八種經(jīng)典線性規(guī)劃例題(2011年7月29日更新)

1 線 性 規(guī) 劃 常 見 題 型 及 解 法 由 已 知 條 件 寫 出 約 束 條 件 并 作 出 可 行 域 進 而 通 過 平 移 直 線 在 可 行 域 內(nèi) 求 線 性 目 標 函 數(shù) 的 最 優(yōu) 解 是 最 常 見 的 題 型 除 此 之 外 還 有 以 下 六 類 常 見 題 型 一 求 線 性 目 標 函 數(shù) 的 取 值 范 圍 例 1 若 x y 滿 足 約 束 條 件 則 z x 2y 的 取 值 范 圍 是 2xy A 2 6 B 2 5 C 3 6 D 3 5 解 如 圖 作 出 可 行 域 作 直 線 l x 2y 0 將 l 向 右 上 方 平 移 過 點 A 2 0 時 有 最 小 值 2 過 點 B 2 2 時 有 最 大 值 6 故 選 A 二 求 可 行 域 的 面 積 例 2 不 等 式 組 表 示 的 平 面 區(qū) 域 的 面 積 為 2603xy A 4 B 1 C 5 D 無 窮 大 解 如 圖 作 出 可 行 域 ABC 的 面 積 即 為 所 求 由 梯 形 OMBC 的 面 積 減 去 梯 形 OMAC 的 面 積 即 可 選 B 三 求 可 行 域 中 整 點 個 數(shù) 例 3 滿 足 x y 2 的 點 x y 中 整 點 橫 縱 坐 標 都 是 整 數(shù) 有 A 9 個 B 10 個 C 13 個 D 14 個 解 x y 2 等 價 于 2 0 xyxy 作 出 可 行 域 如 右 圖 是 正 方 形 內(nèi) 部 包 括 邊 界 容 易 得 到 整 x y O x y O 2 2 x 2 y 2 x y 2 B A 2x y 6 0 5 x y 3 0 O y x A B C M y 2 2 點 個 數(shù) 為 13 個 選 D 四 求 線 性 目 標 函 數(shù) 中 參 數(shù) 的 取 值 范 圍 例 4 已 知 x y 滿 足 以 下 約 束 條 件 使 z x ay a 0 取 503xy 得 最 小 值 的 最 優(yōu) 解 有 無 數(shù) 個 則 a 的 值 為 A 3 B 3 C 1 D 1 解 如 圖 作 出 可 行 域 作 直 線 l x ay 0 要 使 目 標 函 數(shù) z x ay a 0 取 得 最 小 值 的 最 優(yōu) 解 有 無 數(shù) 個 則 將 l 向 右 上 方 平 移 后 與 直 線 x y 5 重 合 故 a 1 選 D 五 求 非 線 性 目 標 函 數(shù) 的 最 值 例 5 已 知 x y 滿 足 以 下 約 束 條 件 則 z x2 y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 別 是 2043xy A 13 1 B 13 2 C 13 D 455 解 如 圖 作 出 可 行 域 x2 y2 是 點 x y 到 原 點 的 距 離 的 平 方 故 最 大 值 為 點 A 2 3 到 原 點 的 距 離 的 平 方 即 AO 2 13 最 小 值 為 原 點 到 直 線 2x y 2 0 的 距 離 的 平 方 即 為 選 C45 六 求 約 束 條 件 中 參 數(shù) 的 取 值 范 圍 例 6 已 知 2x y m 3 表 示 的 平 面 區(qū) 域 包 含 點 0 0 和 1 1 則 m 的 取 值 范 圍 是 A 3 6 B 0 6 C 0 3 D 3 3 解 2x y m 3 等 價 于 230 xym O 2x y 0 y 2x y 3 0 x y 5 x y 5 0 O y xx 3 2x y 2 0 5 x 2y 4 0 3x y 3 0 O y x A 3 由 右 圖 可 知 故 0 m 3 選 C3 七 比值問題 當目標函數(shù)形如 yazxb 時 可把 z 看作是動點 Pxy與定點 Qba連線的斜率 這樣目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn) 化為 PQ 連線斜率的最值 例 已知變量 x y 滿足約束條件 則 的取值范圍是 x y 2 0 x 1 x y 7 0 yx A 6 B 6 95 95 C 3 6 D 3 6 解析 是可行域內(nèi)的點 M x y 與原點 O yx 0 0 連線的斜率 當直線 OM 過點 時 取得 5292 yx 最小值 當直線 OM 過點 1 6 時 取得最大值 6 答案 A 95 yx