微積分求極限的方法(2·完整版)
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專題一 求極限的方法【考點(diǎn)】求極限1、 近幾年來的考試必然會(huì)涉及求極限的大題目,一般為2-3題12-18分左右,而用極限的概念求極限的題目已不會(huì)出現(xiàn)。一般來說涉及到的方法主要涉及等價(jià)量代換、洛必達(dá)法則和利用定積分的概念求極限,使用這些方法時(shí)要注意條件,如等價(jià)量代換是在幾塊式子乘積時(shí)才可使用,洛必達(dá)法則是在0比0,無窮比無窮的情況下才可使用,運(yùn)用極限的四則運(yùn)算時(shí)要各部分極限存在時(shí)才可使用等。2、 極限收斂的幾個(gè)準(zhǔn)則:歸結(jié)準(zhǔn)則(聯(lián)系數(shù)列和函數(shù))、夾逼準(zhǔn)則(常用于數(shù)列的連加)、單調(diào)有界準(zhǔn)則、子數(shù)列收斂定理(可用于討論某數(shù)列極限不存在)3、 要注意除等價(jià)量代換和洛必達(dá)法則之外其他輔助方法的運(yùn)用,比如因式分解,分子有理化,變量代換等等。4、 兩個(gè)重要極限 ,注意變形,如將第二個(gè)式子中的變成某趨向于0的函數(shù)以構(gòu)造“”的形式的典型求極限題目。5、 一些有助于解題的結(jié)論或注意事項(xiàng)需要注意總結(jié),如:(1) 利用歸結(jié)原則將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限(2) 函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。有時(shí)可以利用這點(diǎn)進(jìn)行解題,如因左右極限不相等而在這點(diǎn)極限不存在。(當(dāng)式子中出現(xiàn)絕對(duì)值和e的無窮次方的結(jié)構(gòu)時(shí)可以考慮從這個(gè)角度出發(fā))(3) 遇到無限項(xiàng)和式求極限時(shí)想三種方法:看是否能直接求出這個(gè)和式(如等比數(shù)列求和)再求極限夾逼定理用定積分的概念求解。(4)如果f(x)/g(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限存在,而當(dāng)xx0時(shí)g(x)0,則當(dāng)xx0時(shí)f(x)也 0(5)一個(gè)重要的不等式:()*其中方法考到的可能性較大。6、 有關(guān)求極限時(shí)能不能直接代入數(shù)據(jù)的問題。7、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最值定理、根的存在性定理、介值定理)8、 此部分題目屬于基本題型的題目,需要盡量拿到大部分的分?jǐn)?shù)?!纠}精解求極限的方法】方法一:直接通過化簡,運(yùn)用極限的四則運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算?!纠?】求極限 解 =注:此題通過洛必達(dá)法則進(jìn)行求解也非常方便。還可通過變量代換構(gòu)造等價(jià)量。【例2】求極限解 注:1、遇到“根號(hào)加減根號(hào)”基本上有兩種方法有理化和采取倒變量的方法。2、一個(gè)最基本的多項(xiàng)式極限(系數(shù)均不為0):若nm,則極限為正無窮;若nm,則極限為0;若n=m,則極限為。(本質(zhì)為比較次數(shù))要注意的是是趨向于正無窮,而且分子分母遇到根號(hào)時(shí)要以根號(hào)里的最高次的次來計(jì)算,如的次數(shù)為1。方法二:利用單調(diào)有界準(zhǔn)則來證明極限存在并求極限【例3】設(shè),,證明存在并求之方法三:利用夾逼定理適用于無限項(xiàng)求極限時(shí)可放縮的情況。【例4】求極限解 因 而 故由夾逼定理=1方法四&方法五:等價(jià)量代換、洛必達(dá)法則未定式極限。(化加減為乘除?。纠?】求極限解 原式=【例6】求極限解 = 【例7】求極限解 原式= = = 【例8】求極限解:直接運(yùn)用洛必達(dá)法則和等價(jià)量代換可得=1+4+9=14【例9】求極限解: 由換底公式,=()= 若,則極限為;若,則極限為,綜上,極限為方法六:冪指函數(shù)求極限取對(duì)數(shù)再取指數(shù)?!纠?0】解 【例11】解 【例12】求極限注意x是趨向正無窮,此時(shí)需要先分析底數(shù)和指數(shù)分別趨向于多少,分析底數(shù)易知底數(shù)趨向于正無窮。但是指數(shù)arccotx這個(gè)函數(shù)不是很熟,可以通過圖像先分析cotx再分析arccotx趨向于多少,最后得出結(jié)論是指數(shù)趨于0。故是一個(gè)“”型,所以要用“先取對(duì)數(shù)再取指數(shù)”的方法。對(duì)于之后arccotx的處理,若用羅比達(dá)對(duì)其求導(dǎo)則會(huì)發(fā)現(xiàn)再接下來比較難做,這里給出一個(gè)轉(zhuǎn)化為熟悉的,可等加量代換的式子的方法,方法較靈活,需要對(duì)三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換有很深的熟悉度。解 原式= =關(guān)于第三個(gè)等號(hào)左右的變化:令,則,故,綜上,方法七:運(yùn)用泰勒定理求極限適用于直接洛必達(dá)不好算時(shí)考慮的方法?!纠?3】求極限解 , 代入原式可得,原式=方法八:通過定積分的概念來求極限【例14】求解 由于此題無法直接對(duì)式子進(jìn)行化簡,也無法用夾逼定理,故想到用定積分的概念來求解,即 原式=此時(shí)由定積分的概念可將上面的和式看成被積函數(shù)在0,1上的定積分,故=【例15】求極限解 【例16】【分析】此題看似復(fù)雜,其實(shí)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)仍為無限項(xiàng)的和式求極限,故再次想到用定積分的概念求解。故我們需要找到定積分概念中和式極限的“”和“”?!啊蔽覀兛梢灶愃啤纠?】,自己把這一項(xiàng)構(gòu)造出來,而這一項(xiàng)不同于我們以往做過的題目中經(jīng)常取小區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn),而是取了中間一個(gè)點(diǎn),但是無論如何,由于“取點(diǎn)的任意性”,只要能表示成中的一種即可看作為0到1上的定積分。解: 原式= 故原式=【一些核心問題&問的很多的題目】1、求極限的時(shí)候到底什么時(shí)候可以直接代進(jìn)去?【例子1】【例子2】【例子3】【例子4】,2、蘇德礦版微積分P104 T107令,化簡方程【一些練習(xí)題,有點(diǎn)難度,可做可不做】1、2、=1,=2,求3、答案:1、12、03、- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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