概率論與數(shù)理統(tǒng)計復旦大學出版社第三章課后答案
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概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題三 答案1.將一硬幣拋擲三次,以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】的可能取值為:0,1,2,3;的可能取值為:0,1.和的聯(lián)合分布律如下表:XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】的可能取值為:0,1,2,3;的可能取值為:0,1,2.X和Y的聯(lián)合分布律如下表:XY012300010203.設二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求二維隨機變量在長方形域內的概率.【解】如圖 題3圖說明:也可先求出密度函數(shù),再求概率。4.設隨機變量的分布密度求:(1) 常數(shù);(2) 隨機變量的分布函數(shù);(3) P0X1,0Y2.【解】(1) 由得 =12(2) 由定義,有 (3) 5.設隨機變量的概率密度為(1) 確定常數(shù);(2) 求PX1,Y3;(3) 求PX1.5;(4) 求PX+Y4.【解】(1) 由性質有故 (2) (3) (4) 題5圖6.設和是兩個相互獨立的隨機變量,在(0,0.2)上服從均勻分布,的密度函數(shù)為求:(1) 與的聯(lián)合分布密度;(2) .題6圖【解】(1) 因在(0,0.2)上服從均勻分布,所以的概率密度函數(shù)為而所以 (2) 7.設二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求(X,Y)的聯(lián)合分布密度.【解】8.設二維隨機變量的概率密度為求邊緣概率密度.【解】的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 題8圖 題9圖9.設二維隨機變量的概率密度為求邊緣概率密度.【解】的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 題10圖10.設二維隨機變量的概率密度為(1) 試確定常數(shù);(2) 求邊緣概率密度.【解】(1) 得.(2) 11.設隨機變量的概率密度為求條件概率密度,. 題11圖【解】所以 12.袋中有五個號碼1,2,3,4,5,從中任取三個,記這三個號碼中最小的號碼為,最大的號碼為.(1) 求與的聯(lián)合概率分布;(2) 與是否相互獨立?【解】(1) 的可能取值為:1,2,3;的可能取值為3,4,5.與的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表:YX345120300 (2) 因故與不獨立13.設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03(1)求關于X和關于Y的邊緣分布;(2) X與Y是否相互獨立?【解】(1)X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故與不獨立.14.設與是兩個相互獨立的隨機變量,在(0,1)上服從均勻分布,的概率密度為(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度;(2) 設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實根的概率.【解】(1) 因 故 題14圖(2) 方程有實根的條件是即 ,從而方程有實根的概率為: 15.設和分別表示兩個不同電子器件的壽命(以小時計),并設和相互獨立,且服從同一分布,其概率密度為f(x)=求的概率密度.【解】因為和相互獨立,所以與的聯(lián)合概率密度為如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當z0時,(2) 當0z0)的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為p(0p1),且中途下車與否相互獨立,以Y表示在中途下車的人數(shù),求:(1)在發(fā)車時有n個乘客的條件下,中途有m人下車的概率;(2)二維隨機變量(X,Y)的概率分布.【解】(1) 的可能取值為:0,1,2,3,.,n,且 (2) 24.設隨機變量X和Y獨立,其中X的概率分布為X,而Y的概率密度為f(y),求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設F(y)是Y的分布函數(shù),則由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨立,可見 由此,得U的概率密度為 25. 設隨機變量X與Y相互獨立,且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布,求PmaxX,Y1.解:因為隨即變量服從0,3上的均勻分布,于是有 因為X,Y相互獨立,所以于是 .26. 設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為 (I) 求 ; (II) 求Z+的概率密度. 【詳解】 (I) .( II) 解法一:先求Z的分布函數(shù): 當時, ;當時, ;當時, ;當時, .故Z+的概率密度為=解法二:,當或時,;當時, ;當時,;故Z+的概率密度為27.設隨機變量與相互獨立,的概率分布為,的概率密度為記.(1)求;(2)求的概率密度.解 (1)注意到與相互獨立,于是(2)先求的分布函數(shù)。由于,構成樣本空間的一個劃分,且,因此根據(jù)全概率公式得的分布函數(shù)分布函數(shù)求導數(shù),可得的概率密度28.袋中有1個紅球、2個黑球、3個白球,現(xiàn)有放回地取球兩次,每次取一個球,以分別表示兩次取球得到的紅球、黑球與白球的個數(shù)。(1)求;(2)求二維隨機變量的概率分布。解 (1)由條件概率得也可以有 或用縮減樣本空間法:,表示兩次取球都沒有取到白球,即只在紅球、黑球中做選擇,因此,樣本空間中樣本點總數(shù)為3*3=9,(2)與的可能取值均為:0,1,2. 且,同理可以求得聯(lián)合分布律中的其它概率值。的聯(lián)合分布律如下表: 01201229.設二維隨機變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度。 解 由概率密度函數(shù)的規(guī)范性有得常數(shù) ,即 的邊緣概率密度為 所求條件概率密度為(提示:本題充分利用概率積分來簡化計算)30.設隨機變量與的概率分布分別如下表所示。01-101且.(1)求二維隨機變量的概率分布;(2)求的概率分布。解 由 得 ,即 進而 再根據(jù)聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布的關系,可得的概率分布如下表: -101000101(2)的可能取值為:-1,0,1。由得概率分布可得的概率分布-10131.設隨機變量的概率密度為, 令隨機變量(1)求的分布函數(shù);(2)求概率.解 (1)的分布函數(shù) 當 時,;當 時,;當 時,故的分布函數(shù)為 (2)- 配套講稿:
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