九年級數(shù)學上學期期中試卷（含解析） 新人教版2 (5)

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2015-2016學年湖北省黃岡中學九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（共7小題，每小題3分，滿分21分） 1．中國的領(lǐng)水面積約為370000km2，將數(shù)370000用科學記數(shù)法表示為（　?。? A．37104 B．3.7104 C．0.37106 D．3.7105 2．下列事件發(fā)生的概率為0的是（　?。? A．射擊運動員只射擊1次，就命中靶心 B．任取一個實數(shù)x，都有|x|≥0 C．畫一個三角形，使其三邊的長分別為8cm，6cm，2cm D．拋擲一枚質(zhì)地均勻且六個面分別刻有1到6的點數(shù)的正方體骰子，朝上一面的點數(shù)為6 3．甲乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，如果甲的速度v保持不變，而乙先用v的速度到達中點，再用2v的速度到達B地，則下列結(jié)論中正確的是（　?。? A．甲乙同時到達B地 B．甲先到達B地 C．乙先到達B地 D．誰先到達B地與速度v有關(guān) 4．在長方形ABCD中AB=16，如圖所示裁出一扇形ABE，將扇形圍成一個圓錐（AB和AE重合），則此圓錐的底面半徑為（　?。? A．4 B．16 C．4 D．8 5．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72，則∠ABD=（　?。? A．36 B．54 C．18 D．64 6．在同一坐標系中，一次函數(shù)y=ax+2與二次函數(shù)y=x2+a的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 7．已知m=x+1，n=﹣x+2，若規(guī)定y=，則y的最小值為（　?。? A．0 B．1 C．﹣1 D．2 　 二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分） 8．若二次根式有意義，則x的取值范圍是______． 9．因式分解：x2﹣49=______． 10．關(guān)于x的方程2x2﹣4x+（m﹣1）=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是______． 11．如圖，練習本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個點A、B、C都在橫格線上．若線段AB=4cm，則線段BC=______cm． 12．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=12，BC=8，將△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90得到△DEC．若點F是DE的中點，連接AF，則AF=______． 13．小明把半徑為1的光盤、直尺和三角尺形狀的紙片按如圖所示放置于桌面上，此時，光盤與AB，CD分別相切于點N，M．現(xiàn)從如圖所示的位置開始，將光盤在直尺邊上沿著CD向右滾動到再次與AB相切時，光盤的圓心經(jīng)過的距離是______． 14．如圖，直線y=﹣3x+3與x軸交于點B，與y軸交于點A，以線段AB為邊，在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，點C落在雙曲線y=（k≠0）上，將正方形ABCD沿x軸負方向平移a個單位長度，使點D恰好落在雙曲線y=（k≠0）上的點D1處，則a=______． 　 三、解答題（共10小題，滿分78分） 15．（1）計算（π﹣）0+（）﹣1﹣ （2）解不等式組． 16．如圖，在43的正方形方格中，△ABC和△DEC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上． （1）填空：∠ABC=______，BC=______； （2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論． 17．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于點D．點P在邊AB上運動，過點P作PE∥BC，與邊AC交于點E，連接ED，以PE、ED為鄰邊作平行四邊形PEDF．設(shè)線段AP的長為x（0＜x＜6）． （1）求線段PE的長．（用含x的代數(shù)式表示） （2）當四邊形PEDF為菱形時，求x的值． 18．如圖，在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y=x﹣2的圖象和反比例函數(shù)y=的圖象的一個交點為A（，m）． （1）求m的值及反比例函數(shù)的解析式． （2）若點P在x軸上，且△AOP為等腰三角形，請直接寫出點P的坐標． 19．某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動，活動后，就活動的5個主題進行了抽樣調(diào)查（每位同學只選最關(guān)注的一個），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題： （1）這次調(diào)查的學生共有多少名？ （2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整，并在扇形統(tǒng)計圖中計算出“進取”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)． （3）如果要在這5個主題中任選兩個進行調(diào)查，根據(jù)（2）中調(diào)查結(jié)果，用樹狀圖或列表法，求恰好選到學生關(guān)注最多的兩個主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、B、C、D、E）． 20．某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元． （1）該商家購進的第一批襯衫是多少件？ （2）若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標價至少是多少元？ 21．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．點D在線段PQ上，且PD=PC． （1）求證：PQ∥AB； （2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長． 22．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在半徑OB的延長線上，∠BCD=∠A=30． （1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O的半徑長為1，求由弧BC、線段CD和BD所圍成的陰影部分面積．（結(jié)果保留π和根號） 23．某農(nóng)莊計劃在30畝空地上全部種植蔬菜和水果，菜農(nóng)小張和果農(nóng)小李分別承包了種植蔬菜和水果的任務(wù)，小張種植每畝蔬菜的工資y（元）與種植面積m（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖①所示，小李種植水果所得報酬z（元）與種植面積n（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示 （1）如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是______元，小張應(yīng)得的工資總額是______元，此時，小李種植水果______畝，小李應(yīng)得的報酬是______元； （2）設(shè)農(nóng)莊支付給小張和小李的總費用為W（元），當10＜m＜30時，求W與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出總費用最大為多少？ 24．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，且OC=OB． （1）求此拋物線的解析式； （2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時點E的坐標； （3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標． （4）連接AC，H是拋物線上一動點，過點H作AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點F，使得以A，C，H，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由． 　  2015-2016學年湖北省黃岡中學九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共7小題，每小題3分，滿分21分） 1．中國的領(lǐng)水面積約為370000km2，將數(shù)370000用科學記數(shù)法表示為（　?。? A．37104 B．3.7104 C．0.37106 D．3.7105 【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)． 【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)． 【解答】解：370000=3.7105， 故選：D． 　 2．下列事件發(fā)生的概率為0的是（　　） A．射擊運動員只射擊1次，就命中靶心 B．任取一個實數(shù)x，都有|x|≥0 C．畫一個三角形，使其三邊的長分別為8cm，6cm，2cm D．拋擲一枚質(zhì)地均勻且六個面分別刻有1到6的點數(shù)的正方體骰子，朝上一面的點數(shù)為6 【考點】概率的意義． 【分析】找出不可能事件，即為概率為0的事件． 【解答】解：事件發(fā)生的概率為0的是畫一個三角形，使其三邊的長分別為8cm，6cm，2cm． 故選C． 　 3．甲乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，如果甲的速度v保持不變，而乙先用v的速度到達中點，再用2v的速度到達B地，則下列結(jié)論中正確的是（　?。? A．甲乙同時到達B地 B．甲先到達B地 C．乙先到達B地 D．誰先到達B地與速度v有關(guān) 【考點】列代數(shù)式（分式）． 【分析】設(shè)從A地到B地的距離為2s，根據(jù)時間=路程速度可以求出甲、乙兩人同時從A地到B地所用時間，然后比較大小即可判定選擇項． 【解答】解：設(shè)從A地到B地的距離為2s， 而甲的速度v保持不變， ∴甲所用時間為， 又∵乙先用v的速度到達中點，再用2v的速度到達B地， ∴乙所用時間為， ∴甲先到達B地． 故選：B． 　 4．在長方形ABCD中AB=16，如圖所示裁出一扇形ABE，將扇形圍成一個圓錐（AB和AE重合），則此圓錐的底面半徑為（　　） A．4 B．16 C．4 D．8 【考點】圓錐的計算． 【分析】圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)圓錐的底面圓周長=扇形的弧長，列方程求解． 【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，依題意，得 2πr=， 解得r=4． 故小圓錐的底面半徑為4； 故選A． 　 5．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72，則∠ABD=（　?。? A．36 B．54 C．18 D．64 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由已知可求得∠A的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理不難求得∠ABD的度數(shù)． 【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=72， ∴∠ABC=∠ACB=72， ∴∠A=36， ∵BD⊥AC， ∴∠ABD=90﹣36=54． 故選：B． 　 6．在同一坐標系中，一次函數(shù)y=ax+2與二次函數(shù)y=x2+a的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式可得一次函數(shù)與y軸的交點為（0，2），二次函數(shù)的開口向上，據(jù)此判斷二次函數(shù)的圖象． 【解答】解：當a＜0時，二次函數(shù)頂點在y軸負半軸，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限； 當a＞0時，二次函數(shù)頂點在y軸正半軸，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限． 故選C． 　 7．已知m=x+1，n=﹣x+2，若規(guī)定y=，則y的最小值為（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【考點】一次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)x+1≥﹣x+2和x+1＜﹣x+2得出x的取值范圍，列出關(guān)系式解答即可． 【解答】解：因為m=x+1，n=﹣x+2， 當x+1≥﹣x+2時，可得：x≥0.5，則y=1+x+1+x﹣2=2x，則y的最小值為1； 當x+1＜﹣x+2時，可得：x＜0.5，則y=1﹣x﹣1﹣x+2=﹣2x+2，則y＞1， 故選B． 　 二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分） 8．若二次根式有意義，則x的取值范圍是　x≥1?。? 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，被開方數(shù)大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍． 【解答】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，x﹣1≥0， ∴x≥1． 故答案為：x≥1． 　 9．因式分解：x2﹣49=　（x+7）（x﹣7）?。? 【考點】因式分解-運用公式法． 【分析】利用平方差公式直接進行分解即可． 【解答】解：x2﹣49=（x﹣7）（x+7）， 故答案為：（x﹣7）（x+7）． 　 10．關(guān)于x的方程2x2﹣4x+（m﹣1）=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是　m＜3　． 【考點】根的判別式． 【分析】由于方程有兩不相等的實數(shù)根，則根的判別式△＞0，由此建立關(guān)于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍． 【解答】解：∵a=2，b=﹣4，c=m﹣1， 方程有兩個不相等的實數(shù)根， ∴△=b2﹣4ac=16﹣8（m﹣1） =24﹣8m＞0， ∴m＜3． 故填空答案：m＜3． 　 11．如圖，練習本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個點A、B、C都在橫格線上．若線段AB=4cm，則線段BC=　12　cm． 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】過點A作AE⊥CE于點E，交BD于點D，根據(jù)平行線分線段成比例可得，代入計算即可解答． 【解答】解：如圖，過點A作AE⊥CE于點E，交BD于點D， ∵練習本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等， ∴， 即， ∴BC=12cm． 故答案為：12． 　 12．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=12，BC=8，將△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90得到△DEC．若點F是DE的中點，連接AF，則AF=　10?。? 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】先依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CE、CD的長，然后過點F作FG⊥AC，從而可證明FG是△ECD的中位線，從而可得到EG、FG的長，最后依據(jù)勾股定理可求得AF的長． 【解答】解：如圖所示：過點F作FG⊥AC于G． 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CE=BC=8，CD=AC=12，∠ECD=∠BCA=90． ∴AE=AC﹣CE=4． ∵FG⊥AC，CD⊥AC， ∴FG∥CD． 又∵F是ED的中點， ∴G是CE的中點， ∴EG=4，F(xiàn)G=CD=6． ∴AG=AE+EG=8． ∴AF===10． 故答案為：10． 　 13．小明把半徑為1的光盤、直尺和三角尺形狀的紙片按如圖所示放置于桌面上，此時，光盤與AB，CD分別相切于點N，M．現(xiàn)從如圖所示的位置開始，將光盤在直尺邊上沿著CD向右滾動到再次與AB相切時，光盤的圓心經(jīng)過的距離是　?。? 【考點】切線的性質(zhì)；軌跡． 【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OH=PH，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出PH的長，得到答案． 【解答】解：如圖，當圓心O移動到點P的位置時，光盤在直尺邊上沿著CD向右滾動到再次與AB相切，切點為Q， ∵ON⊥AB，PQ⊥AB， ∴ON∥PQ， ∵ON=PQ，∴OH=PH， 在Rt△PHQ中，∠P=∠A=30，PQ=1， ∴PH=， 則OP=， 故答案為：． 　 14．如圖，直線y=﹣3x+3與x軸交于點B，與y軸交于點A，以線段AB為邊，在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，點C落在雙曲線y=（k≠0）上，將正方形ABCD沿x軸負方向平移a個單位長度，使點D恰好落在雙曲線y=（k≠0）上的點D1處，則a=　2?。? 【考點】反比例函數(shù)綜合題． 【分析】對于直線解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出A與B坐標，后根據(jù)三角形全等得出C點坐標，進而求出反比例函數(shù)的解析式，進而確定D點的坐標和D1點的坐標，即可確定出a的值． 【解答】解：對于直線y=﹣3x+3， 令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=1，即A（0，3），B（1，0）， 過C作CE⊥x軸，交x軸于點E，過A作AF∥x軸，過D作DF垂直于AF于F，如圖所示， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90， ∴∠OAB+∠ABO=90，∠ABO+∠EBC=90， ∴∠OAB=∠EBC， 在△AOB和△BEC中， ， ∴△AOB≌△BEC（AAS）， ∴BE=AO=3，CE=OB=1， ∴C（4，1）， 把C坐標代入反比例解析式得：k=4，即y=， 同理得到△DFA≌△BOA， ∴DF=BO=1，AF=AO=3， ∴D（3，4）， 把y=4代入反比例解析式得：x=1，即D1（1，4）， 則將正方形ABCD沿x軸負方向平移2個單位長度，使點D恰好落在雙曲線y=（k≠0）上的點D1處，即a=2， 故答案為：2． 　 三、解答題（共10小題，滿分78分） 15．（1）計算（π﹣）0+（）﹣1﹣ （2）解不等式組． 【考點】解一元一次不等式組；實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪． 【分析】（2）用零指數(shù)，負整指數(shù)，二次根式的先化簡，再合并即可； （2）分別求解兩個不等式的解集，最后確定出不等式組的解集． 【解答】解：（1）原式=1+2﹣3=3﹣3 （2） 由①得y≥1 由②得y＜2． ∴不等式租的解集為：1≤y＜2． 　 16．如圖，在43的正方形方格中，△ABC和△DEC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上． （1）填空：∠ABC=　135　，BC=　?。? （2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論． 【考點】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）觀察可得：BF=FC=2，故∠FBC=45；則∠ABC=135，BC==2； （2）觀察可得：BC、EC的長為2、，可得，再根據(jù)其夾角相等；故△ABC∽△DEC． 【解答】解：（1）∠ABC=135，BC=； （2）相似； ∵BC=，EC==； ∴，； ∴； 又∠ABC=∠CED=135， ∴△ABC∽△DEC． 　 17．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于點D．點P在邊AB上運動，過點P作PE∥BC，與邊AC交于點E，連接ED，以PE、ED為鄰邊作平行四邊形PEDF．設(shè)線段AP的長為x（0＜x＜6）． （1）求線段PE的長．（用含x的代數(shù)式表示） （2）當四邊形PEDF為菱形時，求x的值． 【考點】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】（1）由PE與BC平行，得到三角形APE與三角形ABC相似，根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，得到三角形APE為等邊三角形，可得出PE=AP=x； （2）若四邊形PEDF為菱形，得到PE=DE=x，由三角形APE為等邊三角形得到AE=PE，可得出AE=DE，利用等邊對等角得到∠DAC=∠ADE，利用等式的性質(zhì)得到∠EDC=∠C，利用等角對等邊得到DE=EC，即可求出x的值； 【解答】解：（1）∵PE∥BC， ∴△APE∽△ABC， 又∵△ABC是等邊三角形， ∴△APE是等邊三角形， ∴PE=AP=x（0＜x＜6）； （2）∵四邊形PEDF為菱形， ∴PE=DE=x， 又∵△APE是等邊三角形，則AE=PE， ∴AE=DE， ∴∠DAC=∠ADE， 又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90， ∴∠EDC=∠C， ∴DE=EC， ∴DE=EC=AE=AC=AB=3， 即x=3． 　 18．如圖，在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y=x﹣2的圖象和反比例函數(shù)y=的圖象的一個交點為A（，m）． （1）求m的值及反比例函數(shù)的解析式． （2）若點P在x軸上，且△AOP為等腰三角形，請直接寫出點P的坐標． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）把A（，m）代入一次函數(shù)的解析式，即可求得n的值，即A的坐標，然后把A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式； （2）分三種情況進行討論：OA=OP時兩個點（2，0），（﹣2，0），PA=PO時一個點（，0），AO=AP時一個點（2，0），求得P的坐標． 【解答】解：（1）∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（，m）， ∴， ∴點A的坐標為（，1）， 又∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A， ∴， ∴反比例函數(shù)的解析式為； （2）符合條件的點P有4個，分別是：P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）． 　 19．某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動，活動后，就活動的5個主題進行了抽樣調(diào)查（每位同學只選最關(guān)注的一個），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題： （1）這次調(diào)查的學生共有多少名？ （2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整，并在扇形統(tǒng)計圖中計算出“進取”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)． （3）如果要在這5個主題中任選兩個進行調(diào)查，根據(jù)（2）中調(diào)查結(jié)果，用樹狀圖或列表法，求恰好選到學生關(guān)注最多的兩個主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、B、C、D、E）． 【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖． 【分析】（1）根據(jù)“平等”的人數(shù)除以占的百分比得到調(diào)查的學生總數(shù)即可； （2）求出“互助”與“進取”的學生數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖，求出“進取”占的圓心角度數(shù)即可； （3）列表或畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好選到“C”與“E”的情況數(shù)，即可求出所求的概率． 【解答】解：（1）5620%=280（名）， 答：這次調(diào)查的學生共有280名； （2）28015%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名）， 補全條形統(tǒng)計圖，如圖所示， 根據(jù)題意得：84280=30%，36030%=108， 答：“進取”所對應(yīng)的圓心角是108； （3）由（2）中調(diào)查結(jié)果知：學生關(guān)注最多的兩個主題為“進取”和“感恩”用列表法為： A B C D E A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 用樹狀圖為： 共20種情況，恰好選到“C”和“E”有2種， ∴恰好選到“進取”和“感恩”兩個主題的概率是． 　 20．某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元． （1）該商家購進的第一批襯衫是多少件？ （2）若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標價至少是多少元？ 【考點】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用． 【分析】（1）可設(shè)該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，根據(jù)第二批這種襯衫單價貴了10元，列出方程求解即可； （2）設(shè)每件襯衫的標價y元，求出利潤表達式，然后列不等式解答． 【解答】解：（1）設(shè)該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，依題意有 +10=， 解得x=120， 經(jīng)檢驗，x=120是原方程的解，且符合題意． 答：該商家購進的第一批襯衫是120件． （2）3x=3120=360， 設(shè)每件襯衫的標價y元，依題意有 y+500.8y≥（1+25%）， 解得y≥150． 答：每件襯衫的標價至少是150元． 　 21．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．點D在線段PQ上，且PD=PC． （1）求證：PQ∥AB； （2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（1）先用勾股定理求出AC，再用兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似，得出△PQC∽△BAC，從而有∠CPQ=∠B即可； （2）先判斷出AQ=DQ，再用勾股定理AQ，最后建立方程12﹣4x=2x，求解方程即可． 【解答】（1）證明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9， ∴AC==12， ∵，， ∴ ∵∠C=∠C， ∴△PQC∽△BAC， ∴∠CPQ=∠B， ∴PQ∥AB； （2）解：如圖， 連接AD， ∵PQ∥AB， ∴∠ADQ=∠DAB． ∵點D在∠BAC的平分線上， ∴∠DAQ=∠DAB， ∴∠ADQ=∠DAQ， ∴AQ=DQ． 在Rt△CPQ中，PQ=5x， ∵PD=PC=3x， ∴DQ=2x． ∵AQ=12﹣4x， ∴12﹣4x=2x， 解得x=2， ∴CP=3x=6． 　 22．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在半徑OB的延長線上，∠BCD=∠A=30． （1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O的半徑長為1，求由弧BC、線段CD和BD所圍成的陰影部分面積．（結(jié)果保留π和根號） 【考點】切線的判定；扇形面積的計算． 【分析】（1）由已知可證得OC⊥CD，OC為圓的半徑所以直線CD與⊙O相切； （2）根據(jù)已知可求得OC，CD的長，則利用S陰影=S△COD﹣S扇形OCB求得陰影部分的面積． 【解答】解：（1）直線CD與⊙O相切， ∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=230=60， 又∵OB=OC， ∴△OBC是正三角形， ∴∠OCB=60， 又∵∠BCD=30， ∴∠OCD=60+30=90， ∴OC⊥CD， 又∵OC是半徑， ∴直線CD與⊙O相切． （2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60， ∵OC=1， ∴CD=， ∴S△COD=OC?CD=， 又∵S扇形OCB=， ∴S陰影=S△COD﹣S扇形OCB=． 　 23．某農(nóng)莊計劃在30畝空地上全部種植蔬菜和水果，菜農(nóng)小張和果農(nóng)小李分別承包了種植蔬菜和水果的任務(wù)，小張種植每畝蔬菜的工資y（元）與種植面積m（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖①所示，小李種植水果所得報酬z（元）與種植面積n（畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示 （1）如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是　140　元，小張應(yīng)得的工資總額是　2800　元，此時，小李種植水果　10　畝，小李應(yīng)得的報酬是　1500　元； （2）設(shè)農(nóng)莊支付給小張和小李的總費用為W（元），當10＜m＜30時，求W與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出總費用最大為多少？ 【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)圖象數(shù)據(jù)解答即可； （2）設(shè)z=kn+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可； （3）先求出20＜m≤30時y與m的函數(shù)關(guān)系式，再分①10＜m≤20時，10＜n≤20；②20＜m≤30時，0＜n≤10兩種情況，根據(jù)總費用等于兩人的費用之和列式整理即可得解． 【解答】解：（1）由圖可知，如果種植蔬菜20畝，則小張種植每畝蔬菜的工資是=140元， 小張應(yīng)得的工資總額是：14020=2800元， 此時，小李種植水果：30﹣20=10畝， 小李應(yīng)得的報酬是1500元； 故答案為：140；2800；10；1500； （2）當10＜n≤30時，設(shè)z=kn+b（k≠0）， ∵函數(shù)圖象經(jīng)過點（10，1500），（30，3900）， ∴， 解得， 所以，z=120n+300（10＜n≤30）； （3）當10＜m≤30時，設(shè)y=km+b， ∵函數(shù)圖象經(jīng)過點（10，160），（30，120）， ∴， 解得， ∴y=﹣2m+180， ∵m+n=30， ∴n=30﹣m， ∴①當10＜m≤20時，10≤n＜20， w=m（﹣2m+180）+120n+300， =m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300， =﹣2m2+60m+3900， ②當20＜m≤30時，0＜n≤10， w=m（﹣2m+180）+150n， =m（﹣2m+180）+150（30﹣m）， =﹣2m2+30m+4500， 所以，w與m之間的函數(shù)關(guān)系式為w=． ∵w=﹣2m2+60m+3900=﹣2（x﹣15）2+4125； w=﹣2m2+30m+4500=﹣2（x﹣）2+4612.5， ∴w的最大值為4612.5（元）． ∴總費用最大為4612.5元． 　 24．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，且OC=OB． （1）求此拋物線的解析式； （2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時點E的坐標； （3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標． （4）連接AC，H是拋物線上一動點，過點H作AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點F，使得以A，C，H，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）由點B的坐標可知OB的長，根據(jù)OC=OB，即可得出點C的坐標以及c，再根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式； （2）過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），結(jié)合B、O、C點的坐標即可得出BF、OF、OC、EF的長，利用分割圖形求面積法即可找出S四邊形BOCE關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題； （3）設(shè)點P的坐標為（﹣1，n），過A1作A1N⊥對稱軸于N，設(shè)對稱軸與x軸交于點M．分n＞0和n＜0考慮：①當n＞0時，利用相等的邊角關(guān)系即可證出△A1NP1≌△P1MA（AAS），由此即可得出點A1的坐標，將其代入二次函數(shù)解析式中即可求出n值，由此即可得出點P1的坐標；②當n＜0時，結(jié)合圖形找出點A2的位置，由此即可得出點P2的坐標．綜上即可得出結(jié)論； （4）假設(shè)存在，設(shè)點F的坐標為（t，0），分點H在x軸上方和下方兩種情況考慮，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合A、C、F點的坐標即可表示出點H的坐標，將其代入二次函數(shù)解析式中即可求出t值，從而得出點F的坐標． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0）， ∴OB=3， ∵OC=OB， ∴OC=3， ∴c=3，C（0，3）， 將A（1，0）、B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3中， 得：，解得：． ∴所求拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3． （2）如圖1，過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0）， ∴EF=﹣m2﹣2m+3，BF=m+3，OF=﹣m， ∴S四邊形BOCE=BF?EF+（OC+EF）?OF， =（m+3）?（﹣m2﹣2m+3）+（﹣m2﹣2m+3+3）?（﹣a）， =﹣m2﹣m+， =﹣+． ∵a=﹣＜0， ∴當m=﹣時，S四邊形BOCE最大，且最大值為， 此時點E的坐標為（﹣，）． （3）設(shè)點P的坐標為（﹣1，n），如圖2，過A1作A1N⊥對稱軸于N，設(shè)對稱軸與x軸交于點M． ①當n＞0時，∵∠NP1A1+∠MP1A=∠NA1P1+∠NP1A1=90， ∴∠NA1P1=∠MP1A， 在△A1NP1與△P1MA中，， ∴△A1NP1≌△P1MA（AAS）， ∴A1N=P1M=n，P1N=AM=2， ∴A1（n﹣1，n+2）， 將A1（n﹣1，n+2）代入y=﹣x2﹣2x+3得：n+2=﹣（x﹣1）2﹣2（n﹣1）+3， 解得：n=1，n=﹣2（舍去）， 此時P1（﹣1，1）； ②當n＜0時，要使P2A=P2A2，由圖可知A2點與B點重合， ∵∠AP2A2=90， ∴MP2=MA=2， ∴P2（﹣1，﹣2）， ∴滿足條件的點P的坐標為P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）． （4）假設(shè)存在，設(shè)點F的坐標為（t，0）， 以A，C，H，F(xiàn)為頂點的平行四邊形分兩種情況（如圖3）： ①當點H在x軸上方時， ∵A（1，0），C（0，3），F(xiàn)（t，0）， ∴H（t﹣1，3）， ∵點H在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上， ∴3=﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3， 解得：t1=﹣1，t2=1（舍去）， 此時F（﹣1，0）； ②當點H在x軸下方時， ∵A（1，0），C（0，3），F(xiàn)（t，0）， ∴H（t+1，﹣3）， ∵點H在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上， ∴﹣3=﹣1（t+1）2﹣2（t+1）+3， 解得：t3=﹣2﹣，t4=﹣2+， 此時F（﹣2﹣，0）或（﹣2+，0）． 綜上可知：存在這樣的點F，使得以A，C，H，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，點F的坐標為（﹣1，0）、（﹣2﹣，0）或（﹣2+，0）．