華東師范大學(xué)出版社九年級上冊數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

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華師大版九年級上冊數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性質(zhì)： （1） （a≥0）；（2） 0(a≥0)；（3） 3. 二次根式的乘除： 計算公式： 4. 概念： 5. 二次根式的加減：(一化，二找，三合并 ) （1）將每個二次根式化為最簡二次根式； （2）找出其中的同類二次根式； （3）合并同類二次根式． 6. 二次根式化簡求值步驟：(1)“一分”：分解因數(shù)（因式）、平方數(shù)（式）；(2)“二移”：根據(jù)算術(shù)平方根的概念，把根號內(nèi)的平方數(shù)或者平方式移到根號外面；(3)“三化”：化去被開方數(shù)中的分母． 7. 二次根式的混合運算： （1）二次根式的混合運算順序與實數(shù)運算類似，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的． （2）對于二次根式混合運算，原來學(xué)過的所有運算律、運算法則及乘法公式仍然適用． （3）在二次根式混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：． 它的特征：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零． 叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法． 直接開平方法適用于解形如的一元二次方程．根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b<0時，方程沒有實數(shù)根． 2) 配方法：配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有． 配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程的求根公式： 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式． 3. 一元二次方程根的判別式： 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即． 1) 當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根； 2) 當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根； 3) 當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根． 4. 韋達定理： 如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，．也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商． 5. 一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系： 其實一元二次方程也可以用二次函數(shù)來表示，其實一元二次方程也是二次函數(shù)的一個特殊情況，就是當y=0的時候就構(gòu)成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐標系中表示出來，一元二次方程就是二次函數(shù)中，圖象與X軸的交點，也就是該方程的解了． 第23章 圖形的相似 1． 比例線段的有關(guān)概念 b、d叫后項，d叫第四比例項，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中項． 2． 比例性質(zhì) ②更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)： 3． 黃金分割 在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=ABBC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．其中≈0.618． 4． 平行線分線段成比例定理 ①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3． ②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例． ③定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊． 5． 相似三角形的判定 ①兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似； ③三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似． 6． 相似三角形的性質(zhì) ①相似三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例； ②相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比； ③相似三角形周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方． 7． 六種相似基本模型： DE∥BC ∠B=∠AED ∠B=∠ACD X型 母子型 AC∥BD ∠B=∠C AD是Rt△ABC斜邊上的高 8． 射影定理 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________． 9． 中位線 1) 三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點的線段． 三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半． 三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的線段的長是對應(yīng)中線長的． 2) 梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點的線段． 梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底邊和的一半． 10． 位似 ①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比． ②位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比． 第24章 解直角三角形 考點一、直角三角形的性質(zhì) 1. 直角三角形的兩個銳角互余． 可表示如下：∠C=90∠A+∠B=90 2. 在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半． 3. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 4. 勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即． 5. 攝影定理 在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項． 6. 常用關(guān)系式 由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC 考點二、直角三角形的判定 1. 有一個角是直角的三角形是直角三角形． 2. 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． 3. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形． 考點三、銳角三角函數(shù)的概念 1. 如圖，在△ABC中，∠C=90 ①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦， 記為sinA，即 ②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即 ③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即 ④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即 2. 銳角三角函數(shù)的概念 銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)． 3. 各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系 （1）互余關(guān)系：sinA=cos(90—A)，cosA=sin(90—A) tanA=cot(90—A)，cotA=tan(90—A) （2）平方關(guān)系： （3）倒數(shù)關(guān)系：tanAcotA=1 （4）弦切關(guān)系：tanA=；cotA= 4. 銳角三角函數(shù)的增減性：當角度在0~90之間變化時， （1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。? （2）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅? （3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。? （4）余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅? 5. 一些特殊角的三角函數(shù)值 三角函數(shù) 0 30 45 60 90 sinα 0 1 cosα 1 0 tanα 0 1 不存在 cotα 不存在 1 0 考點四、解直角三角形 1. 解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形． 2. 解直角三角形的理論依據(jù) 在Rt△ABC中，∠C=90，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c （1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理） （2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90 （3）邊角之間的關(guān)系： 第25章 隨機事件的概率 1. 概率 （1）表示一個事件發(fā)生的可能性大小的這個數(shù)，叫做該事件的概率． P(所關(guān)注的事件)=所關(guān)注的結(jié)果/所有等可能的結(jié)果． 2. 概率的預(yù)測 （1）要清楚我們關(guān)注的是發(fā)生哪個或哪些結(jié)果． （2）要清楚所有機會的結(jié)果． （1）、（2）兩個結(jié)果個數(shù)之比就是關(guān)注的結(jié)果發(fā)生的概率． 方法：畫樹狀圖、列表法． 事件的分類 1、確定事件 必然發(fā)生的事件：當A是必然發(fā)生的事件時，P（A）=1 不可能發(fā)生的事件：當A是不可能發(fā)生的事件時，P（A）=0 2、隨機事件：當A是可能發(fā)生的事件時，０＜P（A）＜１ 概率的意義 　　一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率。 概率的表示方法 一般地，事件用英文大寫字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可記為P（A）=P 概率的求解方法 １．利用頻率估算法：大量重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率（有些時候用計算出Ａ發(fā)生的所有頻率的平均值作為其概率）． ２．狹義定義法：如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）= ３．列表法：當一次試驗要設(shè)計兩個因素，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法．其中一個因素作為行標，另一個因素作為列標． 特別注意放回去與不放回去的列表法的不同．如：一只箱子中有三張卡片，上面分別是數(shù)字１、２、３，第一抽出一張后再放回去再抽第二次，兩次抽到數(shù)字為數(shù)字１和２或者２和１的概率是多少？若不放回去，兩次抽到數(shù)字為數(shù)字１和２或者２和１的概率是多少？ 放回去　P（１和２）=　　　　　　　不放回去P（１和２）= 　　 ４．樹狀圖法：當一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率． 注意：求概率的一個重要技巧：求某一事件的概率較難時，可先求其余事件的概率或考慮其反面的概率再用１減——即正難則反易． 概率的實際意義 對隨機事件發(fā)生的可能性的大小即計算其概率．一方面要評判一些游戲規(guī)則對參與游戲者是否公平，就是要看各事件發(fā)生概率．另一方面通過對概率的學(xué)習讓我們更加理智的對待一些買彩票抽獎活動． 10