【高考前三個月復習數(shù)學理科函數(shù)與導數(shù)】專題3 第16練

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第16練　定積分問題 [題型分析高考展望]　定積分在理科高考中，也是重點考查內(nèi)容.主要考查定積分的計算和利用定積分求不規(guī)則圖形的面積，題目難度不大，多為中低檔題目，常以選擇題、填空題的形式考查，掌握定積分的計算公式，會求各種類型的曲邊圖形的面積是本節(jié)重點. 常考題型精析 題型一　定積分的計算 例1　(1)(2014陜西)定積分?(2x＋ex)dx的值為(　　) A.e＋2 B.e＋1 C.e D.e－1 (2)(2014江西)若f(x)＝x2＋2?f(x)dx，則?f(x)dx等于(　　) A.－1 B.－ C. D.1 點評　(1)計算定積分要先將被積函數(shù)化簡后利用運算性質(zhì)分解成幾個簡單函數(shù)的定積分，再利用微積分基本定理求解； (2)對有關(guān)函數(shù)圖象和圓的定積分問題可以利用定積分的幾何意義求解. 變式訓練1　(1)設f(x)＝則?f(x)dx等于(　　) A. B. C. D.不存在 (2)若定積分?dx＝，則m等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 題型二　利用定積分求曲邊梯形的面積 例2　(1)(2014山東)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 (2)直線l過拋物線C：x2＝4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于(　　) A. B.2 C. D. (3)由曲線y＝sin x，y＝cos x與直線x＝0，x＝所圍成的平面圖形(如圖中的陰影部分所示)的面積是(　　) A.1 B. C. D.2－2 點評　求曲邊多邊形面積的步驟： (1)畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖形. (2)借助圖形確定被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上限、下限. (3)將曲邊梯形的面積表示為若干個定積分之和. (4)計算定積分. 變式訓練2　(2015陜西)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線表示)，則原始的最大流量與當前最大流量的比值為________. 高考題型精練 1.已知自由落體運動的速率v＝gt，則落體運動從t＝0到t＝t0所走的路程為(　　) A. B.gt C. D. 2.(2015廣州模擬)若(sin x－acos x)dx＝2，則實數(shù)a等于(　　) A.－1 B.1 C.－ D. 3.由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cos x所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A. B.1 C. D. 4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝?(1＋2x)dx，S20＝17，則S30為(　　) A.15 B.20 C.25 D.30 5.(2015德州模擬)圖中陰影部分的面積是(　　) A.16 B.18 C.20 D.22 6.(2015北京朝陽區(qū)模擬)設f(x)＝(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則 ?f(x)dx的值為(　　) A. B. C. D. 7.(2014湖南)已知函數(shù)f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸 是( 　) A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 8.設n＝4sin xdx，則二項式(x－)n的展開式的常數(shù)項是(　　) A.12 B.6 C.4 D.1 9.曲線y＝與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形的面積為________. 10.(2015青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為________. 11.(2015福建)如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2，若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于______. 12.求曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積. 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第16練　定積分問題 ?？碱}型精析 例1　(1)C (2)B 解析　(1)?(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝e.故選C. (2)∵f(x)＝x2＋2?f(x)dx， ∴?f(x)dx＝(x3＋2x?f(x)dx)| ＝＋2?f(x)dx，∴?f(x)dx＝－. 變式訓練1　(1)C　(2)A 解析　(1)?f(x)dx＝?x2dx＋?(2－x)dx ＝x3|＋| ＝＋＝. (2)根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分?dx的值就是函數(shù)y＝的圖象與x軸及直線x＝－2，x＝m所圍成圖形的面積，y＝是一個半徑為1的半圓，其面積等于，而?dx＝，即在區(qū)間[－2，m]上該函數(shù)圖象應為個圓，于是得m＝－1，故選A. 例2　(1)D　(2)C　(3)D 解析　(1)令4x＝x3，解得x＝0或x＝2， ∴S＝?(4x－x3)＝＝8－4＝4，故選D. (2)∵拋物線方程為x2＝4y， ∴其焦點坐標為F(0,1)，故直線l的方程為y＝1. 如圖所示，可知l與C圍成的圖形的面積等于矩形OABF的面積與函數(shù)y＝x2的圖象和x軸正半軸及直線x＝2圍成的圖形的面積的差的2倍(圖中陰影部分的2倍)， 即S＝4－2?dx＝＝4－＝. (3)方法一　由sin x＝cos x(x∈(0，))，得x＝. 故所求陰影部分的面積 S＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx ＝(sin x＋cos x) ＋(－cos x－sin x) ＝sin ＋cos －sin 0－cos 0＋[(－cos －sin )－(－cos －sin )]＝2－2. 故選D. 方法二　由sin x＝cos x(x∈(0，))，得x＝. 根據(jù)圖象的對稱性，可知所求陰影部分的面積 S＝2 (cos x－sin x)dx ＝2(sin x＋cos x) ＝2(sin ＋cos －sin 0－cos 0) ＝2－2. 故選D. 變式訓練2　1.2 解析　由題意可知最大流量的比即為橫截面面積的比，建立以拋物線頂點為原點的直角坐標系，如圖所示， 設拋物線方程為y＝ax2，將點(5,2)代入拋物線方程得a＝，故拋物線方程為y＝x2，拋物線的橫截面面積為S1＝2dx ＝2＝(m2)， 而原梯形下底為10－2＝6(m)， 故原梯形面積為S2＝(10＋6)2＝16， ＝＝1.2. 高考題型精練 1.C [由題意，可知所走路程為＝＝gt2＝gt.] 2.A [(sinx－acosx)dx＝(－cos x－asin x)＝－a＋1＝2，a＝－1.] 3.D [cos xdx=sin x＝sin －sin＝.] 4.A [由已知得S10＝?(1＋2x)dx＝12， 據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得S10＝12，S20－S10＝5，S30－S20＝S30－17亦成等差數(shù)列， 故有12＋S30－17＝10?S30＝15.] 5.B [S＝?dy＝＝18.] 6.A [根據(jù)定積分的運算法則，由題意，可知?f(x)dx＝?x2dx＋?dx＝x3|＋ln x|＝＋1＝.] 7.A [∵sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)＝0， ∴－cos(－φ)＋cos φ＝0. ∴cos(－φ)－cos φ＝0. ∴sin φ－cos φ＝0. ∴sin(φ－)＝0. ∴φ－＝k1π(k1∈Z). ∴φ＝k1π＋(k1∈Z). ∴f(x)＝sin(x－k1π－)(k1∈Z). 由x－k1π－＝k2π＋(k1，k2∈Z) 得x＝(k1＋k2)π＋π(k1，k2∈Z)， ∴f(x)的對稱軸方程為x＝(k1＋k2)π＋π(k1，k2∈Z).故x＝為函數(shù)f(x)的一條對稱軸.] 8.B [由定積分得n＝－4cos x＝4， 二項式的通項公式為Tk＋1＝Cx4－k(－)k ＝C(－1)kx4－2k， 由4－2k＝0，得k＝2， 所以常數(shù)項為T3＝C(－1)2＝6，故選B.] 9.－ln 2 解析　S＝?(x－)dx ＝ ＝－ln 2. 10.－1 解析　由曲線在原點處與x軸相切，可得f′(0)＝b＝0， 此時f(x)＝－x3＋ax2＝x2(a－x)， 據(jù)定積分知陰影部分面積－?(－x3＋ax2)dx＝， 解得a＝－1. 11. 解析　由題意知，陰影部分的面積 ?(4－x2)dx＝＝， ∴所求概率P＝＝＝. 12.解　由 得交點A(1,1)； 由 得交點B(3，－1). 故所求面積S＝?dx＋?dx ＝＋ ＝＋＋＝.