《線性方程組求解》PPT課件.ppt
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方程組求解,高斯消元法及算法實現(xiàn)初等變分原理最速下降法共軛梯度法,參考文獻,1李慶揚關(guān)治白峰杉,數(shù)值計算原理(清華)2蔡大用白峰杉,現(xiàn)代科學(xué)計算3李慶揚等,數(shù)值分析4NumericalAnalysis(SeventhEdition)數(shù)值分析(第七版影印版)5DavidKincaid,數(shù)值分析(第三版)6JohnH.Mathews,數(shù)值方法(MATLAB版),線性方程組的矩陣形式,a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn,AX=b,(i=1,2,n),線性方程組求解:1.直接方法;2.基本迭代法;3.子空間方法,X?b,解線性方程組的克萊姆方法1.輸入矩陣A和右端向量b;,高斯消元法第一步:將方程組化簡為三角形方程組;第二步:解三角形方程組,獲方程組的解。,4.計算并輸出x1=D1/D,xn=Dn/D,結(jié)束。,3.對k=1,2,n用b替換A的第k列數(shù)據(jù),并計算替換后矩陣的行列式值Dk;,2.計算A的行列式D,如果D=0,則輸出錯信息結(jié)束,否則進行3;,增廣矩陣,計算:m21m31m41T=a21a31a41T/a11,用m21乘矩陣第一行加到矩陣第二行;用m31乘矩陣第一行加到矩陣第三行;用m41乘矩陣第一行加到矩陣第四行;,實現(xiàn)第一輪消元,計算:m32m42T=,用m32乘矩陣第二行加到矩陣第三行;用m42乘矩陣第二行加到矩陣第四行;實現(xiàn)第二輪消元、第三輪消元,n階方程組消元過程乘法次數(shù):(n-1)n+(n-2)(n-1)+12=(n3-n)/3,除法次數(shù):(n-1)+(n-2)+1=n(n-1)/2,上三角方程組,解上三角方程組,計算:xn=bn/ann,(a11ann0),xk=bk(ak,k+1xk+1+akn)/akk(k=n1,1),除法:n次;乘法:n(n-1)/2次,乘、除法運算共n(n+1)/2次,簡記為O(n2),定義1設(shè)Rn是n維向量空間,如果對任意xRn,都有一個實數(shù)與之對應(yīng),且滿足如下三個條件:,(1)正定性:|x|0,且|x|=0 x=0;,(2)齊次性:為任意實數(shù),(3)三角不等式:(yRn),則稱|x|為向量x的范數(shù).,一、向量的范數(shù),例3.范數(shù)意義下的單位向量:X=x1,x2T,二、矩陣的范數(shù),定義2,例5,Frobenius范數(shù),極小化方法,一、與線性方程組等價的變分問題,三、共軛梯度法(共軛斜量法),四、預(yù)條件共軛梯度法,二、最速下降法,設(shè)x,yRn,記(x,y)=xTy,(x,y)=(y,x);(tx,y)=t(x,y);(x+y,z)=(x,z)+(y,z);(x,x)0,且(x,x)=0x=0;,設(shè)A是n階對稱正定陣,(Ax,y)=(x,Ay);(Ax,x)0,且(Ax,x)=0x=0,一、與線性方程組等價的變分問題,定理1設(shè)A=(aij)nn為實對稱正定矩陣,b,xRn,則x使二次函數(shù),取極小值x是線性方程組Ax=b的解。,二、最速下降法,三、共軛梯度法(CG)(共軛斜量法),四、預(yù)條件共軛梯度法(PCG),預(yù)條件共軛梯度法,實際計算,可通過變換,轉(zhuǎn)化成用原方程組的量來計算。,預(yù)條件共軛梯度法MATLAB的三種調(diào)用格式:1.不用預(yù)優(yōu)矩陣的共軛梯度法x=pcg(a,b,tol,kmax)2.用預(yù)優(yōu)矩陣的共軛梯度法(1)x=pcg(a,b,tol,kmax,m)(2)r=chol(m)x=pcg(a,b,tol,kmax,r,r,x0)3.未給定預(yù)優(yōu)矩陣的共軛梯度法r=cholinc(sa,0)x=pcg(a,b,tol,kmax,r,r,x0),- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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