初二數(shù)學(xué)面積法幾何專題

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初二數(shù)學(xué)---面積法解題 【本講教育信息】 【講解內(nèi)容】——怎樣證明面積問題以及用面積法解幾何問題 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 使學(xué)生靈活掌握證明幾何圖形中的面積的方法。 2. 培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。 【 重點(diǎn)、難點(diǎn)】： 重點(diǎn)：證明面積問題的理論依據(jù)和方法技巧。 難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)證明面積問題。 【教學(xué)過程】 （一）證明面積問題常用的理論依據(jù) 1. 三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。 3. 平行四邊形的對(duì)角線把其分成兩個(gè)面積相等的部分。 4. 同底（等底）的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比。 同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比。 5. 三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。 8. 有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。 （二）證明面積問題常用的證題思路和方法 1. 分解法：通常把一個(gè)復(fù)雜的圖形，分解成幾個(gè)三角形。 2. 作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有關(guān)性質(zhì)法：比如利用中點(diǎn)、中位線等的性質(zhì)。 4. 還可以利用面積解決其它問題。 【典型例題】 （一）怎樣證明面積問題 1. 分解法 例1. 從△ABC的各頂點(diǎn)作三條平行線AD、BE、CF，各與對(duì)邊或延長(zhǎng)線交于D、E、F，求證：△DEF的面積＝2△ABC的面積。 分析：從圖形上觀察，△DEF可分為三部分，其中①是△ADE，它與△ADB同底等 ③三是△AEF，只要再證出它與△ABC的面積相等即可 由S△CFE＝S△CFB 故可得出S△AEF＝S△ABC 證明：∵AD//BE//CF ∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB＝S△ADE 同理可證：S△ADC＝S△ADF ∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF＝S△CBF ∴S△ABC＝S△AEF ∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC ∴S△DEF＝2S△ABC 2. 作平行線法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M為腰BC上的中點(diǎn) 分析：由M為腰BC的中點(diǎn)可想到過M作底的平行線MN，則MN為其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為h 證明：過M作MN//AB ∵M(jìn)為腰BC的中點(diǎn) ∴MN是梯形的中位線 設(shè)梯形的高為h （二）用面積法解幾何問題 有些幾何問題，往往可以用面積法來解決，用面積法解幾何問題常用到下列性質(zhì)： 性質(zhì)1：等底等高的三角形面積相等 性質(zhì)2：同底等高的三角形面積相等 性質(zhì)3：三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半 性質(zhì)4：等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底之比 性質(zhì)5：等底的兩個(gè)三角形的面積比等于高之比 1. 證線段之積相等 例3. 設(shè)AD、BE和CF是△ABC的三條高，求證：ADBC＝BEAC＝CFAB 分析：從結(jié)論可看出，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB三邊上的高，故可聯(lián)想到可用面積法。 證明：∵AD、BE、CF是△ABC的三條高 2. 證等積問題 例4. 過平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A引直線，和BC、DC或其延長(zhǎng)線分別交于E、F，求證：S△ABF＝S△ADE 分析：因?yàn)锳B//DF，所以△ABF與△ABC是同底AB和等高的兩個(gè)三角形，所以這兩個(gè)三角形的面積相等。 證明：連結(jié)AC ∵CF//AB 又∵CE//AD 3. 證線段之和 例5. 已知△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求證：PE+PF＝BH 分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結(jié)AP，則 故PE+PF＝BH 證明：連結(jié)AP，則 ∵AB＝AC，PE⊥AB，PF⊥AC 又∵BH⊥AC ∴PE+PF＝BH 4. 證角平分線 例6. 在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點(diǎn)F、E，使AE＝CF，連AE、CF交于P，求證：BP平分∠APC。 分析：要證BP平分∠APC，我們可以考慮，只要能證出B點(diǎn)到PA、PC的距離相等即可，也就是△ABE和△BFC的高相等即可，又由已知AE＝FC可聯(lián)想到三角形的面積，因此只要證出S△ABE＝S△BCF即可 由平行四邊形ABCD可得S△ABE＝S△ABC，S△BFC＝S△ABC 所以S△ABE＝S△BFC，因此問題便得解。 證明：連結(jié)AC、BE、BF ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴S△ABE＝S△ABC S△BFC＝S△ABC ∴S△ABE＝S△BFC 又∵AE＝CF 而△ABE和△BFC的底分別是AE、CF ∴△ABE和△BFC的高也相等 即B到PA、PC的距離相等 ∴B點(diǎn)在∠APC的平分線上 ∴PB平分∠APC 【模擬試題】（答題時(shí)間：25分鐘） 1. 在平行四邊形ABCD中，E、F點(diǎn)分別為BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AF、AE，求證：S△ABE＝S△ADF 2. 在梯形ABCD中，DC//AB，M為腰BC上的中點(diǎn)，求證： 3. Rt△ABC中，∠ACB＝90，a、b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h，求證： 4. 已知：E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，G、H為邊DC的三等分點(diǎn)，求證： 5. 在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E在AC上，且，CD和BE交于G，求△ABC和四邊形ADGE的面積比。 【試題答案】 1. 證明：連結(jié)AC，則 又∵E、F分別為BC、CD的中點(diǎn) 2. 證明：過M作MN//DC//AB ∵M(jìn)為腰BC上的中點(diǎn) ∴△DCM和△ABM的高相等，設(shè)為h1 又∵△DMN與△AMN的高也為h1 ∵M(jìn)N為梯形的中位線 ∴ 3. 證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB ∴兩邊同時(shí)除以得： 4. 證明：連結(jié)FD、FG、FC 則由已知可得 ① 作DM//AB，設(shè)它們之間的距離為h，G到DM的距離為a，則由已知可得H、C到DM的距離分別為2a、3a 即 ② ①+②得： 5. 證明：作DF//AC交BE于F 可得△DFG≌△CEG 而 ∴△ABC和四邊形ADGE的面積比是12：5