射影面積法求二面角

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射影面積法（） 凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。 例1、 如圖,在底面是一直角梯形的四棱錐S-ABCD中， AD∥BC,∠ABC=90，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1， AD= .求面SCD與面SAB所成的角的大小。 圖1 S D C B A 解法1：可用射影面積法來求， 這里只要求出S△SCD與S△SAB即可， 故所求的二面角θ應(yīng)滿足= == 。 例2．（2008北京理）如圖，在三棱錐中， ，， ，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的大??； A C B P 解：（Ⅰ）證略 （Ⅱ），，． A C B E P 又，． 又，即，且， 平面． 取中點(diǎn)．連結(jié)． ，． 是在平面內(nèi)的射影， ． ∴△ACE是△ABE在平面ACP內(nèi)的射影， 于是可求得：，，則， 設(shè)二面角的大小為，則 ∴二面角的大小為 練習(xí)1： 如圖5，E為正方體ABCD－A1B1C1D1的 棱CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成 銳角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值為cosθ=）. A1 D1 B1 C1 E D B C A 圖5 2. 如圖一，在四棱錐中，底面是矩形，平面，,,分別是的中點(diǎn). (1)證明：平面；（2）求平面與平面夾角的大小. 題（1）解略；題（2）中平面與平面夾角即為平面與平面所成的銳二面角. 方法一：垂面法 在圖中找到或作出一個(gè)與二面角的兩個(gè)半平面均垂直的平面，此平面截得的圖形便是二面角的平面角. 如圖一：平面，平面,. 又,平面. 又平面,平面平面. 由題（1），平面，平面，平面平面. 所以是所求二面角的平面角. , 即平面與平面夾角為. 方法二：平移平面法 如果兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ).利用此結(jié)論可以平移某一平面到合適的位置以便作出二面角的平面角. 如圖二：取的中點(diǎn)，連接. 分別是的中點(diǎn)，. 又, 平面平面. 二面角的大小就是平面與平面夾角的大小. 可以證明為二面角的平面角，并求出其大小為. 方法三：射影法 利用公式，其中表示二面角的一個(gè)半平面內(nèi)某個(gè)多邊形的面積，表示此多邊形在另一個(gè)半平面射影的面積，表示原圖形與射影圖形所成的二面角. 如圖三：取的中點(diǎn)，連接, 為中點(diǎn), . 由解法一知，平面, 平面，平面, 點(diǎn)、在平面內(nèi)的射影分別為、. 在平面上的射影為. 可以證明和均為直角三角形. , 四邊形為平行四邊形，. 記平面與平面夾角為，則, 所以，即平面與平面夾角為. 3.已知是正三角形，平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。 E P C B A F [思維]二面角的大小是由二面角的平面角 來度量的，本題可利用三垂線定理（逆）來作 平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點(diǎn) 間距離公式求二面角的平面角。 解1：（三垂線定理法） 取AC的中點(diǎn)E，連接BE，過E做EFPC,連接BF 平面ABC，PA平面PAC 平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC 圖1 BE平面PAC 由三垂線定理知BFPC 為二面角A-PC-B的平面角 設(shè)PA=1,E為AC的中點(diǎn)，BE=,EF= tan= =argtan 解2：（三垂線定理法） P C B A E F M 取BC的中點(diǎn)E，連接AE，PE過A做AFPE, FMPC,連接FM AB=AC,PB=PC AEBC,PEBC BC平面PAE,BC平面PBC 圖2 平面PAE平面PBC, 平面PAE平面PBC=PE 由三垂線定理知AMPC 為二面角A-PC-B的平面角 設(shè)PA=1，AM=,AF= sin= P C B A E =argsin 解3：（投影法） 過B作BEAC于E,連結(jié)PE 平面ABC，PA平面PAC 圖3 平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC BE平面PAC 是在平面PAC上的射影 設(shè)PA=1,則PB=PC=,AB=1 , 由射影面積公式得，, 4.在單位正方體中， 求二面角的度數(shù)。 一、 三垂線法 利用三垂線定理或逆定理構(gòu)造出二面 角的平面角，進(jìn)而求解。 解法一. 作取的中點(diǎn), 連結(jié). 由三垂線逆定理知 為所求二面角的平面角 在中 二．射影法 利用斜面面積和射影面積的關(guān)系： （為斜面與射影所成二面角的平面角）直接求解。 解法二、取的中點(diǎn)，連結(jié) 在平面上的射影為 由 從而二面角的大小為