北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 1.3 正方形的性質(zhì)與判定

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北師大版九年級(jí)上冊(cè) 第一章 1.3 正方形的性質(zhì)與判定 姓名:________ 班級(jí):________ 成績(jī):________ 一、單選題 1 . 如圖，等腰直角與正方形DEFG位于直線l上，點(diǎn)B與點(diǎn)G重合，.將沿l向右以每秒1個(gè)單位的長(zhǎng)度平移，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止.記平移的時(shí)間為x（秒），與正方形DEFG重疊部分的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（ ） A． B． C． D． 2 . 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE=22.5，則BE的長(zhǎng)為（ ） A． B．2 C．4﹣4 D．4﹣2 3 . 下列條件可以利用定義說明平行四邊形是正方形的是（ ） A． B． C． D．以上均錯(cuò) 4 . 如圖，在正方形ABCD中，作等邊三角形ADE，則∠AEB的度數(shù)為（ ） A．10 B．15 C．12.5 D．20 5 . 下列說法中，正確的是（ ） A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 6 . 下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ） A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形 C．有三條邊相等的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 7 . 要使矩形ABCD為正方形，需要添加的條件是（ ） A．AB=BC B．AD=BC C．AB=CD D．AC=BD 8 . 如圖，在△ABC中，∠B = 60，∠EDC =∠BAC，且D為BC的中點(diǎn)，DE = CE，則AE︰AB的值為（ ）． A． B． C． D．無法確定 9 . 下列命題中，假命題是（ ） A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 10 . 如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ） A．四邊形AEDF一定是平行四邊形 B．若AD平分∠A，則四邊形AEDF是正方形 C．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形 D．若∠A＝90，則四邊形AEDF是矩形 11 . 如圖，?ABCD的邊長(zhǎng)為8，面積為32，四個(gè)全等的小平行四邊形對(duì)稱中心分別在?ABCD的頂點(diǎn)上，它們的各邊與?ABCD的各邊分別平行，且與?ABCD相似．若小平行四邊形的一邊長(zhǎng)為x，且0＜x≤8，陰影部分的面積的和為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 12 . 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形的邊在軸上，邊的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A． B． C． D． 13 . 下列命題中是假命題的是（ ） A．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形 14 . 如圖，下列結(jié)論：①四邊形是平行四邊形，且；②四邊形是平行四邊形，且；③四邊形是矩形，且；④四邊形是菱形，且．其中能推出四邊形為正方形的有（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 15 . 下列命題中，屬于真命題的是（ ） A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直平行的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是正方形 16 . 如圖，∠MON=90，線段AB的長(zhǎng)是一個(gè)定值，點(diǎn)A在射線OM上，點(diǎn)B在射線ON上．以 AB為邊向右上方作正方形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，在點(diǎn)A從上往下，點(diǎn)B從左到右運(yùn)動(dòng)的過 程中，下列說法正確的是（ ） A．點(diǎn)P始終在∠MON 的平分線上，且線段OP的長(zhǎng)有最大值等于AB B．點(diǎn)P始終在∠MON 的平分線上，且線段OP的長(zhǎng)有最大值等于AB C．點(diǎn)P不一定在∠MON 的平分線上，但線段OP的長(zhǎng)有最小值等于AB D．點(diǎn)P不一定在∠MON 的角平分線上，但線段OP的長(zhǎng)有最小值等于AB 二、填空題 17 . 在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=B A．其中正確的序號(hào)是_____． 18 . 矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使其成為正方形（只填一個(gè)即可）． 19 . 如圖，在圖1中，A1，B1，C1分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，在圖2中，A2，B2，C2分別是△A1B1C1的邊B1C1，C1A1，A1B1的中點(diǎn)，…，按此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)共有____個(gè)． 20 . E為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC=_____． 21 . 如圖，將正方形ABCD 繞點(diǎn)A 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形AB C D ，旋轉(zhuǎn)角為a（ 0＜a＜ 180），連接B D 、C D ，若B D =C D ，則a =____． 22 . 如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使菱形ABCD成為正方形，則這個(gè)條件是____________．(補(bǔ)充一個(gè)即可) 23 . 如圖所示，把一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，點(diǎn)分別落在點(diǎn)的位置．若，則等于________． 三、解答題 24 . 如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且為等邊三角形. （1）四邊形是菱形嗎?請(qǐng)說明理由； （2）若，試說明：四邊形是正方形. 25 . 觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，直線l過點(diǎn)C，點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E． （1）求證：△AEC≌△CDB； （2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=6，將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至AB′，連接B′C，求△AB′C的面積； （3）拓展提升：如圖3，∠E=60，EC=EB=4cm，點(diǎn)O在BC上，且OC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿射線EC以2cm/s速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到線段OF．要使點(diǎn)F恰好落在射線EB上，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間． 26 . 通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，已學(xué)過的《勾股定理》及《一次函數(shù)》都與它有密切的聯(lián)系，最近方程家族的《一元二次方程》我們也學(xué)習(xí)了它的求解方法和應(yīng)用。如圖1，矩形中，在上，且，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度在邊上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒。 （1）的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出時(shí)的值； （2）在點(diǎn)從點(diǎn)向運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在使的時(shí)刻？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由； （3）如圖2，分別是的中點(diǎn)，在點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)的過程中，線段掃過的圖形是什么形狀_________________，并直接寫出它的面積___________________________。 27 . 閱讀材料，并回答下列問題 如圖1，以AB為軸，把△ABC翻折180，可以變換到△ABD的位置； 如圖2，把△ABC沿射線AC平移，可以變換到△DEF的位置．像這樣，其中的一個(gè)三角形是另一個(gè)三角形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換．班里學(xué)習(xí)小組針對(duì)三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論 （1）請(qǐng)你寫出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），　?。? （2）如圖2，前進(jìn)小組把△ABC沿射線AC平移到△DEF，若平移的距離為2，且AC＝5，則DC＝　?。? （3）如圖3，圓夢(mèng)小組展開了探索活動(dòng)，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，且得出一個(gè)結(jié)論：2∠A′＝∠1+∠2．請(qǐng)你對(duì)這個(gè)結(jié)論給出證明． （4）如圖4，奮進(jìn)小組則提出，如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部點(diǎn)A′的位置，此時(shí)∠A′與∠1、∠2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，寫出正確結(jié)論并證明． 28 . 已知點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝O A． (1)如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，求證：∠ABC＝∠ACB； (2)如圖2，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，則∠ABC＝∠ACB成立嗎？并說明理由； (3)若點(diǎn)O在△ABC的外部，則∠ABC＝∠ACB成立嗎？請(qǐng)畫圖表示． 29 . 如圖，中，，，為的中線，作于，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，連接、． 求證：四邊形為菱形； 把分割成三個(gè)全等的三角形，需要兩條分割線段，若，求兩條分割線段長(zhǎng)度的和． 30 . 在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90，點(diǎn)D為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，連結(jié)AD，將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié)EC． (1)如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，如圖1： ①依題意補(bǔ)全圖1； ②求證：∠BAD＝∠EDC； ③通過觀察、實(shí)驗(yàn)，小明得出結(jié)論：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，總有∠DCE＝135，． 小明與同學(xué)討論后，形成了證明這個(gè)結(jié)論的幾種想法： 想法一：在AB上取一點(diǎn)F，使得BF＝BD，要證∠DCE＝135，只需證△ADF≌△DEC． 想法二：以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑畫弧交AC于點(diǎn)F，要證∠DCE＝135，只需證△AFD≌△DC A． 想法三：過點(diǎn)E作BC所在直線的垂直線段EF，要證∠DCE＝135，只需證EF＝C B． 請(qǐng)你參考上面的想法，證明∠DCE＝135 (2)如果點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，利用圖2畫圖分析，∠DCE的度數(shù)還是確定的值嗎？如果是，直接寫出∠DCE的度數(shù)；如果不是，說明理由． 31 . 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于F，連接CF． (1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形； (2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF為正方形，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)臈l件并證明你的結(jié)論． 第 12 頁 共 12 頁 參考答案 一、單選題 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 二、填空題 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 三、解答題 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、