微觀經(jīng)濟(jì)4章-習(xí)題答案

《微觀經(jīng)濟(jì)4章-習(xí)題答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《微觀經(jīng)濟(jì)4章-習(xí)題答案（15頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第四章 生產(chǎn)論 1. 下面(表4—1)是一張一種可變生產(chǎn)要素的短期生產(chǎn)函數(shù)的產(chǎn)量表： 表4—1 可變要素的數(shù)量 可變要素的總產(chǎn)量 可變要素的平均產(chǎn)量 可變要素的邊際產(chǎn)量 1 2 2 10 3 24 4 12 5 60 6 6 7 70 8 0 9 63 (1) 在表中填空。 (2) 該生產(chǎn)函數(shù)是否表現(xiàn)出邊際報酬遞減？如果是，是從第幾單位的可變要素投入量開始的？ 解答：(1) 利用短期生產(chǎn)的總產(chǎn)量(TP)、平均產(chǎn)量(AP)和邊際產(chǎn)量(MP)之間的關(guān)系，可以完成對該表的填空，其結(jié)果如表4—2所示： 表4—2 可變要素的數(shù)量 可變要素的總產(chǎn)量 可變要素的平均產(chǎn)量 可變要素的邊際產(chǎn)量 1 2 2 2 2 12 6 10 3 24 8 12 4 48 12 24 5 60 12 12 6 66 11 6 7 70 10 4 8 70 70/8 0 9 63 7 －7 (2) 所謂邊際報酬遞減是指短期生產(chǎn)中一種可變要素的邊際產(chǎn)量在達(dá)到最高點(diǎn)以后開始逐步下降的這樣一種普遍的生產(chǎn)現(xiàn)象。本題的生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出邊際報酬遞減的現(xiàn)象，具體地說，由表4—2可見，當(dāng)可變要素的投入量從第4單位增加到第5單位時，該要素的邊際產(chǎn)量由原來的24下降為12。 2. 用圖說明短期生產(chǎn)函數(shù)的TPL曲線、APL曲線和MPL曲線的特征及其相互之間的關(guān)系。 解答：短期生產(chǎn)函數(shù)的TPL曲線、APL曲線和MPL曲線的綜合圖如圖4—1所示。 圖4—1 由圖4—1可見，在短期生產(chǎn)的邊際報酬遞減規(guī)律的作用下，MPL曲線呈現(xiàn)出先上升達(dá)到最高點(diǎn)A以后又下降的趨勢。從邊際報酬遞減規(guī)律決定的MPL曲線出發(fā)，可以方便地推導(dǎo)出TPL曲線和APL曲線，并掌握它們各自的特征及相互之間的關(guān)系。 關(guān)于TPL曲線。由于MPL＝dTPL/dL，所以，當(dāng)MPL＞0時，TPL曲線是上升的；當(dāng)MPL＜0時，TPL曲線是下降的；而當(dāng)MPL＝0時，TPL曲線達(dá)最高點(diǎn)。換言之，在L＝L3時，MPL曲線達(dá)到零值的B點(diǎn)與TPL曲線達(dá)到最大值的B′點(diǎn)是相互對應(yīng)的。此外，在L＜L3即MPL＞0的范圍內(nèi)，當(dāng)MP′L ＞0時，TPL曲線的斜率遞增，即TPL曲線以遞增的速率上升；當(dāng)MP′L＜0時，TPL曲線的斜率遞減，即TPL曲線以遞減的速率上升；而當(dāng)MP′＝0時，TPL曲線存在一個拐點(diǎn)，換言之，在L＝L1時，MPL曲線斜率為零的A點(diǎn)與TPL曲線的拐點(diǎn)A′是相互對應(yīng)的。 關(guān)于APL曲線。由于APL＝TPL/L，所以，在L＝L2時，TPL曲線有一條由原點(diǎn)出發(fā)的切線，其切點(diǎn)為C。該切線是由原點(diǎn)出發(fā)與TPL曲線上所有的點(diǎn)的連線中斜率最大的一條連線，故該切點(diǎn)對應(yīng)的是APL的最大值點(diǎn)。再考慮到APL曲線和MPL曲線一定會相交在APL曲線的最高點(diǎn)。因此，在圖4—1中，在L＝L2時，APL曲線與MPL曲線相交于APL曲線的最高點(diǎn)C′，而且與C′點(diǎn)相對應(yīng)的是TPL曲線上的切點(diǎn)C。 3. 已知生產(chǎn)函數(shù)Q＝f(L， K)＝2KL－0.5L2－0.5K2， 假定廠商目前處于短期生產(chǎn)，且K＝10。 (1) 寫出在短期生產(chǎn)中該廠商關(guān)于勞動的總產(chǎn)量TPL函數(shù)、勞動的平均產(chǎn)量APL函數(shù)和勞動的邊際產(chǎn)量MPL函數(shù)。 (2) 分別計算當(dāng)勞動的總產(chǎn)量TPL、勞動的平均產(chǎn)量APL和勞動的邊際產(chǎn)量MPL各自達(dá)到最大值時的廠商的勞動投入量。 (3) 什么時候APL＝MPL？它的值又是多少？ 解答：(1)由生產(chǎn)函數(shù)Q＝2KL－0.5L2－0.5K2，且K＝10，可得短期生產(chǎn)函數(shù)為 　　Q＝20L－0.5L2－0.5102＝20L－0.5L2－50 于是，根據(jù)總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量的定義，有以下函數(shù) 勞動的總產(chǎn)量函數(shù)：TPL＝20L－0.5L2－50 勞動的平均產(chǎn)量函數(shù)：APL＝TPL/L＝20－0.5L－50/L 勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù)：MPL＝dTPL/dL＝20－L (2) 關(guān)于總產(chǎn)量的最大值： 令MPL＝ dTPL/dL＝0，即dTPL/dL＝20－L＝0 解得　　L＝20 且　　　eq \f(d2TPL,dL2)＝－1＜0 所以，當(dāng)勞動投入量L＝20時，勞動的總產(chǎn)量TPL達(dá)到極大值。 關(guān)于平均產(chǎn)量的最大值： 當(dāng)MPL＝APL時，平均產(chǎn)量APL最大，代入有關(guān)參數(shù)可得20－0.5L－50/L＝20－L，即－0.5＋50L－2＝0 解得　　L＝10 (已舍去負(fù)值) 且　　　eq \f(d2APL,dL2)＝－100L－3＜0 所以，當(dāng)勞動投入量L＝10時，勞動的平均產(chǎn)量APL達(dá)到極大值。 關(guān)于邊際產(chǎn)量的最大值： 由勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù)MPL＝20－L可知，邊際產(chǎn)量曲線是一條斜率為負(fù)的直線?？紤]到勞動投入量總是非負(fù)的，所以，當(dāng)勞動投入量L＝0時，勞動的邊際產(chǎn)量MPL達(dá)到極大值。 (3) 當(dāng)勞動的平均產(chǎn)量APL達(dá)到最大值時，一定有APL＝MPL。由(2)已知，當(dāng)L＝10時，勞動的平均產(chǎn)量APL達(dá)到最大值，即相應(yīng)的最大值為 　　APLmax＝20－0.510－50/10＝10 將L＝10代入勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù)MPL＝20－L，得MPL＝20－10＝10。 很顯然，當(dāng)APL＝MPL＝10時，APL一定達(dá)到其自身的極大值，此時勞動投入量為L＝10。 4. 區(qū)分邊際報酬遞增、不變和遞減的情況與規(guī)模報酬遞增、不變和遞減的情況。 解答：邊際報酬變化是指在生產(chǎn)過程中一種可變要素投入量每增加一個單位時所引起的總產(chǎn)量的變化量，即邊際產(chǎn)量的變化，而其他生產(chǎn)要素均為固定生產(chǎn)要素，固定要素的投入數(shù)量是保持不變的。邊際報酬變化具有包括邊際報酬遞增、不變和遞減的情況。很顯然，邊際報酬分析可視為短期生產(chǎn)的分析視角。 規(guī)模報酬分析方法是描述在生產(chǎn)過程中全部生產(chǎn)要素的投入數(shù)量均同比例變化時所引起的產(chǎn)量變化特征，當(dāng)產(chǎn)量的變化比例分別大于、等于、小于全部生產(chǎn)要素投入量變化比例時，則分別為規(guī)模報酬遞增、不變、遞減。很顯然，規(guī)模報酬分析可視為長期生產(chǎn)的分析視角。 5. 已知生產(chǎn)函數(shù)為Q＝min{2L，3K}。求： (1) 當(dāng)產(chǎn)量Q＝36時，L與K值分別是多少？ (2) 如果生產(chǎn)要素的價格分別為PL＝2，PK＝5，則生產(chǎn)480單位產(chǎn)量時的最小成本是多少？ 解答：(1) 生產(chǎn)函數(shù)Q＝min{2L， 3K} 表示該函數(shù)是一個固定投入比例的生產(chǎn)函數(shù)，所以，廠商進(jìn)行生產(chǎn)時，總有Q＝2L＝3K。 因此，當(dāng)產(chǎn)量Q＝36時，相應(yīng)地有L＝18，K＝12。 (2) 由Q＝2L＝3K，且Q＝480，可得 　　L＝240，K＝160 又因?yàn)镻L＝2，PK＝5，所以有 　　C＝PLL＋PKK ＝2240＋5160＝1 280 即生產(chǎn)480單位產(chǎn)量的最小成本為1 280。 6.假設(shè)某廠商的短期生產(chǎn)函數(shù)為 Q＝35L＋8L2－L3。 求：(1) 該企業(yè)的平均產(chǎn)量函數(shù)和邊際產(chǎn)量函數(shù)。 (2) 如果企業(yè)使用的生產(chǎn)要素的數(shù)量為L＝6，是否處于短期生產(chǎn)的合理區(qū)間？為什么？ 解答：(1) 平均產(chǎn)量函數(shù)：AP(L)＝Q/L＝35＋8L－L2 邊際產(chǎn)量函數(shù)：MP(L)＝dQ/dL＝35＋16L－3L2 (2) 首先需要確定生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間。 在生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間的左端，有AP＝MP。于是，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。 在生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間的右端，有MP＝0。于是，有35＋16L－3L2＝0。解得L＝eq \f(5,3)和L＝7。L為負(fù)值不合理，舍去，故取L＝7。 由此可得，生產(chǎn)要素L投入量的合理區(qū)間為[4,7]，即當(dāng)4≤L≤7時，企業(yè)處于短期生產(chǎn)的第二階段。所以，企業(yè)對生產(chǎn)要素L的使用量為6是處于短期生產(chǎn)的第二階段，屬于合理的決策區(qū)間。 7. 假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)Q＝3L0.8K0.2。試問： (1) 該生產(chǎn)函數(shù)是否為齊次生產(chǎn)函數(shù)？ (2) 如果根據(jù)歐拉分配定理，生產(chǎn)要素L和K都按其邊際產(chǎn)量領(lǐng)取實(shí)物報酬，那么，分配后產(chǎn)品還會有剩余嗎？ 解答：(1) 因?yàn)镼＝f(L,K)＝3L0.8K0.2,所以 　　f(λL，λK)＝3(λL)0.8(λK)0.2＝λ0.8＋0.23L0.8K0.2 ＝λ3L0.8K0.2＝λf(L，K)＝λ Q 故而，該生產(chǎn)函數(shù)為齊次生產(chǎn)函數(shù)，且為規(guī)模報酬不變的一次齊次生產(chǎn)函數(shù)。 (2) 因?yàn)樯a(chǎn)函數(shù)為Q＝3L0.8K0.2 　　MPL＝dQ/dL＝3K0.20.8L-0.2＝2.4L－0.2K0.2 　　MPK＝dQ/dK＝3L0.80.2K-0.8＝0.6L0.8K－0.8 所以，根據(jù)歐拉分配定理，被分配掉的實(shí)物總量為 　　MPLL＋MPKK＝2.4L－0.2K0.2L＋0.6L0.8K－0.8K ＝2.4L0.8K0.2＋0.6L0.8K0.2＝3L0.8K0.2 可見，對于一次齊次的該生產(chǎn)函數(shù)來說，若按歐拉分配定理分配實(shí)物報酬，則所生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好分完，不會有剩余。 8. 假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)Q＝min{5L,2K}。 (1) 作出Q＝50時的等產(chǎn)量曲線。 (2) 推導(dǎo)該生產(chǎn)函數(shù)的邊際技術(shù)替代率函數(shù)。 (3) 分析該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報酬情況。 解答：(1) 生產(chǎn)函數(shù)Q＝min{5L,2K}是固定投入比例的生產(chǎn)函數(shù)，其等產(chǎn)量曲線如圖4—2所示為直角形狀，且在直角點(diǎn)兩要素的固定投入比例為K/L＝5/2。 圖4—2 當(dāng)產(chǎn)量Q＝50時，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。相應(yīng)的Q＝50的等產(chǎn)量曲線如圖4—2所示。 (2) 由于該生產(chǎn)函數(shù)為固定投入比例，即L與K之間沒有替代關(guān)系，所以，邊際技術(shù)替代率MRTSLK＝0。 (3) 因?yàn)镼＝f(L，K)＝min{5L,2K} 　　f(λL，λK)＝min{5λL,2λK}＝λmin{5L,2K} 所以該生產(chǎn)函數(shù)為一次齊次生產(chǎn)函數(shù)，呈現(xiàn)出規(guī)模報酬不變的特征。 9. 已知柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為Q＝ALαKβ。請討論該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報酬情況。 解答：因?yàn)?Q＝f(L，K)＝ALαKβ 　　f (λL，λK)＝A(λL)α(λK)β＝λα＋βALαKβ 所以當(dāng)α＋β>1時，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬遞增；當(dāng)α＋β＝1時，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬不變；當(dāng)α＋β<1時，該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬遞減。 10. 已知生產(chǎn)函數(shù)為 (a) Q＝5L1/3K2/3； (b) Q＝KL/K＋L； (c) Q＝KL2； (d) Q＝min{3L，K}。 求：(1) 廠商長期生產(chǎn)的擴(kuò)展線方程。 (2) 當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，廠商實(shí)現(xiàn)最小成本的要素投入組合。 解答：(1) (a)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝5L1/3K2/3。 　MPL＝5/3L-2/3K2/3 　　MPK＝10/3L1/3K-1/3 由最優(yōu)要素組合的均衡條件MPL/MPK＝PL/PK，可得 　　5/3L-2/3K2/3＝10/3L1/3K-1/3＝PL/PK 整理得 　　K/(2L)＝PL/PK 即廠商長期生產(chǎn)的擴(kuò)展線方程為 　　K＝2PLL/PK (b)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝KL/K＋L。 　　MPL＝(K(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝K2/(K＋L)2 　　MPK＝(L(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝L2/(K＋L)2 由最優(yōu)要素組合的均衡條件MPL/MPK＝PL/PK，可得 　　 K2/(K＋L)2/L2/(K＋L)2＝PL/PK 整理得 　　 K2/L2＝PL/PK 即廠商長期生產(chǎn)的擴(kuò)展線方程為 　　K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq \f(1,2)L (c)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝KL2。 　　MPL＝2KL 　　MPK＝L2 由最優(yōu)要素組合的均衡條件MPL/MPK＝PL/PK，可得 　　eq \f(2KL,L2)＝eq \f(PL,PK) 即廠商長期生產(chǎn)的擴(kuò)展線方程為 　　K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,2PK)))L (d) 關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝min(3L，K)。 由于該函數(shù)是固定投入比例的生產(chǎn)函數(shù)，即廠商的生產(chǎn)總有3L＝K，所以，直接可以得到廠商長期生產(chǎn)的擴(kuò)展線方程為K＝3L。 (2)(a) 關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)。 當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴(kuò)展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2PL,PK)))L得 　　K＝2L 代入生產(chǎn)函數(shù)Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3) 得　　5Leq \f(1,3)(2L)eq \f(2,3)＝1 000 于是，有L＝eq \f(200,\r(3,4))，K＝eq \f(400,\r(3,4))。 (b) 關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝eq \f(KL,K＋L)。 當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴(kuò)展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq \f(1,2)L得 　　K＝L 代入生產(chǎn)函數(shù)Q＝eq \f(KL,K＋L) 得　　eq \f(L2,L＋L)＝1 000 于是，有L＝2 000，K＝2 000。 (c) 關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝KL2。 當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴(kuò)展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,2PK)))L得 　　K＝eq \f(1,2)L 代入生產(chǎn)函數(shù)Q＝KL2，得 　　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2)))L2＝1 000 于是，有L＝10eq \r(3,2)，K＝5eq \r(3,2)。 (d) 關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝min{3L，K}。 當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，將其擴(kuò)展線方程K＝3L，代入生產(chǎn)函數(shù)，得　　K＝3L＝1 000 于是，有K＝1 000，L＝eq \f(1 000,3)。 11. 已知生產(chǎn)函數(shù)Q＝AL1/3K2/3。 判斷：(1) 在長期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報酬屬于哪一種類型？ (2) 在短期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)是否受邊際報酬遞減規(guī)律的支配？ 解答：(1) 因?yàn)镼＝f(L，K)＝ALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)， 于是有 　　f(λL，λK)＝A(λL)eq \f(1,3)(λK)eq \f(2,3)＝Aλeq \f(1,3)＋eq \f(2,3)Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)＝λALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)＝λf(L，K) 所以，生產(chǎn)函數(shù)Q＝ALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)屬于規(guī)模報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)。 (2) 假定在短期生產(chǎn)中，資本投入量不變，以eq \o(K,\s\up6(－))表示；而勞動投入量可變，以L表示。 對于生產(chǎn)函數(shù)Q＝ALeq \f(1,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3)，有 　　MPL＝eq \f(1,3)AL－eq \f(2,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3) 且　　　eq \f(dMPL,dL)＝－eq \f(2,9)AL－eq \f(5,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3)＜0 這表明：在短期資本投入量不變的前提下，隨著一種可變要素勞動投入量的增加，勞動的邊際產(chǎn)量MPL是遞減的。 類似地，假定在短期生產(chǎn)中，勞動投入量不變，以eq \o(L,\s\up6(－))表示；而資本投入量可變，以K表示。 對于生產(chǎn)函數(shù)Q＝Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)Keq \f(2,3)，有 　　MPK＝eq \f(2,3)Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)K－eq \f(1,3) 且　　　eq \f(dMPK,dK)＝－eq \f(2,9)Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)K－eq \f(4,3)＜0 這表明：在短期勞動投入量不變的前提下，隨著一種可變要素資本投入量的增加，資本的邊際產(chǎn)量MPK是遞減的。 以上的推導(dǎo)過程表明該生產(chǎn)函數(shù)在短期生產(chǎn)中受邊際報酬遞減規(guī)律的支配。 12. 令生產(chǎn)函數(shù)f(L，K)＝α0＋α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0,1,2,3。 (1) 當(dāng)滿足什么條件時，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報酬不變的特征。 (2) 證明：在規(guī)模報酬不變的情況下，相應(yīng)的邊際產(chǎn)量是遞減的。 解答：(1) 根據(jù)規(guī)模報酬不變的定義 　　f(λL，λK)＝λf(L，K)　　( λ＞0 ) 于是有 　　f(λL，λK)＝α0＋α1[(λL)(λK)]eq \f(1,2)＋α2(λK)＋α3(λL) ＝α0＋λα1(LK)eq \f(1,2)＋λα2K＋λα3L ＝λ[α0＋α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L]＋(1－λ)α0 ＝λf(L，K)＋(1－λ)α0 由上式可見，當(dāng)α0＝0時，對于任何的λ＞0，有f(λL，λK)＝λf(L，K)成立，即當(dāng)α0＝0時，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報酬不變的特征。 (2) 在規(guī)模報酬不變，即α0＝0時，生產(chǎn)函數(shù)可以寫成 　　f(L，K)＝α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L 相應(yīng)地，勞動與資本的邊際產(chǎn)量分別為 　　MPL(L，K)＝eq \f(?f(L，K),?L)＝eq \f(1,2)α1L－eq \f(1,2)Keq \f(1,2)＋α3 　　MPK(L，K)＝eq \f(?f(L，K),?K)＝eq \f(1,2)α1Leq \f(1,2)K－eq \f(1,2)＋α2 而且有 　　eq \f(?MPL(L，K),?L)＝eq \f(?2f(L，K),?L2)＝－eq \f(1,4)α1L－eq \f(3,2)Keq \f(1,2) 　　eq \f(?MPK(L，K),?K)＝eq \f(?2f(L，K),?K2)＝－eq \f(1,4)α1Leq \f(1,2)K－eq \f(3,2) 顯然，勞動和資本的邊際產(chǎn)量都是遞減的。 13. 已知某企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為Q＝Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)，勞動的價格w＝2，資本的價格r ＝1。求： (1) 當(dāng)成本C＝3 000時，企業(yè)實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量時的L、K和Q的均衡值。 (2) 當(dāng)產(chǎn)量Q＝800時，企業(yè)實(shí)現(xiàn)最小成本時的L、K和C的均衡值。 解答：(1) 根據(jù)企業(yè)實(shí)現(xiàn)給定成本條件下產(chǎn)量最大化的均衡條件 　　MPL/MPK＝ w / r 其中　MPL＝eq \f(dQ,dL)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3) 　　MPK＝eq \f(dQ,dK)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3) 　　w＝2　　r ＝1 于是有　eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3),eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3))＝eq \f(2,1) 整理得　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1) 即　　　K＝L 再將K＝L代入約束條件2L＋1K＝3 000，有 　　2L＋L＝3 000 解得　　L*＝1 000 且有　　K*＝1 000 將L*＝K*＝1 000代入生產(chǎn)函數(shù)，求得最大的產(chǎn)量 　　Q*＝(L*)eq \f(2,3)(K*)eq \f(1,3)＝1 000eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝1 000 本題的計算結(jié)果表示：在成本C＝3 000時，廠商以L*＝1 000，K*＝1 000進(jìn)行生產(chǎn)所達(dá)到的最大產(chǎn)量為Q*＝1 000。 此外，本題也可以用以下的拉格朗日函數(shù)法來求解。 　　eq \o(max,\s\do4(L，K))Leq \f(2,3)Keq \f(1,3) 　　s.t.　2L＋1K＝3 000 　　L(L，K，λ)＝Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＋λ(3 000－2L－K) 將拉格朗日函數(shù)分別對L、K和λ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件 　　eq \f(?L,?L)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)－2λ＝0 (1) 　　eq \f(?L,?K)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)－λ＝0 (2) 　　eq \f(?L,?λ)＝3 000－2L－K＝0 (3) 由式(1)、式(2)可得 　　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1) 即　　　K＝L 將K＝L代入約束條件即式(3)，可得 　　3 000－2L－L＝0 解得　　L*＝1 000 且有　　K*＝1 000 再將L*＝K*＝1 000代入目標(biāo)函數(shù)即生產(chǎn)函數(shù)，得最大產(chǎn)量 　　Q*＝(L*)eq \f(2,3)(K*)eq \f(1,3)＝1 000eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝1 000 在此略去關(guān)于極大值的二階條件的討論。 (2) 根據(jù)廠商實(shí)現(xiàn)給定產(chǎn)量條件下成本最小化的均衡條件 　　MPL/MPK＝ w / r 其中　　MPL＝eq \f(dQ,dL)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3) 　　MPK＝eq \f(dQ,dK)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3) 　　w＝2　r ＝1 于是有　eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3),eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3))＝eq \f(2,1) 整理得　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1) 即　　　K＝L 再將K＝L代入約束條件Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝800，有 　　Leq \f(2,3)Leq \f(1,3)＝800 解得　　L*＝800 且有　　K*＝800 將L*＝K*＝800代入成本方程2L＋1K＝C，求得最小成本 　　C*＝2800＋1800＝2 400 本題的計算結(jié)果表示：在Q＝800時，廠商以L*＝800，K*＝800進(jìn)行生產(chǎn)的最小成本為C*＝2 400。 此外，本題也可以用以下的拉格朗日函數(shù)法來求解。 　　mieq \o(n,\s\do4(L，K))2L＋K 　　s.t.　Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝800 　　L(L，K，μ)＝2L＋K＋μ(800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)) 將拉格朗日函數(shù)分別對L、K和μ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件 　　eq \f(?L,?L)＝2－eq \f(2,3)μL－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)＝0 (1) 　　eq \f(?L,?K)＝1－eq \f(1,3)μLeq \f(2,3)K－eq \f(2,3)＝0 (2) 　　eq \f(?L,?μ)＝800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝0 (3) 由式(1)、式(2)可得 　　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1) 即　　　K＝L 將K＝L代入約束條件即式(3)，有 　　800－Leq \f(2,3)Leq \f(1,3)＝0 解得　　L＝800 且有　　K＝800 再將L*＝K*＝800代入目標(biāo)函數(shù)即成本等式，得最小的成本 　　C＝2L＋1K＝2800＋1800＝2 400 在此略去關(guān)于極小值的二階條件的討論。 14. 畫圖說明廠商在既定成本條件下是如何實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量的最優(yōu)要素組合的。 圖4—3 解答：以圖4—3為例，要點(diǎn)如下： (1)由于本題的約束條件是既定的成本，所以，在圖4—3中，只有一條等成本線AB；此外，有三條等產(chǎn)量曲線Q1、Q2和Q3以供分析，并從中找出相應(yīng)的最大產(chǎn)量水平。 (2)在約束條件即等成本線AB給定的條件下，先看等產(chǎn)量曲線Q3，該曲線處于AB線以外，與AB線既無交點(diǎn)又無切點(diǎn)，所以，等產(chǎn)量曲線Q3表示的產(chǎn)量過大，既定的等成本線AB不可能實(shí)現(xiàn)Q3的產(chǎn)量。再看等產(chǎn)量曲線Q1，它與既定的AB線交于a、b兩點(diǎn)。在這種情況下，廠商只要從a點(diǎn)出發(fā)，沿著AB線往下向E點(diǎn)靠攏，或者從b點(diǎn)出發(fā)，沿著AB線往上向E點(diǎn)靠攏，就都可以在成本不變的條件下，通過對生產(chǎn)要素投入量的調(diào)整，不斷地增加產(chǎn)量，最后在等成本線AB與等產(chǎn)量曲線Q2的相切處E點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)最大的產(chǎn)量。由此可得，廠商實(shí)現(xiàn)既定成本條件下產(chǎn)量最大化的均衡條件是MRTSLK＝w / r，且整理可得　MPL/ w＝ MPK / r。 圖4—4 15. 畫圖說明廠商在既定產(chǎn)量條件下是如何實(shí)現(xiàn)最小成本的最優(yōu)要素組合的。 解答：以圖4—4為例，要點(diǎn)如下： (1)由于本題的約束條件是既定的產(chǎn)量，所以，在圖4—4中，只有一條等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))；此外，有三條等成本線AB、A′B′和A″B″以供分析，并從中找出相應(yīng)的最小成本。 (2)在約束條件即等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))給定的條件下，先看等成本線AB，該線處于等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))以下，與等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))既無交點(diǎn)又無切點(diǎn)，所以，等成本線AB所代表的成本過小，它不可能生產(chǎn)既定產(chǎn)量eq \o(Q,\s\up6(－))。再看等成本線A″B″，它與既定的等產(chǎn)量曲線交于a、b兩點(diǎn)。在這種情況下，廠商只要從a點(diǎn)出發(fā)，沿著等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))往下向E點(diǎn)靠攏，或者，從b點(diǎn)出發(fā)，沿著等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))往上向E點(diǎn)靠攏，就都可以在既定的產(chǎn)量條件下，通過對生產(chǎn)要素投入量的調(diào)整，不斷地降低成本，最后在等產(chǎn)量曲線eq \o(Q,\s\up6(－))與等成本線A′B′的相切處E點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)最小的成本。由此可得，廠商實(shí)現(xiàn)既定產(chǎn)量條件下成本最小化的均衡條件是MRTSLK＝w / r，且整理可得MPL/ w＝ MPK / r。