= 課堂練習(xí) 1、 2、（2014連云港）如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使AB與CD重合，折痕為EF．如圖2，展開后再折疊一次，使點C與點E重合，折痕為GH，點B的對應(yīng)點為點M，EM交AB于N，則tan∠ANE=　_________?。? 圖3 圖4 3、（2014?徐州）如圖3，在等腰三角形紙片ABC中，AB=AC，∠A=50，折疊該紙片，使點A落在點B處，折痕為DE，則∠CBE=　_________?。? 4、（2014?揚州）如圖4，△ABC的中位線DE=5cm，把△ABC沿DE折疊，使點A落在邊BC上的點F處，若A、F兩點間的距離是8cm，則△ABC的面積為　_________　cm2． 5、（2013?揚州）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．設(shè)BP=x，CE=y． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍； （3）如圖2，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90，求BP長． 課后鞏固習(xí)題　 1、（2014?淮安）如圖，在三角形紙片ABC中，AD平分∠BAC，將△ABC折疊，使點A與點D重合，展開后折痕分別交AB、AC于點E、F，連接DE、DF．求證：四邊形AEDF是菱形． 2、（2013?宿遷）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90，且AB=10，BC=6，CD=2．點E從點B出發(fā)沿BC方向運動，過點E作EF∥AD交邊AB于點F．將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF，直線FG、EG分別交AD于點M、N，當(dāng)EG過點D時，點E即停止運動．設(shè)BE=x，△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y． （1）證明△AMF是等腰三角形； （2）當(dāng)EG過點D時（如圖（3）），求x的值； （3）將y表示成x的函數(shù)，并求y的最大值． 3、 如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,把△BCD沿著對角線BD折疊,使點C落在C處,BC交AD于點G,E,F,分別是CD和BD上的點,線段EF交AD于點H,把△FDE沿著EF折疊,使點D落在D處,點D恰好與點A重合. （1）求證:三角形ABG≌△CDG （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的長。 3、 7 〖九年級 第8講 專題精講〗