高中數(shù)學(xué)周期函數(shù)、公式的總結(jié)、推導(dǎo)、證明過程

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周期公式 序號 公式 T 理解或者公式特點(diǎn) 例題 1 fx+a+fx+b=c 2|a-b| 自變量的和不是常數(shù)，兩個(gè)自變量之差是常數(shù)，兩個(gè)函數(shù)值相加為常數(shù)。 2 fx+a=-f(x) 即fx+a+fx=0是上一個(gè)公式的特例 2a 兩個(gè)自變量之差是常數(shù)。兩個(gè)函數(shù)值相加為常數(shù)。 3 fx+a=kfx 2a 正負(fù)號，倒數(shù)，兩個(gè)自變量之差是常數(shù)。 4 fx+a=1+fx1-fx 4a 類似第3個(gè)公。 5 fx+a=1-fx1+fx 2a 類似第3個(gè)公式。 6 fx=fx+a+fx-a 例如： fx=fx-1-fx-2 整理后： fx-1=fx+fx-2 令x=x+1得到： fx=fx+1+fx-1 6a 兩個(gè)函數(shù)值之和等于另一個(gè)函數(shù)值，且兩個(gè)作為加數(shù)的函數(shù)的自變量是xa 7 fx+a=fx+b |a-b| 圖像向左平移a個(gè)單位，和向左平移b個(gè)單位重合。原來兩個(gè)點(diǎn)x坐標(biāo)差的距離就是他們的周期。兩個(gè)自變量之差是常數(shù)，兩個(gè)函數(shù)值相等。 8 函數(shù)f(x)的圖像S有兩個(gè)對稱軸x=a,x=b（a≠b） 2|a-b| 對稱軸多和偶函數(shù)以及一個(gè)函數(shù)圖像的自對稱這兩個(gè)知識點(diǎn)相關(guān) 9 函數(shù)f(x)的圖像S有兩個(gè)對稱中心G1a,c和G2b,c（a≠b） 2|a-b| 對稱中心多和奇函數(shù)以及一個(gè)函數(shù)圖像的自對稱這兩個(gè)知識點(diǎn)相關(guān) 10 函數(shù)f(x)的圖像S有一個(gè)對稱中心G1b,c和一條對稱軸x=a，（a≠b） 4|a-b| 知識點(diǎn)涉及奇函數(shù)、偶函數(shù)以及函數(shù)圖像的自對稱 以上基本是高中階段遇到的各種周期公式及其變形的總結(jié)。 解周期問題，兩種方法：1.列舉多個(gè)數(shù)據(jù)，找尋規(guī)律和周期；2.通過抽象函數(shù)直接得到周期。 1. 已知f(X)是R上不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有xfx+1=x+1f(x)，則ff52= 解：令x=0，f(0)=0; 令x=-12，f-12=0； 令x=12，f32=0； 令x=32，f52=0； ∴ ff52=f0=0 2. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足fx=log21-x,x≤0 fx-1-fx-2,x>0，則f(2009)= 解：整理fx=fx-1-fx-2， 得到fx-1=fx+fx-2 令x=x+1得到，fx=fx+1+fx-1 由公式6知道周期為6，即fx+6=f(x)，x>0 f(2009)=f3346+5=f(5)。 由公式fx=fx-1-fx-2 得f5=f4-f3=f3-f2-f3=-f2 =-f1-f0=-(f0-f-1-f0) =f-1=0 3. 已知函數(shù)f(x)滿足f1=14，4fxfy=fx+y+fx-y,x,y∈R，則f(2010)= 思路：消元和賦值。 令x=x,y=1，則fx=fx+1+f(x-1)， 根據(jù)公式6知道，f(x+6)=f(x)， ∴f2010=f3356=f(0)。 令y=0，則4fxf0=2f(x)， ∵ x不恒為零，∴f0=12 ∴f2010=12。 下面兩頁是周期函數(shù)公式的周期推導(dǎo)證明過程，并總結(jié)了推導(dǎo)周期過程的一般思路。因?yàn)閣ord輸入數(shù)學(xué)公式太過麻煩，所以手寫了出來，以圖片的形式奉上。 6