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1、
子集、全集、補集
教學目標：理解子集、真子集概念，會判斷和證明兩個集合包含關系， 會判斷簡單集合的相等關系.
教學重點：子集的概念，真子集的概念.
教學難點：元素與子集，屬于與包含間的區(qū)別；描述法給定集合的運
臬
課型：新授課
?' I I 1 I
教學手段：講、議結合法
教學過程：
一、創(chuàng)設情境
I"\1
在研究數(shù)的時候，通常都要考慮數(shù)與數(shù)之間的相等與不相等（大于或 小于）關系，而對于集合而言，類似的關系就是“包含”與“相等
關系.
二、活動嘗試
1 .回答概念：集合、元素、有限集、無限集、空集、列舉法、描述法、 文氏圖.
2 .用列舉法表示下列集合
2、：
①①/-2x2 -x+2=0}{-i , 1, 2}
②數(shù)字和為5的兩位數(shù)}{14 , 23, 32, 41, 50}
3.用描述法表示集合:
1111 1 *1 .
{1,一，, , }{x|x=—,n N 且n-5} 2 3 4 5 n
4 .用列舉法表示：“與2相差3的所有整數(shù)所組成的集合 來源網(wǎng)絡，僅供個人學習參考
{xWZ||x_2|=3}={-1 , 5}
5 .問題：觀察下列兩組集合，說出集合 A與集合B的關系(共性)
(1) A={-1 ,1}, B={-1 , 0, 1, 2}
(2) A=N B=R
(3) A={xx為北京人}, B={xx為
3、中國人}
(4)A = 0 , B= {0}
(集合A中的任何一個元素都是集合 B的元素)
三、師生探究
?《添加,N F L1
通過觀察上述集合間具有如下特殊性
(1)集合A的元素-1 ,1同時是集合B的元素.
⑵ 集合A中所有元素，都是集合B的元素.
(3)集合A中所有元素都是集合B的元素.
(4)A中沒有元素，而B中含有一個元素0,自然A中“元素”也是B 中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.從而有下 述結論.
四、數(shù)學理論
1 .子集
定義：一般地，對于兩個集合 A與B,如果集合A中 -'
的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集
4、合A包含于集合B,或 集合B包含集合A.記作A±B(或B-A),這時我們也說集合A是集合B 的子集.
請同學們各自舉兩個例子，互相交換看法，驗證所舉例子是否符合定
義.
2 .真子集：對于兩個集合 A與B,如果A^B,并且A#B ,我們就說 集合A是集合B的真子集，記作：4B或 叵A,讀作A真包含于B或B 真包含A
這應理解為：若A^B,且存在b€ B, 40 bA,稱A是B
的真子集.
注意：子集與真子集符號的方向.
'〈玳力E ' If M H
3 .當集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時，則記作 AB (或 B. A).
如：A= {2, 4}, B= {3,
5、5, 7},則 AB.
4 .說明
(1)空集是任何集合的子集，①^A
(2)空集是任何非空集合的真子集.①2A若A?①，則①三A
(3)任何一個集合是它本身的子集 /工人
(4)易混符號
①“"’與" 口’：元素與集合之間是屬于關系；
集合與集合之間是包含關系.如1 wN，-1更N，N JR，①三R, {1}三{1 , 2, 3}
②{0}與①：{0}是含有一個元素0的集合，①是不含/74、任
N
何元素的集合?Z
Q
如①土 {0}.不能寫成①={0},①6 {0}弋二^
五、鞏固運用
例1 (1)寫出N, Z, Q R的包含關系，并用文氏圖表示.
(2)判斷
6、下列寫法是否正確
①①三A②①三AD M A@A^A
解(1): N二ZWR
(2)①正確；②錯誤，因為 A可能是空集；③正確；④錯誤；
思考1: A三B與B三A能否同時成立？
結論：如果A B,同時B A,那么A= B. 7
如：｛a, b, c, d｝與｛b, c, d, a｝相等;｛2, 3, 4｝與｛3, 4, 2｝相等;
｛2, 3｝與｛3, 2｝相等.
問：A= ｛x | x = 2m^ 1, mW Z｝, B= ｛x |x=2n—1, n€Z｝. (A=B)
稍微復雜的式子特別是用描述法給出的要認真分辨.
思考2:若A髭B,則AiC?
真子集關系也具有傳遞性
7、若A二B, B=C,則A二C.
例2寫出｛a、b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
分析：尋求子集、真子集主要依據(jù)是定義.
解：依定義：｛a, b｝的所有子集是0、｛a｝、｛b｝、｛a, b｝,其中真子
集有°、｛a｝、｛b｝.
變式：寫出集合｛1,2, 3｝的所有子集
解：①、｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1 , 2｝、｛1 , 3｝、｛2 , 3｝、｛1 , 2, 3｝
猜想：(1)集合｛a,b,c,d｝的所有子集的個數(shù)是多少？ (24=16)
(2)集合…，a)的所有子集的個數(shù)是多少？ ( 2n)
注：如果一個集合的元素有n個，那么這個集合的子集有2n個，真子 集有
8、2n —1個.
六、回顧反思
1 .概念：子集、集合相等、真子集
2 .性質：(1)空集是任何集合的子集.①2A
(2)空集是任何非空集合的真子集,①至A (A#①)
(3)任何一個集合是它本身的子集.A"
(4)含n個元素的集合的子集數(shù)為2n；非空子集數(shù)為2n 一1；真子集數(shù)
為2n -1；非空真子集數(shù)為2n-2.
七、課外練習
1 .下列各題中，指出關系式 A^R A=B、AiB、AB、A= B中哪些成
立：
(1)A={1 , 3, 5, 7}, B= {3, 5, 7}.
解：因B中每一個元素都是A的元素，而A中每一個元素不一定都是 B 的元素，
故A=B及A
9、B成立.
(2)A={1, 2, 4, 8}, B= {x | x 是 8 的約數(shù)}.
解：因x是8的約數(shù)，則x: 1, 2, 4, 8
那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的 元素，故A= B.
式子A1B、A-R A= B成立.
2 .判斷下列式子是否正確，并說明理由.
(1)2 -{x | x< 10}
解：不正確.因數(shù)2不是集合，也就不會是｛x | xw 10｝的子集.
(2)2 6｛x | x< 10｝
解：正確.因數(shù)2是集合｛x 1 xW10｝中數(shù).故可用“6” .
⑶｛2｝吳｛x | x<10｝
解：正確.因｛2｝是｛x |xwi0｝的
10、真子集.
(4)。6 ｛x | x<10｝
解：不正確.因為Q是集合，不是集合｛x 1 xw 10｝的元素.
(5)。料x | x<10｝
解：不正確.因為。是任何非空集合的真子集. 二 I
(6)⑦ w｛x | x<10｝
解：正確.因為修是任何非空集合的真子集.
⑺｛4 , 5, 6, 7｝縱2, 3, 5, 7, 11｝
解：正確.因為｛4, 5, 6, 7｝中4, 6不是｛2, 3, 5, 7, 11｝的元素.
(8)｛4 , 5, 6, 7｝迫｛2, 3, 5, 7, 11｝
解：正確.因為｛4, 5, 6, 7｝中不含｛2, 3, 5, 7, 11｝中的2, 3
11、, 11.
3 .設集合A=｛四邊形｝, B=｛平行四邊形｝ , C=｛矩形｝D=｛正方形｝,試用
Venn圖表示它們之間的關系。
',1_
4,已知 A= ｛x |x< —2 或 x> 3｝, B= ｛x | 4x+mK 0｝,當 AnB 時，求
實數(shù)m的取值范圍.
分析：該題中集合運用描述法給出，集合的元素是無限的，要準確判
斷兩集合間關系.需用數(shù)形結合.
解：將A及B兩集合在數(shù)軸上表示出來
要使AmB,則B中的元素必須都是A中元素
即B中元素必須都位于陰影部分內(nèi)
m
那么由x< — 2或x>3及x<— 4知
故實數(shù)m取值范圍是m> 8
5 .滿足。*A J{a
12、，b，c，d}的集合A有多少個？
解析：由0GA可知，集合A必為非空集合；
又由A J{abc，d}可知，此題即為求集合{a，b，c，d}的所有非空子集。
滿足條件的集合A有
{a}, ,{c},2hdz5rv, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d},{c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}
{b,c,d} ,{a,b,c,d}共十五個非空子集。
此題可以利用有限集合的非空子集的個數(shù)的公式2n-1進行檢驗,
24-1=15,正確。
答案：15
6 .已知 A={x，y}, B ={1，xy},若人=8,求x，y。
解析：A = B,即AB兩集合的元素相同，有兩種可能:
x = 1 x = 1 x = xy x w R
?=可解得）。；J=1解得J=1
答案：x=皿y=1 八、教學后記
本節(jié)講子集，先介紹集合與集合之間的“包含”與“相等”關系，并
來源網(wǎng)絡，僅 供個人學習參考
引出子集的概念，然后，對比集合的 “包含”與“相等”關系，得出
真子集的概念以及子集與真子集的有關性質.？
高中數(shù)學《子集、全集、補集》教案(一)
