同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)課件ch5全.ppt
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第一節(jié)向量的內(nèi)積,一內(nèi)積的定義和性質(zhì),三正交向量組,二向量的長(zhǎng)度與夾角,四正交矩陣與正交變換,第六章相似矩陣和二次型,一、內(nèi)積的定義與性質(zhì),1、定義,設(shè)n維實(shí)向量,稱(chēng)實(shí)數(shù),為向量α與β的內(nèi)積,記作,注:內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算,用矩陣形式表示,有,2、性質(zhì),(1)對(duì)稱(chēng)性:,(2)線性性:,(3)正定性:,1、長(zhǎng)度的概念,當(dāng),時(shí),二、向量的長(zhǎng)度與夾角,令,為n維向量α,的長(zhǎng)度(模或范數(shù)).,特別,長(zhǎng)度為1的向量稱(chēng)為單位向量.,(1)正定性:,(2)齊次性:,(3)三角不等式:,2、性質(zhì),(4)柯西-施瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式:,當(dāng)且僅當(dāng)α與β的線性相關(guān)時(shí),等號(hào)成立.,由非零向量α得到單位向量,稱(chēng)為把α單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.,的過(guò)程,3、夾角,設(shè)α與β為n維空間的兩個(gè)非零向量,α與β的夾,角的余弦為,因此α與β的夾角為,例,解,三、正交向量組,1、正交,2、正交組,若向量組中的向量?jī)蓛烧?,且均為非零向量,則,這個(gè)向量組稱(chēng)為正交向量組,簡(jiǎn)稱(chēng)正交組.,3、標(biāo)準(zhǔn)正交組,由單位向量組成的正交組稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交組.,夾角900,4、正交基,5、標(biāo)準(zhǔn)正交基,由正交向量組構(gòu)成的空間V的基,由標(biāo)準(zhǔn)正交向量組構(gòu)成的空間V的基,定理,4、性質(zhì),正交向量組必為線性無(wú)關(guān)組.,證明見(jiàn)P112,例題:證明:r個(gè)n維向量構(gòu)成的向量組,若r>n則該向量組一定不是正交組,思路:r個(gè)n維向量組當(dāng)r>n時(shí),必然線性相關(guān),已知三維向量空間中,,例2,正交,,解,設(shè),則,即,四、正交矩陣和正交變換,1、定義,如果n階方陣滿足:,則稱(chēng)A為正交矩陣.,則,可表示為,若A按列分塊表示為A=,亦即,結(jié)論:正交陣判定條件是列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組,即兩兩正交的單位向量。,2、正交矩陣判定條件,A為方陣,且列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交組,三大條件:1)方陣2)單位向量3)正交(行列均可)E=ATA=AAT,例題:證明下述性質(zhì)(定義法)1)若A為正交陣,則A-1和AT也是正交陣,且det(aij)=1或-12)若A,B為正交陣,則AB也為正交陣,3.定義的應(yīng)用,3、正交變換,若P為正交矩陣,則y=Px線性變換稱(chēng)為正交變換.,設(shè)y=Px為正交變換,則有,經(jīng)正交變換后向量的長(zhǎng)度保持不變,內(nèi)積保持不變,,注,從而夾角保持不變.,請(qǐng)證明旋轉(zhuǎn)變換是正交變換P32問(wèn):投影變換是正交變換嗎?,4、施密特(Schmidt)正交化法(P114,自學(xué)),設(shè),是向量空間V的一個(gè)基,要求向量空,間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,就是要找到一組兩兩正交的單,位向量,,使,與,等價(jià),,此問(wèn)題稱(chēng)為把,這組基標(biāo)準(zhǔn)正交化.,1)正交化,令,就得到V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,如果,上述方法稱(chēng)為施密特(Schmidt)正交化法.,2)標(biāo)準(zhǔn)化,令,是V的一組基,則,就是,與,都是等價(jià)的.,可以證明:,第二節(jié)方陣的特征值與特征向量,一特征值與特征向量,三應(yīng)用舉例,二特征值和特征向量的性質(zhì),四小結(jié),一、特征值與特征向量的概念,定義,若,則λ稱(chēng)為A的特征值,,稱(chēng)為A的特征向量.,(1),注,②并不一定唯一;,③n階方陣A的特征值,就是使齊次線性方程組,①特征值問(wèn)題只針對(duì)與方陣,且特征向量不能為零,有非零解的λ值,即滿足,的λ都是方陣A的特征值.,,例:求距陣的特征值和特征向量(P118例6,7),,,定義,這是一個(gè)λ為變量的一元n次多項(xiàng)式,為A的特征多項(xiàng)式.,定義,為A的特征方程(幾元幾次方程?),定理,設(shè)n階方陣的特征值為,則,證明①,當(dāng)是A的特征值時(shí),A的特征多項(xiàng),式可分解為,令,得,即,必須牢記,(2)略,定義,方陣A的主對(duì)角線上的元素之和稱(chēng)為方陣A的跡.,記為,二、特征值的性質(zhì),推論1,n階方陣A可逆?A的n個(gè)特征值全不為零.,若數(shù)λ為可逆陣的A的特征值,,性質(zhì)5,設(shè)n階方陣的特征值為,則,根據(jù)這兩條性質(zhì),可以驗(yàn)證所求得的結(jié)果是否正確.,三、應(yīng)用舉例(定義+性質(zhì)),1、若λ=2為可逆陣A的特征值,則,的一個(gè)特征值為(),2、證n階方陣A的滿足,則A的特征值為,0或1.,3、三階方陣A的三個(gè)特征值為1、2、0,則,(),(冪等陣Am=A),2解:設(shè)x是A的一個(gè)特征向量,則A2x-Ax=03解:思路令B=2E+3A2,求出B的全部特征值即可。書(shū)上例題9自己看看。P122,四、特征向量的性質(zhì),定理,互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。,證明:見(jiàn)書(shū)P120另證:,特征向量的性質(zhì)的證明,證,設(shè)存在使,是方陣的特征值,,依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量,即有,因?yàn)?所以,即,即,(1),(2),(3),類(lèi)推下去,有,(m),把以上個(gè)等式合寫(xiě)成矩陣等式,得,上式左端的第二個(gè)矩陣的行列式是范德蒙德行列式,,當(dāng)互不相等時(shí),該行列式不等于0,從而該矩陣可逆.于是有,特征向量的性質(zhì)的證明,即,又,因此必有,所以向量組線性無(wú)關(guān).,證畢,特征向量的性質(zhì)的證明,一、定義,定義,設(shè)A、B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,,使得,則稱(chēng)B是A的相似矩陣,或者說(shuō)矩陣,A與B相似.,稱(chēng)為對(duì)A進(jìn)行相似變換,,對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算,可逆矩陣P稱(chēng)為把A變成B的相似變換矩陣.,記作:,A∽B.,第三節(jié)矩陣相似對(duì)角化,請(qǐng)回憶距陣等價(jià)的概念,符號(hào)描述P59思考等價(jià)和相似的區(qū)別,練習(xí):1。證明,若A相似B,則det(A)=det(B)2。若A相似B,則A3+5A2+A相似于B3+5B2+B3。結(jié)論:若A相似B,則A的多項(xiàng)式相似于B的同一多項(xiàng)式,4。若n階矩陣A與B相似,則A與B有相同的特征多項(xiàng)式,從而A與B有相同的特征值.,推論,若n階矩陣A與對(duì)角矩陣,相似,,定理,若n階矩陣A與B相似,則A與B有相同的特征多項(xiàng)式,從而A與B有相同的特征值.,若能尋得相似變換矩陣P使,對(duì)n階方陣A,,稱(chēng)之為把方陣A對(duì)角化.,三、方陣對(duì)角化,定理的推論說(shuō)明,如果n階矩陣A與對(duì)角矩陣Λ相,似,,則Λ的主對(duì)角線上的元素就是A的全部特征值.,設(shè)存在P可逆,,使得,有,于是有,因?yàn)椋锌赡?,R(P)=n,關(guān)的特征向量。,實(shí)現(xiàn),即A與對(duì)角矩陣Λ相似.,對(duì)角化的目標(biāo):尋找n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,構(gòu)成P,定理,如果n階矩陣A有n個(gè)互異特征值,則其對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān),此時(shí)的A必可對(duì)角化,注意:這是充分條件而非必要條件,要想判斷A能否對(duì)角化只能先求特征值,再求特征向量,然后看特征向量是否線性相關(guān),結(jié)論,并非所有矩陣都可以對(duì)角化(相似對(duì)角化)即:對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以對(duì)角化(有定理)可以對(duì)角化的充要條件是:存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量p1,……,pn,且P=(p1,p2,….,pn)可以對(duì)角化的一個(gè)必要條件是:n階矩陣A有n個(gè)互異特征值練習(xí):請(qǐng)問(wèn)P120的例5,6,7中矩陣哪些可以對(duì)角化?例題:P125,例11,定理對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù).,說(shuō)明:矩陣可以對(duì)角化的理論比較復(fù)雜,本節(jié)要求掌握對(duì)稱(chēng)陣對(duì)角化步驟即可.,一、對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì),定理對(duì)稱(chēng)矩陣的互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交.,定理若n階對(duì)稱(chēng)陣A的任重特征值對(duì)應(yīng)的線性,無(wú)關(guān)的特征向量恰有個(gè).,定理若A為n階對(duì)稱(chēng)陣,則必有正交矩陣P,使得,第四節(jié)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化,需要記?。簩?duì)稱(chēng)矩陣必可相似對(duì)角化,且P為正交陣,根據(jù)上述結(jié)論,利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣,其具體步驟為:,將非重根對(duì)應(yīng)的特征向量單位化;,3.,將重特征值對(duì)應(yīng)的特征向量單位正交化;,4.,2.,1.,二、利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化的方法(掌握),,將所有單位化后的特征向量組成P,注意與特征值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,5.,,三、實(shí)例分析,解,例12,,,,例:設(shè)對(duì)稱(chēng)矩陣A,已知A有二重特征值,λ1=λ2=2,求:1)x和另一個(gè)特征值λ3;(回憶特征值的兩條性質(zhì))2)A的所有特征向量;3)求正交矩陣P,使得A正交化,,,解:1),2),,3)正交化矩陣P,,,建議驗(yàn)證,作業(yè):P138,14,16(1),17,第六節(jié)二次型,一n元二次型的概念,二二次型的表示方法,三二次型的矩陣及秩,四化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,五小結(jié),矩陣對(duì)角化的簡(jiǎn)單應(yīng)用,作業(yè)9:P1342(1),6(1),20,一、n元二次型,1、定義,的二次齊次多項(xiàng)式,含有n個(gè)變量,①,稱(chēng)為二次型.,或記為,注,①當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為實(shí)數(shù)時(shí),稱(chēng)為實(shí)二次型;,②當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為復(fù)數(shù)時(shí),稱(chēng)為復(fù)二次型.,二、二次型的矩陣表示,定義,只含有平方項(xiàng)的二次型,稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.,定義,特別地,若系數(shù)只在1,-1,0取值,即,為二次型的規(guī)范形.,則二次型.,特別注意:A為對(duì)稱(chēng)矩陣.,令,任一二次型f,三、二次型和矩陣A的關(guān)系,對(duì)稱(chēng)矩陣A,任一對(duì)稱(chēng)矩陣A,二次型f,一一對(duì)應(yīng),f稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣A的二次型;,A稱(chēng)為二次型f的矩陣;,對(duì)稱(chēng)矩陣A的秩稱(chēng)為二次型f的秩.,練習(xí)寫(xiě)出下列二次型的對(duì)稱(chēng)矩陣.,3)復(fù)數(shù)域C上的4元二次型,例11)實(shí)數(shù)域R上的2元二次型,2)實(shí)數(shù)域上R的3元二次型,設(shè),四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,對(duì)于二次型,我們討論的主要問(wèn)題是:尋求可逆的線性變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.,記,記作,將其代入,有,若|C|≠0,則④稱(chēng)為非退化線性變換.,④,?f如何才能變成標(biāo)準(zhǔn)二次型,對(duì)CTAC有何要求?,目的:尋找C使得CTAC變成對(duì)角陣,定義,設(shè)A,B為n階方陣,若存在n階可逆陣C,使得,則稱(chēng)A合同于B,與相似、等價(jià)比較一下,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟,例1已知二次型,用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出相應(yīng)的正交矩陣.,解析:此題是一道典型例題.目的是熟悉用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的“標(biāo)準(zhǔn)程序”.,⑴寫(xiě)出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣,二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為,⑵求的特征值,由,求得的特征值為,例1解答,⑶求的兩兩正交的單位特征向量,例1解答,對(duì)應(yīng),解方程,由,,得基礎(chǔ)解系為,將其單位化,得,例1解答,對(duì)應(yīng),解方程,由,,得基礎(chǔ)解系為,將其單位化,得,例1解答,對(duì)應(yīng),解方程,由,,得基礎(chǔ)解系為,將其單位化,得,例1解答,⑷寫(xiě)出正交矩陣和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,令矩陣,則為正交陣,于是,經(jīng)正交變換,原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,例2已知二次型,的秩為2.,⑴求參數(shù)以及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值;,⑵指出表示何種曲面.,解,⑴二次型的矩陣,,因?yàn)榈闹葹?,,所以的秩也為2,因而,例2解答,當(dāng)時(shí),的特征多項(xiàng)式為,于是,的特征值為,⑵特征值互異,必存在正交變換,其中為正交矩陣(不必具體求出),使二次型,于是,曲面,這表示準(zhǔn)線是平面上橢圓、母線平行于軸的橢圓柱面.,在新變量下稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)形,,,,附錄:前面的部分證明,特征值的性質(zhì)的證明,⑴證,因?yàn)槭堑膫€(gè)特征向量,則有,即,令,即得,另一方面,根據(jù)行列式的定義知,上述行列式的展開(kāi)式中,只有對(duì)角元之積含有,這些項(xiàng)中不含,比較兩端的的系數(shù),可得,即,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,特征值的性質(zhì)的證明,因?yàn)槭堑奶卣髦担?⑵證,所以存在非零向量使,又由知,,可逆,且,所以,這表明是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,⑶證,因?yàn)槭堑奶卣髦担?所以存在非零向量使,用左乘上式兩端得,這表明是矩陣的特征向量.,類(lèi)似地,可以證是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,⑷證,因?yàn)槭堑奶卣髦担?所以存在非零向量使,又因?yàn)?,所?這表明是矩陣的特征向量.,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,⑸證,因?yàn)?所以而,有非零解,因此存在非零向量,使,這表明0是的特征值.,證畢,特征值的性質(zhì)的證明,⑹證,根據(jù)特征值滿足的條件:是特征方程的根,所以要證與的特征值相同,,只需證它們的特征方程相同,也即只需證它們的特征多項(xiàng)式相同.,因?yàn)?所以與的特征多項(xiàng)式相同,從而與的特征值相同.,證畢,特征向量的性質(zhì)的證明,證,設(shè)存在使,是方陣的特征值,,依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量,即有,因?yàn)?所以,即,即,(1),(2),(3),類(lèi)推下去,有,(m),把以上個(gè)等式合寫(xiě)成矩陣等式,得,上式左端的第二個(gè)矩陣的行列式是范德蒙德行列式,,當(dāng)互不相等時(shí),該行列式不等于0,從而該矩陣可逆.于是有,特征向量的性質(zhì)的證明,即,又,因此必有,所以向量組線性無(wú)關(guān).,證畢,特征向量的性質(zhì)的證明,- 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