有限元與數(shù)值方法-講稿20幾何非線性有限元分析課件.doc

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第8章 幾何非線性有限元分析 8.1 大變形條件下的應變和應力度量 一．應變度量 結構的初始構型： P：， Q： t時刻的構型： P’：， Q’： 兩種構型下的坐標可相互轉化： * 拉各朗日（Lagrange）描述 基于變形前的構型表述變形后的構型。以變形前的各點坐標為基本未知數(shù)，描述各個量。 * 歐拉（Eular）描述 基于變形后的構型表述變形前的構型。以變形后的各點坐標為基本未知數(shù)，描述各個量。 根據(jù)以上變換： ， 定義： ， PQ線段的長度： P’Q’變形后的長度： , Green-Lagrange 應變（Green應變） , Almansi 應變 定義位移向量： ， Green 應變 Almansi 應變 在小應變情況下： 工程應變 Cauchy應變 二．應力度量 歐拉應力張量（Green應力張量）： 表示變形后的構型的三個坐標面上的應力構成的張量。是對稱張量 變形后表面上的應力：， 變形前的應力： 需要確定變形前、后的相應面上的力之間的關系。兩種確定方法： （1） Lagrange規(guī)定： （2） Kirchhoff規(guī)定： 與坐標變換規(guī)律相同： ， ：第一類Piola-Kirchhoff應力（Lagrange應力張量），非對稱 ， ：第二類Piola-Kirchhoff應力。Kirchhoff應力張量，對稱 各種應力張量之間的關系： （1）由質量守恒： （2）， （3）， （4） 注意：是非對稱張量，是對稱張量。  8.2 幾何非線性問題的表達格式 虛位移原理（虛功原理）： 虛功原理的初始參考構型表示形式： 為了便于求解：將應力和應變分解成： 從t到時刻引起的應力增量 從t到時刻引起的應變增量 將應變增量進一步分解： 平衡方程的線性化 （1） 物理方程的線性化： 對于彈性材料，該關系式準確的。如果是小變形，則有 材料的彈性常數(shù)張量。 （2） 求解格式的進一步線性化： 帶入虛功方程， 可獲得用位移和應變表示的虛功方程： 8.3 有限元求解方程及解法 一．有限元方程： 靜力問題： 按照一般的有限元法的基本思想，將結構離散成有限單元，每個單元中，選擇相應的形函數(shù)，將節(jié)點坐標、位移等相應的量，通過形狀函數(shù)與單元的節(jié)點上的坐標值、位移相聯(lián)系。 坐標：，， 位移：， 代入虛功原理： ， ， 經(jīng)過集成后，可獲得有限元控制方程： 該方程是一個非線性方程組。其非線性體現(xiàn)在剛度系數(shù)矩陣上。在時間步中，剛度矩陣是切線模量。這與物理非線性問題是相同的。 另一方面，右端項與待求的位移增量{u}相關。這也造成了非線性。 求解方法：可采用求解物理非線性問題的方法求解。 三．有限元方程的解法 基本思想：在每個時間步中，采用非線性方程的求解方法，進行迭代求解。這些方法包括：直接迭代法；N－R方法等。 因此，幾何非線性問題的求解包括兩層迭代（循環(huán)）； 外層循環(huán)（迭代）：對時間步迭代（荷載增量步） 內(nèi)層循環(huán)：求解各時間步導出的非線性方程，通過迭代求解該時間步后的相應。 四．平衡路徑的追蹤方法：弧長法 8.4 穩(wěn)定性問題 初始穩(wěn)定性問題（初始屈曲等） 穩(wěn)定性控制方程（屈曲方程） 非線性方程： 穩(wěn)定性問題：在一定的荷載條件下，結構處于平衡狀態(tài)。在荷載不增加的條件下，是否存在另一狀態(tài)？ 從數(shù)學上說，如果位移{u}對應平衡狀態(tài)，在荷載不變的條件下，位移有一個小的擾動，是否也能夠處于平衡狀態(tài)？ 也就是：，是否有非零解？ 注意：非線性剛度矩陣是由初始內(nèi)力形成的剛度矩陣。初始內(nèi)力的大小與外荷載相關。如果討論的是初始屈曲問題，則初始內(nèi)力與外荷載成正比。例如，梁的屈曲問題，則內(nèi)力與軸向荷載p成正比。此時，。 失穩(wěn)條件： 求解上述方程，可求出失穩(wěn)荷載。