《聯(lián)立線性方程組》PPT課件.ppt
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第二章聯(lián)立線性方程組,在本章中,我們將介紹聯(lián)立線性方程組,介紹其定義并且詳細介紹其求解方法,分齊次和非齊次兩種情形加以介紹,而在最后介紹方程個數(shù)和求解變量個數(shù)相同時的特殊情形。,第一節(jié)定義,定義元()線性方程是其中和是常數(shù)(給定實數(shù))。例注意:(i)在線性方程中所有的變量都是一次的。(ii)我們會關(guān)注個這樣的元線性方程。其中,將此系統(tǒng)寫作:其中所有和都是常數(shù)而為變量。在矩陣標記方法里,記為:例,有注意:下面的運算不會影響解:(i)方程之間兩兩交換。交換兩行的初等行變換。,(ii)在一個方程兩邊同時乘上一個非零系數(shù)將中一行乘上一個非零系數(shù)的初等行變換。(iii)將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上將中一行的倍數(shù)加到另一行的初等行變換。注意的梯陣式中每步下方都為零。如果為的梯陣式,那么:就很容易求解了,如果解存在的話,就跟具有相同的解。在下面就利用這一性質(zhì)求線性方程組的解。,第二節(jié)齊次情形,齊次情形的兩個性質(zhì):(i)總是存在平凡解,令,則。(ii)如果存在一個非平凡解,則存在無窮多個非平凡解,如果是解,那么也是解。非平凡解是否存在取決于。前面說過,因此同時矩陣梯陣式中非零行向量的個數(shù)。情形1:此時,具有個非零向量,意味著個元方程而??梢詫€變量設(shè)置為任意值,具有無窮多個解。,例解此時,在矩陣標記法中,有對施行初等行變換將其簡化至其梯陣式。,有和上述方程和原方程具有相同的解。有令,為任意實數(shù)。那么,為方程組的解,其代表了無窮多的解。情形2:此時,有個非零行向量。只有平凡解的存在。例解,令因此,并且其解和原方程一樣,明顯,小結(jié)令為矩陣。如果,其中為變量的個數(shù),那么線性方程組具有非平凡解。在這種情況下存在無窮多個解。注意如果,方程的個數(shù)小于變量的個數(shù);則,總是存在無窮多個解。,第三節(jié)非齊次情形,定義如果解不存在,我們稱該方程組不相容。相容性檢驗定理如果,方程組不相容。方程組相容的情形定理假設(shè)有一個特解,而具有一個通解。那么的所有解都可以寫作:,小結(jié)(i)如果,方程組不相容,無解。(ii)如果,只有一個解。(iii)如果,存在無窮多個解。例方程組在此方程組中,而且,因此,從而該方程組是相容的,另和原方程具有相同的解,對此齊次方程組的一個特解是而的通解由如下方程組給出:,其通解為,為任意實數(shù)從而該非齊次方程組的通解為,第四節(jié)特殊情形,考慮的情形,此時從而有也就是說,為該方程組的唯一解注意由于,該唯一解可以寫作:例求解,在此而,故存在,有唯一解:則該唯一解為:,表示符號令=的第行=的第列這樣就可以將該唯一解的第個元素寫作克拉默法則解的第個元素可寫作(2.1),在(2.1)式計算時將的第列用向量代替,然后計算行列式。例解方程組在我們的標記法下,有從而存在唯一解,為,理由克拉默法則,有,- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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